Posob_k_Rgr_N2-1

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Учебное пособие

Казань 1998

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Кафедра сопротивления материалов

В.Н.ПАЙМУШИН, Н.Г.ЛАРИОНОВ, С.А.ЛУКАНКИН, А.Ю.ОДИНОКОВ, Н.У.РАХМАНКУЛОВ, В.И.САВИНОВ, И.Н.СИДОРОВ

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Учебное пособие

Казань 1998

УДК 620.10

Паймушин В.Н.,	Ларионов Н.Г., Луканкин С.А.,	Одиноков А.Ю.,
Рахманкулов Н.У.,	Савинов В.И. , Сидоров И.Н. Расчет	на прочность

стержневых элементов конструкций: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та им. А.Н.Туполева, 1998. 49 с.

ISBN 5-7579-0176-4

Учебное пособие охватывает ряд основных разделов курса сопротивления материалов и предназначено для студентов КГТУ им. А.Н.Туполева. Изучение курса сопротивления материалов на этих специальностях сопровождается выполнением расчетно-графических заданий, которые служат для выработки практических навыков по расчету простейших элементов конструкций. Учебное пособие содержит информацию, необходимую для выполнения заданий по темам: "Расчет стержней на растяжение-сжатие", "Геометрические характеристики поперечных сечений", "Расчет балки на прочность при плоском изгибе", и сводит к минимуму обращение к другим литературным источникам. Литература, приведенная в конце пособия, может быть использована для

более подробного знакомства с теорией и практикой решения подобных задач.

Библ.7. Ил. 26. Библиогр. 5 назв.

Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. В.А.Иванов (Казанский государственный технологический университет); докт. физ.-мат. наук, проф. Ю.Я.Петрушенко (Казанский филиал Московского энергетического института)

Печатается по решению Учебно-методического центра КГТУ им. А.Н. Туполева.

	ã Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 1998.
	ã В.Н.Паймушин, Н.Г.Ларионов,
	С.А.Луканкин, А.Ю.Одиноков,
ISBN 5-7579-0176-4	Н.У.Рахманкулов, В.И.Савинов,
	И.Н.Сидоров

- 3 -

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие адресовано студентам различных специ- альностей, изучающих в КГТУ им. А.Н.Туполева курс "Сопротивление материалолв" и выполняющих расчетно-графические работы по темам "Расчет стержней на растяжение-сжатие", "Геометрические характеристики поперечных сечений" и "Расчет балки на прочность при плоском изгибе" курса сопротивления материалов. Пособие отражает специфику

преподавания этого курса в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева и содержит всю необходимую информацию для выполнения расчетно графических работ по указанным темам, сводя к минимуму обращение к другим литературным источникам.

Пособие включает в себя следующий материал:

−порядок выполнения и оформления расчетно-графических работ;

−задание на расчетно-графическую работу и теоретическую часть по темам: "Расчет стержней на растяжение-сжатие"; "Геометрические характеристики поперечных сечений"; "Расчет балки на прочность при плоском изгибе";

−справочную информацию, требуемую при проведении расчетов.

Материал сопровождаются решением типовых задач по каждой теме. Литература, приведенная в конце пособия, может быть использована

для более подробного знакомства с теорией и практикой решения подобных задач.

- 4 -

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

1. Необходимые исходные данные для выполнения расчетно-графиче- ских работ выбираются из соответствующих таблиц в соответствии с шиф- ром, полученным студентом в начале учебного года от преподавателя. Номер схемы совпадает с порядковым номером студента в списке группы.

Правило пользования шифром: условно принимаем, что каждой цифре выданного шифра соответствуют буквы русского алфавита: а, б, в, г; из каж- дого столбца любой таблицы в пособии, обозначаемого сверху буквой, бе- рутся значения параметров из той строки, номер которой совпадает с цифрой шифра. Например, при шифре 8504 в любой таблице из столбца "а" взять 8-ю строку, из столбца "б" − 5-ю, из столбца "в" − 10-ю, из столбца "г" − 4-ю:

а	б	в	г
8	5	0	4

2.Задание выполняется на листах формата А4 (210x297) с одной сто- роны каждого листа. Обложка делается из плотной бумаги. На обложке ука- зываются: наименование университета, кафедры, название и номер курсово- го задания, вариант (номер схемы) и шифр, фамилия, инициалы, номер группы исполнителя, фамилия, инициалы преподавателя.

3.Перед текстом решения каждой задачи необходимо привести ее на- звание, содержание, схему, все исходные данные с указанием размерности.

Все расчеты должны сопровождаться краткими и точными поясне- ниями, четкими эскизами, на которых указываются все входящие в расчет величины. Расчеты должны вестись в общем виде, а численные значения па- раметров подставляются в итоговые формулы. В окончательных результатах обязательно указывается размерность полученных величин.

4.Графическая часть задания выполняется на листах миллиметровой бумаги формата А4 в масштабе с указанием всех необходимых размеров.

