мат.-анализ
.pdf
|
|
I = ò(x + y)dx - xdy = ò |
(x + y)dx - xdy + ò(x + y)dx - xdy = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
OB |
|
|
|
|
|
|
|
BA |
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò(x + 0)dx - x × 0 + ò(x + x - 2)dx - xdx = |
||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
2 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
2 |
4 |
x |
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
= 2 + 8 - 8 - 2 + 4 = 4. ◄ |
||||||
|
|
2 |
|
|
2 - |
2x |
|
||||||||||||
|
|
Рис. 1.1 |
® ® |
|
|
|
0 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
® |
|
® ® |
|||||||
|
|
2.1.2. |
Вычислить |
ò a dr, |
если |
|
|
a = z i + x j + y k , |
È
|
|
|
|
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
® |
|
® |
|
|
® |
|
|
® |
|
|
t Î[0, 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
OA : |
r = t i + t 2 |
j + t |
3 |
k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
► Воспользуемся формулой |
случая |
1, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
® ® |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
||||
|
ò |
a dr = ò zdx + xdy + ydz =ò(z(t )x |
t( |
|
|
|
y) t |
(t |
)dt (=) |
|||||||||||||||||||||
|
|
)+ x t (y )t +( |
z |
|||||||||||||||||||||||||||
|
È |
È |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
={ x = t, |
y = t 2 , |
z = t 3 , |
dx = dt, dy = 2tdt, dz = 3t 2dt} = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
æ |
t |
4 |
|
|
2t |
3 |
|
3t |
5 |
ö |
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ò |
(t3 + t 2t + t 2 |
3t |
2 )dt = ç |
|
+ |
|
|
+ |
|
÷ |
|
|
= |
+ 0 + |
+ |
= |
. ◄ |
|||||||||||||
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
5 |
÷ |
|
|
5 |
|
3 |
|
4 |
|
60 |
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задачи |
|
|
|
|||
2.1.3. |
Вычислить |
ò(x + y)dx - 2 ydy, если L : |
1) прямая АВ, |
A(0, 1), B(2, 5); |
||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
È |
|
|
|
3) ломаная ACB, |
C(0,5). |
|
|
||
2) дуга AB параболы y = x2 +1; |
|
|
||||||||
|
|
|
ò xydx + (y - x)dy |
|
È |
A(1, 1), |
|
|||
2.1.4. |
Вычислить |
вдоль OA, O (0,0), |
если |
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L : 1) y = x; 2) y = x2 ; 3) y2 = x; 4) y = x3. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
® ® |
® |
® |
® |
® |
È |
|
|
2.1.5. |
Найти |
ò a dr, |
если a = -yz i + xz j + xy k, |
OA: x = a cos t, y = a sin t, |
È
AO
11
z = ht, t Î[0, 2p ].
2.1.6. Определить ò(2a - y)dx - (a - y)dy, если L : x = a(t - sin t ),
L
y = a(1 - cos t ), t Î[0, 2p ].
|
|
|
|
Задание на дом |
|
|
||
2.1.7. |
Вычислить |
ò(x2 + y2 )dy, |
если L - |
контур |
четырёхугольника |
|||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
O (0,0), A(2,0), B (4,4) и |
С (0, 4). |
|
|
|
|
|||
|
|
® ® |
|
® |
® |
® |
È |
|
2.1.8. |
Найти |
ò a dr, |
если a = y2 i + x2 |
j , O |
(0,0 ,) A 1,(1 , OA) : |
|||
|
|
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
|
|
|
|
1) отрезок прямой OA; |
2) дуга параболы x2 = y; |
3) дуга параболы y2 = x; |
||||||
4) ломаная OBA, B (1,0); |
|
5) ломаная OCA, |
C (0, 1). |
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.3. 1) |
–16; |
|
2) |
- |
52 |
; |
3) –12. |
2.1.4. |
1) |
1 |
; 2) |
1 |
; |
3) |
|
17 |
; |
||||||||
|
|
|
2 |
