- •Заповеди для студента
- •ВАРИАНТ I
- •ВАРИАНТ II
- •ВАРИАНТ III
- •ВАРИАНТ IV
- •ВАРИАНТ V
- •ВАРИАНТ VI
- •ВАРИАНТ VII
- •ВАРИАНТ VIII
- •ВАРИАНТ IX
- •ВАРИАНТ X
- •ВАРИАНТ XI
- •ВАРИАНТ XII
- •ВАРИАНТ XIII
- •ВАРИАНТ XIV
- •ВАРИАНТ XV
- •ВАРИАНТ XVI
- •ВАРИАНТ XVII
- •ВАРИАНТ XVIII
- •ВАРИАНТ XIX
- •ВАРИАНТ XX
- •ВАРИАНТ XXI
- •ВАРИАНТ XXII
- •ВАРИАНТ XXIII
- •ВАРИАНТ XXIV
- •ВАРИАНТ XXV
- •ВАРИАНТ XXVI
- •ВАРИАНТ XXVII
- •ВАРИАНТ XXVIII
- •ВАРИАНТ XXIX
- •ВАРИАНТ XXX
ВАРИАНТ I
1. Доказать, что последовательность
x1, x2 ,..., xn ,...,
общий член которой задан формулой:
xn |
|
+ |
1 n+1 |
|
= 1 |
|
, |
||
|
|
|
n |
|
монотонно убывает и ограничена снизу. Найти её предел. Написать насколько первых членов этой последовательности.
2.Составить пример последовательности, которая была бы ограничена и сверху и снизу, но не имела бы предела.
3.Найти область определения следующей элементарной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arcsin |
x2 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Найти следующие пределы: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1− x3 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
lim |
|
|
π |
|
|
; |
|
|
|
|
|||
tg2xtg |
4 |
− x |
|
|
|
|
||||||||
|
x→π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
lim xx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти производные функций:
1) |
y = |
arccos x |
+ |
1 |
ln |
1− |
|
1− x2 |
. |
|||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1+ |
1 |
− x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
y = − |
cos x |
|
+ |
1 |
ln tg |
x |
. |
|
|
||||||
2sin2 |
x |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию
y= 3x4 −8x3 + 6x2 +12
ипостроить её график.
7.На какой высоте над центром круглого стола радиуса r нужно подвесить лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была лучше всего освещена (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей на освещаемый предмет; угол падения – это угол между направлением падающего луча и перпендикуляром к освещаемой площадке).
8.Найти производную n-го порядка от функции:
y = x21−1.
ВАРИАНТ II
1.Известно, что некоторая числовая последовательность не имеет предела.
Будет ли эта последовательность ограниченной? Будет ли эта последовательность неограниченной?
2. Числовая последовательность строится следующим образом: 0<a<1,
x |
= |
a |
|
, |
|
|
|
………………….., |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
= |
a |
− |
x2 |
|
xn+1 = |
a |
− |
x2 |
|
||||
2 |
1 |
, |
2 |
n |
|
, |
||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
= |
a |
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
, |
…………………… |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Доказать, что последовательность
x1, x2 , x3 ,..., x2n+1,...
монотонно убывающая, а последовательность
x2 , x4 , x6 ,..., x2n ,...
монотонно возрастающая.
Доказать, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел, и найти этот предел.
4.Найти следующие пределы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln tg |
4 |
+ x |
|
||||||
1)lim[(1− x)logx 2]; |
2) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
lim |
cosn |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→+∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) y = arctg |
|
|
− |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 −1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
2) y = |
|
|
|
|
|
− |
|
ln tg |
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
2cos2 |
x |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить её график:
y= 3 (x +1)2 + 3 (x −1)2 .
7.Площадь листа книги равна s кв.см. Ширина полей слева и справа равна а см, а ширина полей сверху и снизу равна в см. при каких размерах листа книги площадь, занятая печатным текстом, будет наибольшей?
8.Производная f’(x) функции f(x) равна нулю при всех х из некоторого интервала (а,в).
Доказать, что f(x)=C (C-число) при всех х из этого интервала
(а,в).
ВАРИАНТ III
1.Некоторая числовая последовательность имеет только одну предельную точку. Можно ли утверждать, что эта последовательность будет сходящейся?
2.Последовательность составляется следующим образом:
x1-любое число, |
………………….. |
|
x2 |
= sin x1, |
xn+1 = sin xn , |
x3 |
= sin x2 , |
..…………………. |
Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти этот предел.
3. Найти область определения функции:
y= arcsin(1− x)+ tgx −1
4.Найти следующие пределы:
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1)lim |
|
1 |
+ x |
1 |
− x |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
1+ x − 3 1− x |
|||||||||
x→0 |
|
|
2)lim |
cos5x − cos 7x |
; |
||
x2 |
||||
x→0 |
|
|||
3) lim |
xa − aa |
. |
|
|
x − a |
|
|||
x→a |
|
|
5. Найти производные следующих функций:
1) y = |
1 ln |
(x +1)2 |
|
+ |
1 |
|
arctg |
2x −1 |
; |
|||
x2 − x −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
|
3 |
|
3 |
|
2)y = ln 11+−sinsin xx .
6.Исследовать функцию и построить её график:
y= x ln x
7.Требуется изготовить сосуд ёмкостью 32 л. в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием
ибез крышки. Каковы должны быть размеры сосуда, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
8.Для какого интервала (0,х) приближённая формула
sin x ≈ x − |
x3 |
и будет давать для |
sin x приближённое |
|
6 |
||||
|
|
|
значение с точностью до 0,000001?
ВАРИАНТ IV
1.Сформулировать, что значит, что числовая
последовательность |
x1,x2,x3,...,xn,..., |
не имеет |
предела? |
|
|
2.Найти предел последовательности:
2 |
, |
|
22 |
, |
|
23 |
, |
|
24 |
|
,..., |
|
2n |
,... . |
||
1 |
1* 2 |
1* 2 *3 |
1* 2 *3 |
* 4 |
1* 2 |
*3...n |
||||||||||
|
|
|
|
|
3.Найти область определения функции
y= lg(1− 2cos x).
4.Найти следующие пределы:
1)limx→1 (1− x)tg π2x ;
2)lim n 1+ x −1 (n-целое положительное число) ;
x→0 x
ln(1+ 3x ) 3) xlim ln(1+ 2x ).
→+∞
5.Найти производные следующих функций:
1) y = 3 |
1 |
+ x3 |
; |
|
1 |
− x3 |
|||
|
|
2) y = |
1 x |
|
+ a2 |
arcsin |
x |
|
|
a2 − x2 |
, a>0. |
||||||
a |
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
6.Исследовать функцию
y= x2 ln x
7.Из круглого листа вырезан сектор с центральным углом ϕ. Этот сектор свёрнут в коническую воронку. При каком ϕ ёмкость воронки будет наибольшей?
8.Почему не верен следующий вывод теоремы Коши (функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям теоремы):
f(b)− f (a)= (b − a)f '(ξ );
g(b)− g(a)= (b − a)g'(ξ );
поделив одно равенство на другое, получим:
|
f (b) − f (a) |
= |
f '(ξ) |
. |
|
g(b) − g(a) |
|
||
|
|
g'(ξ) |
||
Где ошибка в выводе? |
|
|
|