5.Выполненное задание сдается на кафедру не позднее срока, установ- ленного учебным планом.

6.Для проверки качества усвоения студентами соответствующего раз- дела курса и самостоятельности выполнения расчетно-графической работы проводится защита задания. Для успешной защиты необходимо: уметь объ- яснить ход решения, знать все теоретические положения, используемые при решении и проверке, уметь решить любую типовую задачу.

- 5 -

1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.

Рассмотрим стержень, подверженный действию растягивающей силы, приложенной на одном из его концов вдоль оси стержня (рис. 1.1). Считаем, что собственным весом стержня можно пренебречь.

					Эпюры
R B = P		N (x)			σ(x)		ε(x)		u(x)
		[ H ]		[МПа]			[ - ]		[мм]
A	P

P

N(x) = P

X

B

P P P

Рис. 1.1

Применяя метод сечений, из условия равновесия в направлении оси x установим, что в любом его поперечном сечении действует осевая сила N (x) = P , следовательно, эпюра осевой силы постоянна (рис. 1.1). Таким образом, любая часть стержня растянута одними и теми же силами P.

1.1. Деформированное состояние невесомого стержня

Введем понятие перемещения точек закрепленного деформируемого тела.

Перемещением точки A закрепленного в пространстве деформируемого

твердого тела будем называть вектор U = AA* , проведенный из точки A до деформации в ее положение после деформации A* (рис. 1.2).

На рис. 1.2 штриховой линией показана форма тела до деформации, сплошной - форма тела после деформации под действием некоторой нагрузки q. Составляющие вектора U по осям x, y, z обозначим соответственно u, v, w.

На основе данных эксперимента на растяжение принимают гипотезу относительно особенностей деформирования стержня при растяжении. Эту

- 6 -

гипотезу называют гипотезой плоских сечений.

Поперечное сечение стержня после деформации растяжения остается

плоским и перпендикулярным продольной оси стержня.
				Теоретические и		эксперимен-
				тальные исследования		показывают,
			A*	что данная гипотеза правильно от-
			A	ражает реальную картину дефор-
				мирования стержня в части стержня,
z				удаленной	от мест	приложения
				нагрузок. В зависимости от способа
			q	приложения	нагрузки	в зоне ее
				приложения могут быть отклонения от
		y
				этой гипотезы или же их может и не
x
			Рис. 1.2	быть.

При введении данной гипотезы очевидно, что для описания деформации

стержня достаточно следить за осевыми перемещениями точек продольной оси стержня u, и мы получим осевые перемещения всех иных его точек.

В результате приложения нагрузки длина стержня изменится на

некоторую величину			l = lк − lн ,		(1.1)
где lк	− длина стержня после приложения нагрузки (конечная длина), lн −
начальная длина стержня.				абсолютного	удлинения стержня.
Величина		l носит	название
Абсолютное удлинение стержня в данном случае равно перемещению точки B:
l = uB	(рис. 1.3).	Очевидно,	что при	приложении	нагрузки перемещения

получат и все другие точки оси стержня и что они будут отличаться от перемещения точки B. Например, точка на опоре A совсем не будет перемещаться (uA = 0). Таким образом, в данном случае осевое перемещение является функцией координаты x точки: u = u ( x) .

Если мы имеем дело с колонной здания, и она от нагрузки изменила свою длину на 2 мм, то материал колонны деформирован мало. Если на 2 мм изменила свою длину ось механизма наручных часов, то ее можно выкинуть. Чтобы получить характеристику деформированности материала, а не конкретного стержня, надо ввести в рассмотрение относительную величину

ε =	l	=	l − l
	l		к	н	(1.2)
			l
	н		н

Эта величина называется относительным удлинением или линейной деформацией. Она представляет собой отношение приращения длины к

					- 7 -			R=P
	первоначальной		длине	и	является
	безразмерной величиной. Заметим, что при							A=A*	y
	малых деформациях в знаменателе формулы
	(1.2) можно использовать как lн, так и lк, −
	разница в результатах будет пренебрежимо
	малой.			l = εlн ,
	Из (1.2) следует, что					или	в
	других обозначениях: u(xB ) = εxB .
	Поскольку любую часть стержня можно							x
	рассматривать как стержень меньшей длины							bн
	нагруженный той же силой N (x) = P , то для								bк
	любой точки стержня перемещение есть
	%	.
	u ( x ) = ε x							B
			%
	Однако не очевидно, что ε = ε. Покажем это.							B*
	На стержне		выделим	участки		равной			l = uB
	длины (рис. 1.3). Обозначим длину участкая l1.							P
	Абсолютное удлинение участка обзначим,							Рис. 1.3
	естественно, l1.		Это удлинение		одинаково
	для всех ячеек сетки, так как они одинаковы и
	растянуты одинаковыми силами. Тогда и относительное удлинение у всех
	участков одинаково:						l 1 .
						ε1=
							l 1
	Если взять теперь участок стержня длиной, например, 3l1, то его
	абсолютное удлинение будет равно 3 l1, а относительное
				ε 3= 3	l 1	= ε	1= ε = const .
					3l	1
	Поскольку аналогичным образом можно показать постоянство деформации для
	любого участка длины стержня, приходим к выводу о том, что величина ε в
	данной задаче есть величина постоянная, и тогда перемещения точек связаны с
	относительным удлинением соотношением
			u(x) = εx , где ε = const .						(1.3)
	Существования данной зависимости следовало ожидать, т.к. обе величины u и ε
	характеризуют одно и то же деформированное состояние. Эпюры линейных
	деформаций ε и осевых перемещений u (x) изображены на рис. 1.1.
	Помимо деформации удлинения в продольном направлении происходят
	также деформации		сжатия	в поперечном			направлении. Если		bк − толщина

