- •(Теоретическая)
- •1. Цель работы
- •2. Пояснения к работе
- •2.1. Переход от исходного распределения к условному
- •Составляем табл. 3 по форме табл. 2.
- •2.2. Оценки параметров распределения
- •2.3. Определение теоретических частот нормального распределения,
- •3. Надежность оценки математического ожидания, проверка гипотезы о математическом ожидании
Ч а с т ь І
(Теоретическая)
1. Цель работы
Найти оценки параметров случайной величины Х по данным выборочной совокупности (статистической совокупности). В предположении, что закон распределения случайной величины Х – нормальный, построить кривую плотности. Проверить гипотезу нормальности распределения по критерию Пирсона.
2. Пояснения к работе
Для исследования случайной величины Х проведено n независимых испытаний, в результате которых получена статистическая, или выборочная совокупность (выборка) объёма n. Значения элементов выборки представляют собой последовательность
, (1)
среди членов которой могут быть и повторяющиеся.
Работу можно разделить на три этапа.
2.1. Переход от исходного распределения к условному
Если объём статистической совокупности n 40, то все множество значений выборки (1) разбивается на классы. Число классов k определяется по объему выборки n с помощью табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Объём выборки n |
40 – 60 |
60 – 100 |
100 – 200 |
200 – 500 |
Число классов k |
6 – 7 |
7 – 10 |
10 – 14 |
14 – 17 |
Из множества значений (1) выбирают наибольшее xmax и наименьшее xmin значения и определяют длину классового промежутка по формуле
. (2)
Значение берется приближенно с той же точностью, с которой определены значения элементов выборки (1). Желательно, чтобы последняя цифра значения величины была четной. Приведенное округление не сказывается на основном результате, но фактическое число классов может несколько отличаться от выбранного значения k. Чтобы оно соответствовало табл. 1, рекомендуется при первоначальном выборе k не брать крайних значений, приведенных в табл. 1.
Границы классовых промежутков определяются следующим образом: левая граница первого промежутка принимается равной . Левая граница каждого следующего промежутка получается прибавлением к левой границе предыдущего промежутка. Правый конец каждого промежутка меньше левого конца следующего промежутка на единицу последнего десятичного разряда значений в совокупности (1). Этим обеспечивается то, что каждое значение выборки попадает только в один интервал. Границы промежутков вносятся в столб. 1. табл. 2.
Т а б л и ц а 2
Границы промежутков. от и до |
Сере- дины проме-жутков |
Штрихо- вание |
Частоты Z |
Условные значения |
Z |
2 Z |
3 Z |
4 Z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
// |
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
Все элементы выборки (1) должны относиться к тому или иному классовому промежутку. При этом все элементы, попавшие в один и тот же промежуток, считаются равными между собой и равными среднему арифметическому границ промежутка. Эти значения вносятся во второй столбец табл. 2 и обозначаются . Отметим, что достаточно найти середину только одного из классовых промежутков, так как середины соседних промежутков отличаются друг от друга на . Теперь вместо исходной выборки (1) изучается ее приближение, выборочный ряд .
Пример. Исследовать случайную величину X – прочность (разрывная нагрузка), мН, пряжи линейной плотности 18,5 текс. Для этого произведена выборка объема n 40.
Результаты испытаний приведены ниже.
144, 149, 199, 174, 176, 183, 239, 208,
120, 150, 203, 160, 180, 207, 221, 220,
117, 158, 170, 282, 177, 218, 210, 190,
225, 149, 250, 101, 179, 236, 198, 193,
230, 240, 163, 238, 178, 183, 213, 211.
Находим xmin 101; xmax 282. Для n 40 из табл. 1 выбираем k 6. Тогда длина классового промежутка