мат.-анализ
.pdf
|
|
|
Аудиторные задачи |
|
|
|
|
I. Найти линии уровня плоских СП: |
|
|
|
|
|||
7.1.7. U = x + y. |
7.1.8. U = x2 + y2. |
7.1.9. |
U = |
2 y |
|||
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
x2 |
|||
II. Найти поверхности уровня СП: |
|
|
|
|
|||
7.1.10. U = |
|
. |
7.1.11. U = x2 + y2 - z. |
7.1.12. U = x2 + y2 - z 2. |
|||
x2 + y2 + z 2 |
III. Найти производную СП U (M ) в т. A по заданному направлению:
®®
7.1.13. U = xyz, |
A(5,1, 2), |
|
l : |
AB, B(9, 4,14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
® ® |
® ® |
p |
|
® ® |
|
p |
|
|
|
|
7.1.14. U = xy2 + z3 - xyz, A (1,1,2), l : ( l ,OX ) = ( l ,OZ ) = |
|
, ( l ,OY ) = |
. |
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
7.1.15. U = x2 y2 - xy3 - 3y -1, |
|
A(2,1), |
® |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
l : |
OA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
IV. Найти градиент |
СП: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.1.16. U = ln | r | . |
|
|
® ® ® |
|
|
® ® 2 |
® |
|
|
|
|
|||||||||
7.1.17. U = a × r , a = const. |
7.1.18. U =| a ´ r | , |
a = const. |
|
|||||||||||||||||
7.1.19. Найти градиент СП U = 3x2 y - 3xy3 + y4 в т. A(1, 2, 0). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.1.20. |
Найти |
наибольшую |
|
скорость |
возрастания |
|
|
поляU = ln(x2 + 4 y2 ) |
|
|||||||||||
в т. A(6, 4, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.1.21. Найти угол между градиентами СП U = x2 + y2 - z 2 |
и V = arcsin |
x |
|
|
||||||||||||||||
x + y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в т. A(1,1, |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Задание на дом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.1.22. |
Определить |
вид |
|
|
линий |
|
или |
поверхностей |
|
|
уровня |
|||||||||
u = y2 + x, |
V = xy, W = |
|
4z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 - y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.1.23. |
Показать, |
что в .тA(4, -12) |
производная СПU = x3 + 3x2 + 6xy + y2 |
|
||||||||||||||||
по любому |
|
направлению |
равна 0 |
(т. е. |
СП стационарно). |
|
|
|
|
|
81
3
7.1.24. Вычислить с помощью градиента производную СПU = (x2 + y2 + z 2 )2
в |
.тA (1, 1,1) |
по |
® |
® ® |
воспользовавшись свойствами |
||
направлениюl |
= 2 j- k, |
||||||
градиента. |
|
|
|
|
|
|
|
7.1.25. Найти стационарные точки СП U = 2x2 - 4xy + y2 - 2 yz + 6z. |
|||||||
7.1.26. |
Убедиться |
в |
ортогональности |
поверхностей |
|||
СП |
U = x2 + y 2 - 2z 2 |
и V = xyz. |
|
|
|
||
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
7.1.7.y = с - x - семейство параллельных прямых.
7.1.8.x2 + y2 = с - семейство концентрических окружностей.
7.1.9.y = 2сx2 - семейство парабол.
7.1.10.x2 + y2 + z 2 = с2 - семейство концентрических сфер.
7.1.11. z = x2 + y2 - с - семейство |
параболоидов |
вращения. |
|
6.1.12. |
|||||||||||||||||
x2 + y2 - z 2 = с - семейство конусов II |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
||
7.1.13. |
|
98 |
. |
|
|
7.1.14. |
5. |
|
|
7.1.15. |
- |
|
|
7.1.16. |
|
|
r |
. |
|||
|
|
5. |
|
|
|||||||||||||||||
13 |
|
® |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| r |2 |
||
7.1.17. |
® |
|
|
|
|
|
® |
® |
® ® ® |
|
|
|
|
® |
® |
|
|||||
a . |
7.1.18. 2 | a |2 |
r - 2( a × r ) a . |
|
|
7.1.19. -12 i - j . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.1.20. |
73 |
7.1.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
2 |
|
|
7.1.22. x - с = y2 |
- семейство парабол с вершиной в т(с, 0), y = |
с |
- семейство |
|
|||
|
|
x |
гипербол, z = с(x2 - y 2 )- семейство гиперболических параболоидов.
4
7.1.24. 3 15 . 5
82
7.2. Векторное поле (ВП), его геометрические характеристики.