30 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
- |
1 |
. |
2.1.5. |
2p 2 а2h. |
2.1.6. |
p a2. |
2.1.7. |
12 |
. |
2.1.8. |
1) |
|
2 |
; |
||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
0,7; |
|
3) |
0,7; |
4) |
1; |
5) |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
2.2. Формула Грина. Условия независимости
КИ II р от пути интегрирования
|
|
|
|
|
|
Примеры решений |
|
|||
|
2.2.1. |
Вычислить |
КИ IІ |
р |
ò(x + y + xy)dx + (xy + x - y)dy, |
где |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
L : |
x2 |
+ |
y 2 |
=1, |
непосредственно и по формуле Грина. |
|
||||
a2 |
b2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
► Так |
как контур |
L - |
эллипс, введём замену переменных |
|
||||
|
|
x = a cos t, |
y = b sin t, |
¢ |
(t )= -a sin t, |
¢ |
|
|||
|
|
x |
y (t )= bcos t, t Î[0, 2p ] Þ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
Þ I = ò(x + y + xy)dx +(xy + x - y)dy = ò((acos t +bsin t + abcos t sin t)(-asin t)+ |
|
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
0 |
|
|
+ (ab - cos t sin t+ a cos t - bsin t )b cos t )dt =
2p
= ò(-a2 sin t cos t - absin2 t - a2bsin2 t cos t + ab2 cos2 t sin t +abcos2 t - b2 sin t cos t)dt =
0
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò(-(a2 + b2 )cos t sin t + ab(cos2 t - sin 2 t )+ a2bsin 2 t cos t +ab2 cos2 t sin t )dt |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- (a2 + b2 )sin 2 |
t |
+ absin |
2t |
+ a2bsin3 |
t |
- ab2 cos3 |
t |
ö |
|
2p |
||
|
|||||||||||||
= ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
= 0. |
|||||
2 |
2 |
3 |
3 |
||||||||||
è |
|
|
|
|
ø |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
Используя формулу Грина, имеем:
I = ò(x + xy + xy)dx + (x - y + xy)dy = òò((1 + y)- (1 + x))dxdy = òò(y - x)dxdy =
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b |
1-x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
1- x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
-a |
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
æ |
|
|
y |
2 |
|
ö |
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
- x |
2 |
|
|
||||||
= ò dx |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
(y - x)dy = ò dx |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ò - 2bx |
|
dx = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
1- x 2 |
|
|
|
|
|
-a |
|
è |
- xy ø |
|
-b |
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
-b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x2 |
æ |
1 |
- x2 ö |
|
|
2a2b |
æ |
1 - x2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= a |
b ò |
|
|
|
d |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
= 0. ◄ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
ç |
|
|
a |
2 |
|
÷ |
|
3 |
|
|
ç |
|
|
a |
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
|
|
|
æ y ö xdy - ydx |
|
|
|
|||||
2.2.2. |
Проверить, |
что |
ò |
f ç |
|
|
÷ |
|
|
= 0 |
для |
любой |
|
|
|
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
L |
è x ø |
|
|
|
|||||
|
|
æ y ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференцируемой функции |
f ç |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
è x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
► Запишем формулу Грина òP dx + Q dy = |
¢ |
¢ |
|
¢ |
¢ |
||||||||
