- •7.1. Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.
- •7.2. Властивості визначених інтегралів.
- •7.3. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •7.4. Методи обчислення визначених інтегралів.
- •7.4.2 Інтегрування частинами.
- •7.4.3 Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •7.5. Невласні інтеграли.
- •7.5.1. Невласні інтеграли з нескінченною границею.
- •7.5.3. Невласні інтеграли від необмежених функцій.
Т е м а 7. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Поняття визначеного інтеграла відіграє важливу роль у математичному аналізі та у різноманітних його застосуваннях.
7.1. Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.
Нехай на відрізку задана обмежена функція . Розіб’ємо точками , , , () цей відрізок на частин:
, , , , (, ),
оберемо довільно у кожній з них точку () і обчислимо значення у точках . Позначимо довжину відрізка через () і складемо суму . Діаметром розподілу називають величину . Зрозуміло, що з витікає . (Чи є вірним зворотне твердження?).
Зверніть увагу на зв’язок інтегральної суми з визначеним інтегралом: границю інтегральної суми при , якщо вона не залежить від способу поділу відрізка та вибору точок , називають визначеним інтегралом від функції за проміжком і позначають символом
.
Отже,
. (7.1)
Якщо до функції існує інтеграл (7.1), то вона називається інтегровною на відрізку . Числа і мають назву відповідно нижньої та верхньої границь інтеграла.
При інтегральна сума припускає просте геометричне тлумачення: вона чисельно дорівнює площі ступінчастої фігури, складеної з окремих прямокутників (рис. 7.1) шириною та висотою .
Інтуїтивно ясно (і це можна довести), що площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими , , (див. рис. 7.1), дорівнює інтегралу (7.1).
Якщо функція , то інтегралу (7.1) можна приписати значення площі криволінійної трапеції, розташованої нижче осі , зі знаком мінус (за означенням, вважаємо площу додатковою величиною). Для знакозмінної функції (рис. 7.2) інтеграл (7.1) геометрично являє собою алгебраїчну суму площ фігур, причому площі фігур, розташованих вище осі , входять зі знаком плюс, а площі фігур, розташовані нижче осі зі знаком мінус.
Значення деяких інтегралів можна одержати безпосередньо з геометричних міркувань. Так, якщо стала в інтервалі (), то маємо
.
Даний інтеграл дорівнює площі (рис. 7.3а) прямокутника висотою і шириною .
Якщо , то інтеграл визначається формулою
.
і дорівнює площі трапеції (див. рис. 7.3б).
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 1; 5, гл. 6, §6.1; 6, гл. ХI, §1,2].
7.2. Властивості визначених інтегралів.
Перелічені нижче властивості інтегралів є безпосереднім висновком означення інтеграла як границі інтегральної суми. Треба звернути увагу на застосування цих властивостей.
-
Якщо поміняти місцями верхню і нижню границі інтеграла, знак інтеграла змінюється на протилежний:
.
-
Якщо верхня і нижня границі інтеграла рівні між собою, то інтеграл обертається в нуль:
. (7.2)
-
Визначений інтеграл адитивний відносно інтервала інтегрування:
, (7.3)
якщо .
-
Визначений інтеграл задавольняє умові лінійності:
.
-
Якщо в проміжку функції і інтегровні і задавольняють умові , то:
,
при .
-
Якщо інтегровна в проміжку функція задавольняє рівності , то:
.
при .
-
Теорема про середнє значення. Якщо функція неперервна в проміжку , тоді існує така точка , що:
. (7.4).
-
Узагальнена теорема про середнє значення. Якщо функція неперервна, а функція інтегровна в проміжку , тоді існує така точка , що:
.
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 3; 5, гл. 6, §6.2; 6, гл. ХI, §3].