Поток и дивергенция ВП
|
|
|
|
7.2.1. |
Найти |
|
векторную |
|
линию |
|
® |
|
® |
® |
|
|
|
® |
проходящую |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВПa = x i - y j- 2z k, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
через |
т. |
M 0 (1, -1, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
► Система дифференциальных уравнений(5) векторных линий в этом |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случае имеет |
вид |
dx |
= - |
dy |
, |
|
dy |
= |
dz |
. |
|
Интегрируя |
эту |
систему |
уравнений, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получим: |
|
|
xy = c , |
y2 = c |
2 |
z. |
|
Условие |
прохождения |
|
векторной |
линии |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
через |
т. M |
0 |
(1, -1, 2) |
|
даёт c |
= -1, |
|
c |
2 |
= |
1 |
. |
Итак, |
искомая |
|
|
векторная линия- |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
это |
кривая |
|
|
пересечения |
|
гиперболического |
цилиндраxy = -1, |
образующие |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
которого параллельны осиOZ , |
|
|
|
с параболическим |
|
цилиндром2 y 2 = z, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образующие |
которого параллельны |
оси |
OX. ◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7.2.2. |
|
Найти |
|
векторные |
|
|
линии |
® |
|
® |
{x, y, z} |
и |
определить |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПa = r = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид векторных трубок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
► |
|
|
|
Интегрируя |
|
|
|
|
систему |
|
|
|
дифференциальных |
уравн |
|||||||||||||||||||||||||
|
dx |
= |
dy |
, |
|
dy |
= |
dz |
, получим y = c x, |
|
|
z = c |
2 |
y или |
x |
= |
y |
= |
z |
|
- прямые L Î R3. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
p |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
По определению векторными трубками в данном случае будут конические |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхности |
с |
вершинами |
в |
|
начале |
координат, направляющими которых |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
служат |
|
заданные |
|
замкнутые |
|
|
|
|
кривые, а |
образующими - |
полученные |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
векторные |
|
линии. ◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
7.2.3. Найти |
|
поток |
векторного |
|
|
|
|
|
® |
® |
|
® |
|
® |
|
верхнюю |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
поля a = y i + x |
j - z k |
через |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
сторону |
треугольника ABC |
с |
|
вершинами |
в |
|
точкахA (1, 0, 0), |
B (0, 0, 1), |
|
C (0, -1, 0).
► Для вычисления потока ВП можно воспользоваться одним из двух методов: проектирования на одну из координатных плоско и проектирования на все три координатные плоскости. В первом случае
83
(при |
проектировании |
на |
плоскостьXOY ) |
поверхность |
G |
можно |
задать |
|||||||||||||||||||||||||
уравнением |
z = f (x, y), |
и |
так |
|
|
как |
элемент |
площади |
|
этой |
поверхности |
|||||||||||||||||||||
ds = |
dxdy |
, |
|
то |
|
вычисление |
|
|
|
потокаП |
|
через |
выбранную |
|
сторону |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
| cosg | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поверхности |
|
сводится |
к |
вычислению |
двойного |
интеграла |
|
по |
формуле |
|||||||||||||||||||||||
|
® ® |
|
|
|
|
® ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a × n |
|
|
|
|
|
=dxdy. |
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П G = òò a × n ds = òò |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
ортn |
|
|
нормали |
||||||||||||||||||
|
| cosg | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
G |
|
|
|
|
D |
|
z = f ( x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к выбранной |
стороне |
поверхностити G |
имеет |
проекции, |
вычисляемые по |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® Ù ® |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формуле (7). Если угол g = OZ , n < |
|
|
|
, |
то в формулах(7) берётся знак «+», |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если g > |
p |
, то - «−». Символ |
|
a × |
n |
|
|
|
|
означает, что в подинтегральной |
|
|||||||||||||||||||||
2 |
| cosg | |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
вместо z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функции |
|
надо |
подставить f (x, y). |
Аналогично |
подсчитывается |
|||||||||||||||||||||||||||
поток, |
если |
|
|
оказывается |
|
удобным |
|
проектировать |
|
|
поверхностьG |
|||||||||||||||||||||
на плоскости |
YOZ |
или |
XOZ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Во |
|
|
втором |
|
случае, |
когда |
|
|
|
поверхностьG |
взаимно |
|
однозначно |
||||||||||||||||||
проектируется |
на |
|
все |
|
три |
|
|
координатных |
плоскостиD |
xy |
=ипр |
XOY |
G, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Dxz = пр XOZ G, |
|
Dyz = прYOZ G |
уравнение |
поверхностиG : |
F (x, y, z) = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов x, y и z, |
так что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x = x( y, z), |
|
y = y(x, z) |
и |
z = z(x, y). |
Тогда |
поток |
|
® |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ВПa = {P, Q, R} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
через |
|
|
поверхность G, |
|
|
единичный |
|
вектор |
|
нормали |
|
к |
кот |
|||||||||||||||||||
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
записать |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n = {cosa, cos b , cosg }, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
® ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПG = òò a × n ds = òò(P cosa + Q cos b + R cosg )ds = ± òòP(x( y, z), y, z)dydz ± |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
± òòQ(x, y(x, z), z)dxdz ± òòR(x, y, z(x, y))dxdy (см. формулы (2) раздела 6). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
Найдём искомый поток ВП, используя оба этих метода.
