- •Содержание
- •1. Условия пластичности
- •1.1 Условия перехода твёрдого тела в пластическое состояние
- •1.2 Условие пластичности Треска – Сен-Венана
- •1.3 Условие пластичности Губера – Мизеса
- •2. Основные теории пластичности
- •2.1. Теория малых упруго-пластических деформаций
- •2.2. Теория пластического течения (теория течения).
- •Список используемой литературы
2.2. Теория пластического течения (теория течения).
Основные предпосылки. В основе уравнений состояния пластически деформируемой сплошной среды лежат условия пластичности, условия упрочнения н ассоциированный закон течения. В теории пластического течения устанавливается связь между приращениями деформаций dεij приращениями напряжений dσij и напряжениями σij.
Пусть упрочнение является изотропным, а приращения деформаций dεij складываются из приращений упругих dεеij и пластических dεрij деформаций, т. е.:
Примем далее, что относительное изменение объема θ и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как и при упругой деформации:
где К = Е/[3 (1-2µ) ] - объемный модуль упругости. Пусть, наконец, приращения напряжений dσij и упругих деформаций dεеij, связаны между собой законом Гука:
а в системе координат общего вида
В соответствие с уравнением приращение объемной деформации равно:
где dθe – приращение упругой объемной деформации, dθр- приращение пластической объемной деформации. Заменим в уравнении Получимdθ = dθe+ dθр = dσ/K + dθр. Находим, что:
т.е. приращение пластической объемной деформации равно нулю. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций и тензор приращений пластических деформаций совпадают.
Условия пластичности и упрочнения. В качестве условия пластичности fs(σij) =0 примем энергетическое условие пластичности, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений. Тогда:
В качестве параметра упрочнения q выберем параметр Удквиста. При этом:
т.е. интенсивность напряжений σи является функцией параметра Удквиста, не зависящий от вида напряженного состояния.
Связь между приращениями пластических деформаций и напряжениями. Заменим σи, получим выражение пластического потенциала через напряжения в прямоугольной декартовой системе координат:
Тогда найдем, учитывая, что ,
В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора приращений пластических деформаций Dpdε, а в правых – умноженные на 3dλ компоненты девиатора напряжений Dσ. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций пропорционален девиатору напряжений. Обозначая коэффициент пропорциональности через dλ, получим:
Dpdε= dλ· Dσ,
или в координатной форме в прямоугольной декартовой системе координат:
а в произвольной системе координат:
Найдем dλ. Запишем формулу для интенсивности приращений пластических деформаций в прямоугольной декартовой системе координат:
Подставим сюда выражение и после простых преобразований получим:
.
Список используемой литературы
1. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. – М.: Металлургия, 1977. – 322 с.
2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
3. Водопьянов В.И., Савкин А.Н., Кондрашев О.В. Краткий курс сопротивления материалов. – Волгоград.: РПК «Политехник», 2006, стр.15-25.
4. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением.-М.: Металлургия, 1978. - 360с.
5. Столярчук А.С. Курс лекций