- •1.Квантова теорія вільних електронів у кристалі.
- •Хвильова функція вільних електронів
- •Поверхня Фермі вільних електронів у кристалі.
- •Зони Бріллюена.
- •Провідники з точки зору зонної теорії.
- •Діелектрики з точки зору зонної теорії.
- •Напівпровідники з точки зору зонної теорії.
- •Теорема Блоха.
- •Наслідки теореми Блоха.
- •Циклічні умови Борна-Кармана.
- •Хвильові функції вільних електронів у кристалі.
- •Кількість квантових станів в зоні Бріллюена (густина станів у зоні Бріллюена).
- •Квазіімпульс електрона у кристалі.
- •Ефективна маса електрона у кристалі.
1.Квантова теорія вільних електронів у кристалі.
Квантова теорія вільних електронів базується на тих же відомих експериментальних даних з властивості металів, що і класична теорія (велика електро- та теплопровідність металів, збільшення електричного струму зі збільшенням температури та ін.). Але спосіб опису електронів в цій теорії був принципово інший в порівнянні з класичною теорією. Стан електрона описувався за допомогою хвильової функції, а розподіл колективізованих зовнішніх електронів за станами, визначався законами квантової статичної фізики
Хвильова функція вільних електронів
Хвильову функцію вільних електронів в кристалі треба знаходити з рівняння Шредінгера для стаціонарного стану, тобто коли потенціальна енергія
.
Рівняння Шредінгера:
(2-1)
де, ∆ - оператор Лапласса;
- хвильова функція вільного електрону;
ħ – стала Планка;
m – маса електрона;
Е – енергія (кінетична).
В одновимірному випадку рівняння має вигляд:
(2-2)
Позначимо вираз:
(2-3)
Параметр к пов’язаний з енергією електрона і від нього залежить хвильова функція. Він відіграє дуже важливу роль в квантовій теорії твердого тіла.
(2-4)
Знайдемо розв’язок рівняння (2-4). Розв’язок цього рівняння має вигляд:
(2-5)
де, r1, r2 – корні характерного рівняння:
(2-6)
(2-7)
(2-8)
де, і = √-1
Тоді загальний розв’язок рівняння буде мати вид:
(2-9)
Індекс k в рівнянні (2-9) ми пишемо тому, що хвильова функція залежить від k, як від параметру. Окремі розв’язки:
(2-10)
(2-11)
В результаті цих розрахунків можна зробити висновок:
вільний електрон в кристалі може перебувати в трьох станах з хвильовими функціями (2-9), (2-10), (2-11).
Графічно хвильова функція може бути представлена, як плоска хвиля, що поширюється у напрямку осі ох.
Фізична суть параметра k
Оскільки, , то
(2-12)
(2-13)
(2-14)
Таким чином з одного боку параметр k пропорційний імпульсу вільного електрона.
З іншого боку:
(2-15)
- формула Де Бройля (2-16)
Це відоме в теорії оптичних явищ, як хвильове число, яке вказує скільки разів довжина хвилі даного хвильового процесу вміщується у відрізку .
У тривимірному випадку розв’язок рівняння Шредінгера буде мати вигляд:
(3-1)
(3-2)
де, - радіус вектор будь-якої точки простору в кристалі
- вектор з координатами .
Можливі значення енергії електрона визначаються властивостями хвильової функції. З виду хвильової функції (2-9), (3-1), (3-2) витікає, що при будь-яких значеннях параметра к, ця хвильова функція однозначна, кінцева та неперервна.
(3-3)
Оскільки енергія електрона пов’язана з параметром k за формулою (3-3) і оскільки можливі будь-які значення k, то можливі і будь-які значення Е. Зобразимо графік залежності енергії Е електрона від параметра k:
Таким чином робимо висновок: що енергетичний спектр вільної частини неперервний і має вигляд параболи.