- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
Елементи теорії ймовірностей
§1. Означення ймовірності
-
Простір елементарних подій Простором елементарних подій будемо називати довільну множину . Її елементи будемо називати елементарними подіями. Приклад. Підкидання гральної кістки один раз. Природно взяти , де за позначено результат випробування, що полягає у випадінні очок. Маємо шість взаємно виключних елементарних подій. Зауваження. Можна розглядати .
-
Випадкова подія 1) Випадковою подією будемо називати певну підмножину множини . Приклад. Підкидання гральної кістки один раз. В цьому випадку можна розглянути, наприклад, такі події: а) випадіння парного числа очок – вона відбудеться, якщо відбудеться елементарна подія або - природно вважати цю подію підмножиною , б) ) випадіння непарного числа очок – вона відбудеться, якщо відбудеться елементарна подія або - природно вважати цю подію підмножиною . 2) Сумою двох подій і називається об’єднання множин и . Дана подія полягає у тому, що відбулася щонайменше одна подія - або . 3) Добутком двох подій і називається перетин множин і . Дана подія полягає у тому, що відбулися обидві події - і і . 4) Різниця двох подій і - це різниця множин і . Дана подія полягає у тому, що відбулася подія , але не відбулася подія . 5) Подія називається вірогідною (достовірною) 6) Порожня множина називається неможливою подією. 7) Подія називається протилежною події. Подія означає, що подія не відбулася. 8) Якщо множина є підмножиною множини (), то з відбування події випливає відбування події . 9) Якщо , то події і називаються несумісними. З відомих властивостей операцій над множинами випливають наступні властивості операцій над подіями: а) , г) , б) , д) , в) , е) . Імовірнісний зміст цих властивостей знайдіть самостійно.
-
Алгебра подій Алгеброю подій називається клас підмножин простору елементарних подій (позначимо його ), який має наступні властивості: 1) події , 2) якщо події , то , , . Приклади. 1) Система всіх підмножин простору є алгеброю подій (так званою максимальною алгеброю подій). Якщо містить елементів, то така алгебра складається з подій. Для простору результатів одного підкидання кістки можна записати всі події максимальної алгебри:
Ця алгебра складається з подій. 2) Система, яка містить тільки множини та також є алгеброю. Це мінімальна алгебра подій. Зазвичай розглядаються випадкові події, що належать деякій алгебрі подій.
-
Аксіоматичне означення ймовірності Числова функція , що визначена на алгебрі подій , називається ймовірністю, якщо вона задовольняє наступні умови (аксіоми ймовірності): А1. для будь-якої події з алгебри ; А2. ; А3. (аксіома скінченої адитивності). Якщо події і несумісні (), то
;
А4. (аксіома неперервності). Для будь-якої спадаючої послідовності подій з алгебри
що
,
має місце рівність
.
Зауваження. Властивість А4 виконується тільки у випадку нескінченної множини .
Простір , в якому вибрано алгебру подій і введено ймовірність , яка задовольняє аксіоми А1 –А4, називається ймовірнісним простором.
Відмітимо, що поняття ймовірнісного простору містить лише загальні вимоги щодо математичної моделі випадкового явища, і не визначають імовірність однозначно. Подальша конкретизація означення проводиться стосовно задачі, що розглядається.
Приклад. Підкидання гральної кістки один раз. Ми взяли , де алгебра подій складається зі всіх підмножин простору . Покладемо ймовірність кожної елементарної події рівною деякому числу , такому, що , тобто визначимо
.
Тоді за аксіомою А3 подія
матиме ймовірність
.
Зрозуміло, що виконується аксіома А1. Оскільки
,
то виконується і аксіома А2. В аксіомі А4 потрібності немає, оскільки множина є скінченою. Таким чином, всі аксіоми виконуються і наша числова функція дійсно є ймовірністю.
Подальша конкретизація моделі за допомогою тільки математичних засобів неможлива. Необхідно ввести додаткові положення, що віддзеркалюють відомі властивості (або властивості, що вважаються відомими) реального об’єкта, що досліджується. В даному прикладі природно вважати (якщо ми впевнені , що гра чесна), що кістка симетрична і випадіння різних її граней рівноймовірно. Тоді ймовірності елементарних подій рівні
і ймовірність визначено однозначно.
Якщо же ми вважаємо, що кістка належить шахраю та зроблена, наприклад, так, що кожного разу випадає тільки шісткою вгору, то треба покласти
.
Остаточний висновок про якість моделі, що вибрана, та ступінь її відповідності реальному процесові може бути зроблено тільки після експериментальної перевірки і стосується вже іншої науки – математичної статистики.