- 8 -

стержня после деформации, bн − толщина до деформации, то абсолютное

сужение есть

b = bк − bн < 0 .

Относительное сужение или линейная деформация в поперечном

направлении по анологии с предыдущим безразмерная величина:
εп =	b	< 0 .	(1.4)
	bн
Экспериментом установлено, что деформации в продольном и
поперечном направлениях связаны соотношением			(1.5)
εп = −με ,

где μ − безразмерная константа, определяемая экспериментально. Для разных

материалов она имеет разные значения в зависимости от их физических свойств и называется коэффициентом Пуассона. Можно показать, что этот коэффициент принимает значения от 0 до 0,5 (обычно его значения лежат в пределах 0,15 ÷ 0,4 ; для сталей и дюраля он около 0,3).

1.2. Уравнения равновесия и напряженное состояние невесомого стержня

Пользуясь уравнением равновесия в направлении продольной оси стержня, мы получили значение внутренней растягивающей силы в стержне. Она постоянна и равна внешней нагрузке: N(x)=P.

Рассмотрения сил N, однако, недостаточно для решения вопроса о прочности. Ведь при одной и той же силе N, допустим в 1000 Н, материал колонны здания будет недогружен, а оси механизма наручных часов − перегружен. Ясно, что о нагруженности материала, а следовательно, и о прочности следует судить по относительной величине, т.е. по величине силы,

приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня F:
σср = N	F	= σ .	(1.6)

Величина σ называется нормальным напряжением (нормальным - поскольку используется сила, действующая по нормали к сечению). По итогам эксперимента принята гипотеза плоских сечений, свидетельствующая о том, что осевая сила распределяется равномерно по поперечному сечению. Поэтому вычисляемое по формуле (1.6) среднее напряжение σср равно напряжению в

каждой точке σ. Измеряется напряжение в силах на единицу площади, т.е. в ньютонах на квадратный метр (паскалях) (Н м2 = Па) в системе СИ, как и

давление. Да это и есть давление соседних слоев материала друг на друга, но в данной задаче это давление на отрыв. Если рассмотреть задачу сжатия, то

нормальное напряжение окажется обычным давлением соседних поперечных

- 9 -

сечений друг на друга. Но Н м2 очень малая единица измерения и в практических расчетах обычно используют Н мм2 = М Па, а также кгс мм2 .

Эпюра нормальных напряжений в поперечных сечениях в данной задаче постоянна по длине стержня (рис. 1.1), постоянны напряжения и в пределах поперечного сечения; иными словами, нормальное напряжение в поперечных сечениях постоянно в данной задаче.

1.3. Физические соотношения. Закон Гука

Нами рассмотрены деформации стержня и внутренние усилия (напряжения) в его материале. Но напряжения вызывают деформации стержня, и наоборот, деформации стержня вызовут напряжения, поэтому между величинами этих групп должны существовать определенные соотношения, зависящие от физических свойств материалов. Эти зависимости называются физическими соотношениями. Для большинства материалов до определенного

уровня нагрузки напряжения и деформации связаны прямо пропорциональной зависимостью, которую записывают так:

σ = Eε .

(1.7)

Эта зависимость легко устанавливается в эксперименте на растяжение или сжатие стержня. Она представляет собой частный случай физических соотношений и называется законом Гука. Коэффициент пропорциональности E

вэтой формуле называется модулем упругости первого рода, или модулем упругости на растяжение-сжатие. Заметим, что модуль упругости измеряется

втех же единицах, что и напряжение.

Если в пределах действия закона Гука приложенную ранее нагрузку сбросить, то тело полностью восстановит свою первоначальную форму.

Свойство твердых тел полностью восстанавливать

N(x)=P

свою первоначальную форму после снятия нагрузки на-

Nα

зывается упругостью.

α

Tα

Вспоминая

формулы

для

напряжений и

деформаций, получаем соотношения для других

α

величин:

l

u(x)

N

= E

= E

,

F

l

x

откуда

EF

EF

N =

l =

(1.8)

l

x u(x) .

B

Встречаются материалы упругие, но с нелинейной

P

зависимостью между

σ

и ε.

Для

них

физические

Рис. 1.4