òò(Qx - Py )dxdy. Найдём Qx |
и Py : |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
æ 1 Q¢x = çè x
æ
Py¢ = çè-
æ |
|
y öö¢ |
æ y |
ö æ |
|
|
y |
|
ö 1 |
|
|||||||||||||
f ç |
|
|
|
÷÷ x = |
f ¢ç |
|
|
÷ ç |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
x |
|||||||||||||||||
|
è x øø |
|
|
è x |
ø è x |
ø |
|||||||||||||||||
|
y |
æ |
|
y öö¢ |
|
|
|
1 |
|
|
æ |
|
|
y ö |
|
|
|||||||
|
|
|
|
f ç |
|
|
÷÷ |
y = - |
|
|
|
f ç |
|
|
|
|
÷ |
- |
|||||
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
è x øø |
|
|
|
|
|
|
è x ø |
|
|
1æ y ö
-2 f ç x ÷;
xè ø
y¢æ y ö x3 f çè x ÷ø;
¢ |
¢ |
и ДИ |
¢ |
¢ |
любой дифференцируемой |
||
т. е. Qx |
= Py |
òò(Qx - Py )dxdy равен 0 для |
|||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
æ y ö |
|
|
|
|
||
функции |
f ç |
|
÷ |
и |
любого |
замкнутого контура |
L. ◄ |
|
|||||||
|
è x ø |
|
|
|
|
|
Аудиторные задачи |
|
|
|
|||
|
I. Используя формулу Грина, вычислить интегралы: |
|
|||||
2.2.3. |
ò y2dx + (x + y)2 dy, если |
L - DABC, |
A(a ,0), |
B (a, a), |
C (0, a). |
||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
ò(x2 - y2 )dx + (x2 + y2 )dy, если L : |
y = |
|
, |
|
||
2.2.4. |
R 2 - x2 |
y = 0. |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
2.2.5. |
ò(x + y)2 dx - (x - y)2 dy, |
если L : y = sin x, |
y = 0, x Î[0,p ]. |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
II. Проверить, что КИ IІ |
р, взятые по замкнутым контурам L, равны 0 |
|||||
независимо от вида подинтегральных функций. |
|
|
|
||||
2.2.6. òj(x)dx +y (y)dy. |
2.2.7. ò f (xy)(ydx + xdy). |
||||||
|
L |
|
L |
|
|
|
|
2.2.8. |
ò(f (x + y)+ f (x - y))dx + ( f (x + y)- f (x - y))dy. |
|
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
14
|
|
|
Задание на дом |
|
|
|
2.2.9. |
Написать |
и |
проверить |
формулу |
Грина |
ò(xдля+ y)dx - 2xdy |
|
|
|
|
|
|
L |
для контура DOAB, |
O (0,0), A(a ,0), |
B (0, a). |
|
|
||
2.2.10. |
Используя |
|
формулу |
,Гринавычислить |
ò x2 ydx - xy2dy, |
|
|
|
|
|
|
|
L |
если |
L : x2 + y 2 = R2. |
|
|
|
2.2.11. Доказать, что величина интеграла ò(2xy - y)dx + x2dy |
равна площади |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
области, ограниченной контуром L. |
|
|
|
|
||||||
2.2.12. Доказать, |
что ò f (x2 + y2 )(xdx + ydy)= 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
||
2.2.3. |
|
2a3 |
. |
2.2.4. |
4R3 |
. |
2.2.5. - 4p. |
2.2.10. - |
p R 4 |
. |
3 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
Вопросы для |
самопроверки |
|
|
|
1.Как вычислить КИ ІI р с помощью , ОИесли уравнение линии
интегрирования дано в параметрическом виде?
2.Что означает независимость КИІI р от пути интегрирования? Почему
величина |
ò ydx + xdy |
не |
зависит |
от |
пути |
, интегри |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
если |
L - ломаная OBA, A(4, 2), B (2, 0)? |
|
|
|
|||
3. |
Доказать, что циркуляция ò(yx3 + e y )dx + (xy3 + xe y - 2 y)dy равно 0, |
||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
если |
L -симметрична |
относительно |
начала координат. |
|
|
4.Что называется первообразной от полного дифференциала? Подберите
(x - y)dx + (x + y)dy
U так, чтобы выражение ( ) было полным дифференциалом x2 + y2 n
и найдите первообразную.
5. Доказать, что ò(2xy - y)dx + x2dy = SD , где ¶D = L .
15
Расчетное задание «Криволинейные интегралы»
Принятые обозначения:
n=N – номер студента по списку группы;
Г– вторая цифра номера группы;
å- сумма двух последних цифр номера группы;
Ф – номер факультета;
l =1+остаток |
N + S |
; m =1+остаток |
N + Γ |
; |
v =1+остаток |
N + Φ |
. |
||
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
4 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
È |
|
|
|
|
||
I. |
Вычислить КИ |
ò f (x , y)dl, если AB- дуга кривой L, заключённая |
|||||||
|
|
|
È |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|||
между |
точками А |
и |
В. |
|
|
|
1. |
f (x, y)= l yv (1 + (-1)n )+ (x + m)(1 - (-1)n ), |
L : x = (m +n )(t - sin t ), |
|||||||
|
y = (m +n )(1 - cos t ), |
A(0,0), |
B (p (m +n ), 2(m +n )). |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||
2. |
f (x, y )= |
|
+ (-1 n) m y, |
L : |
x = (l +1)cos3 t, |
y = (l +1)sin3 t, |
|||
n |
|||||||||
|
|
(l +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
æ
A(l + 1,0), Bç3(l + 1)
ç
è
3 , (l +1)ö÷. 8 8 ÷ø
3. |
f (x, y )= |
|
(1 + (-1)n )(n +1)x y |
|
|
(m + l)y3 - (l +n )y |
2 + 2l y - m , |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ (1 - (-1 n) ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 + e2 y |
|||||||
|
|
|
1 + 4(2l - y) |
|
|
||||||
|
L : |
|
y = (1 + (-1 n) )(2l - x2 )+ |
1 |
(1 - (-1 n) ln x(+ 2v)), |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A(0,5(1 - (-1)n )m, 0,5(1 + (-1)n )y), |
B ((1 + (-1)n )+ 0,5(1 - (-1)n )(e2l - 2n ), y). |
16
4. |
f (x, y)= (1 + (-1)n )(2m x4 y + (l -n )x2 y3 + (m +n )y5 )+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ (1 - (-1 n)) |
|
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(n 2 x)2 + (m2 y)2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||
L : |
y = |
ç |
(1 + (-1 n) ) 2n - x2 + (1 - (-1 n) ) |
|
(n m ) - n (x |
|
÷), |
||||||
|
ç |
|
m |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
(1 + |
n |
- (- |
n |
ö |
|||||
|
A(0,5(1 - (-1)n )m, 0,5(1 + (-1)n )y), Bç(1 + |
(-1 n) )n |
, |
(-1 ) )y |
+ |
(1 |
1 ) )n |
|
÷. |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
5. |
|
f (x, y)= (m +n )x - (-1)n (l - 2)y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L : |
r = (l(1 + (-1 n) cosj)) |
1 + (-1)n |
+ m(cosj - (-1 )nsinj) |
1 - (-1)n |
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
A(0, y), B (x , 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
II. |
Вычислить |
КИ òP (x, y)dx + Q (x, y)dy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
P(x, y)= (1 + (-1)n )(l x + (-1)n m y)+ (1 - (-1)n )vx2 y, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Q(x, y)= (1 + (-1)n (v +1)x(-1)n + (l + m)y)+ (1 - (-1)n )vxy2 , |
|
если |
|
|||||||||||||||
|
|
L : |
x = l cos t, y = l sin t, |
|
t Î[0, 2p ]. |
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
P(x, y)= 3vx(l x + (-1)n m x), |
Q(x, y)= l (m +1)y(vx - (-1)n 2 y), |
если |
||||||||||||||||
|
|
È |
|
|
|
|
|
|
A(0, |
(-1)n l), |
B (x, m l). |
|
|||||||
|
L - дуга AB параболы x = (-1)n l y - y 2 , |
|
|||||||||||||||||
3. |
P(x, y)= (2l + v)x + (-1)n 3m y, |
Q(x, y)= 4vy + (-1)n l, если |
L - |
ломаная |
|||||||||||||||
|
ABC, |
A((-1 n)l , 0), Bçæ(1 + (-1 n) ) |
l |
, (1 - (-1 n)v)÷ö, |
C((-1 n) l( + 2m), 3v). |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
2 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
|
P(x, y)= (-1)n (2m + v + y), |
Q(x, y)= (v +1)x, |
если |
|
||||||||||||||
|
|
L : x = l (t - sin t ), |
y = l (1 - cos t ), |
t Î[0, 2p ]. |
|
|
|
|
|
17
5. |
P (x, y |
)= |
vx + y + m |
, |
|
|
Q (x, y )= |
2vx + (-1)n y |
, |
|
если |
|
L - |
отрезок |
|||||||||||||
(x + y)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
прямой |
|
АВ, |
A((-1)n v, 2m), |
B (m + 2,3(l + v)). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
III. |
|
С |
помощью формулы |
Грина вычислить |
циркуляцию |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òP (x, y)dx + Q (x, y)dy : |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
P(x, y )= |
(l + v)y + 4m3 x ln x |
- 2m x ln y |
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y )= |
(l +1)xy2 + m x2 ln y |
- 2m x |
2 ln x |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L : DABC, |
A(l -1, |
m + v), B (l + m, 2v + l), |
C (2l + m, 3m + v). |
|||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
P(x, y )= |
(2v + m)xex 2 + y 2 + (-1 n)l x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Q(x, y )= 2(v + m)yex 2 + y 2 - (-1 n)e x 2 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L : |
|
ABCE, |
A(0,l), |
B (0, 2l), |
|
C (v, 2l), |
|
|
E (v, l). |
|||||||||||||||||
3. |
|
|
|
P(x, y)= l y2 cos (xy2 )- (-1)n (m + v)x2 y, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q(x, y)= 2l xy cos (xy2 )+ (-1)n (m + v)y2 x, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L : |
|
|
x2 + y 2 + (-1)n 2(l + m)x = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
P(x, y )= m x2 + x |
|
|
+ (-1 n)vy2 , |
|
||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
l2 - x2 + y2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
Q(x, y =) l xy - y |
|
, |
|
|
x2 + y2 = (-1)n 2vy. |
|||||||||||||||||||||
|
l2 - x2 + y2 |
L : |
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
P(x, y )= |
2m xy |
+ (-1 n) v(+1)x2 y, |
Q(x, y )= |
|
m x2 |
|
- (-1 n) vx, |
|||||||||||||||||||
x2 y + l |
|
x2 y + l |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L : |
|
y = (-1)n x2 , |
x = y2 . |
|
|
|
|
|
18
Самостоятельная работа «Криволинейные интегралы»
|
І. |
|
|
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
ò xdl, |
|
если L - отрезок прямой, соединяющей точки A(0,0) и |
B (1, 2). |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
ò(x + y)dx + (x - y)dy, |
если |
LAB - |
дуга параболы |
y = x2 , |
лежащая |
|||||||||||
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между |
|
точками |
A(-1, 1) |
и |
B (1, 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ІІ. |
|
|
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
ò x |
2 |
ydl, |
если L - |
|
часть |
|
2 |
+ y |
2 |
= 9 |
лежащая |
|||||
|
|
|
|
окружностиx |
|
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
первом квадранте; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
ò(x - y)dx + (x + y)dy, |
|
если LAB - |
|
отрезок |
прямой, соединяющий |
|||||||||||
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точки |
A(2, 3) и |
B (3, 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ІІІ. |
|
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
ò |
dl |
, |
если L - |
|
|
отрезок |
|
прямойy = x + 2, |
|
соединяющий |
||||||
x + y |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
A(2, 4), |
B (1, 3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
ò(y + x2 )dx + (2x - y)dy, |
|
если LAB - |
дуга |
параболыy = 2x - x2 , |
||||||||||||
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расположенная |
между точками |
A(1, 1) |
и |
B (3, - 3). |
|
|
|
|
19
3. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (ЧР)
¥
ЧР: åU n
n=1
|
|
1.Знакоположительные |
|
|
|
|
|
|
2. Знакочередующиеся |
|
|
|
3. Знакопеременные |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ЧР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧР |
||||||
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
åU n , U n > 0 "n Î N |
|
|
|
|
å(-1)n+1U n , U n > 0 "n Î N |
|
|
åU n , U n > 0 "n Î N |
||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = åU k , |
S = lim Sn = A ¹ ¥ |
Ú $/ |
|
® ЧР |
|
|
сходится |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S - сумма ряда; å |
|
|
|
|
- сход. при | q |<1, |
å |
|
|
- сход. при p > 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1q n |
|
|
|
|
|
n =1n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Свойства ЧР: |
1°. |
|
lim |
Sn |
= S « |
lim Sn -k = S - Sk , |
Sk = åUi . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¥ |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|||||
2°. S = åU n , |
|
|
d = åV n, |
|
|
Wn = aU n + bVn |
® $ åWn = aS + bd. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Необходимый признак сходимости: |
|
lim U n = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1. |
|
Достаточные признаки сходимости |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Признаки сравнения |
|
|
Признак Д’ Аламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
Признаки Коши |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Сравнения |
|
|
Предельный |
|
|
|
Радикальный |
Интегральный |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ lim |
U n +1 |
= l |
||
|
|
|||||
|
|
n®¥ U n |
||||
$N : 0 £ U n £ Vn $ lim |
U n |
= A ¹ 0 (¥) |
|
$ lim n |
|
= l |
|
U n |
|||||
|
|
|||||
n ®¥ Vn |
|
n ®¥ |
||||
"n N |
åU n , åVn - сход. |
|
|
|
|
|
64444744448 |
64748 |
|||||
åVn - cx. åU n - pacx. |
( расх. ) одновре - |
|
l <1 l >1 |
менно
¥
I = ò
1
f (x)dx, U n = f (n)
64474448
I - cx. I - pacx.
20