1. Уравнение плоскости, в которой лежит DABC имеет вид x + y + z = 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 1 - x + y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®Ù ® |
p |
|
|||||||||||
(рис. |
7.1), |
|
|
|
откуда |
|
|
Так |
|
|
|
как |
|
по |
|
|
условиюg = n , OZ < |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
® |
ì |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n = í |
|
|
,- |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
ý |
(по формуле 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
3 þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
проектируется |
|
однозначно |
на |
|
плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
XOY в область Dxy , |
|
которой является DABC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим |
скалярное |
|
|
произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
® ® |
|
|
|
y |
- x |
- z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a × n = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Подставляя |
|
z = 1 - x + y, вычисляем искомый поток: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
П G = òò |
|
|
a |
× n |
|
|
|
|
|
|
= òò(y - x - (1 - -x + y))dxdy = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|cosg | |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
z = f ( x, y) |
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
æ x2 |
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= - òò |
dxdy = -òdx ò |
|
dy = ò(x -1)dx = ç |
|
|
- x ÷ |
|
= - |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
0 |
x -1 |
0 |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
Учитывая, |
что |
|
|
cosa > 0, |
|
cos b < 0, |
|
|
cosg > 0, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ПG = + òò |
P(x( y, z), y, z)dydz - òò Q(x, y(x, z), z)dxdz + òòR(x, y, z(x, y))dxdy = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= I1 + I2 + I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1+ y |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = |
òò ydydz = ò |
ydy |
ò |
|
dz = ò |
y(1 + y)dy = - |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BOC |
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1- x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 = - òò |
xdxdz = -ò xdx ò |
dz = -ò x(1 - x)dx = - |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AOB |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 = |
|
|
|
|
(-z)dxdy |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
dx |
0 |
|
(x - y -1)dy = - |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òò |
|
|
|
= |
ò |
ò |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- z =x - y -1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AOC |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Окончательно |
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
|
|
|
|
П G |
= - |
1 |
- |
|
|
|
1 |
- |
1 |
= - |
1 |
. ◄ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.2.4. Найти поток |
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
® |
|
через часть |
|
поверхностиG : |
||||||||||||||
ВП a = y 2 |
j + z k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z = x2 + y2 , |
|
|
отсечённой |
|
|
плоскостьюz = 2. |
|
Нормаль |
|
|
к |
параболоиду |
|||||||||||||||||||||
берётся |
|
внешняя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
► |
Данная |
поверхность G |
|
|
|
|
(параболоид |
|
|
|
вращения) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проектируется |
взаимно |
|
однозначно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
плоскость |
XOY |
в |
|
круг |
Dxy |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
центром в начале координат и радиусом |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|
|
(рис. 7.2). По условию задачи |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормаль |
® |
|
|
образует |
тупой |
угол |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
осью OZ , поэтому |
® |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = {2x, 2 y, -1}. |
||||||||||||||||||
|
|
Рис. 7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомый |
поток |
|
будет |
равен |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
® ® |
|
dxdy = òò(y2-2 y - (x2 + y2 ))dxdy = {x = r cosj, y = r sinj}= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ПG = òò |
|
a × n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
| cosg |
| |
||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
z = f ( x, y) |
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
= òò (2r 3 sin 3 j - r 2 )rdrdj = 2 ò sin3 j dj ò |
r 4dr - ò dj ò r 3dr = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
2p r 4 |
|
|
|
|
2 |
|
= -2p. ◄ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
® |
|
® |
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
через круг, полученный сечением |
|||||||||||||||
7.2.5. Найти поток ВП a = i - j+ xyz k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
шара x2 + y 2 + z 2 £ R 2 плоскостью y = x. |
Взять |
сторону круга, обращённую |
кположительной полуоси OX.
►Так как круг лежит в плоскостиy = x, перпендикулярной плоскости
XOY , проектировать на XOY нельзя (нарушается взаимная однозначность проектирования). На другие координатные плоскости круг проектируется
86
взаимно однозначно. |
Будем |
проектировать, например, на |
плоскость XOZ. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Получим область D xz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ограниченную |
эллипсом |
|
(рис. 7.3). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Уравнение эллипса найдём, исключив y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ì |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= R |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
из системы уравнений í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
откуда 2x 2 + z 2 = R2 или |
|
2x2 |
|
+ |
z 2 |
=1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
R2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Х |
Рис. 7.3. |
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию нормаль n образует тупой |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
угол b с осью OY (рис. 7.3), |
|
поэтому |
|
|
|||||||||
|
® |
® ® |
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
берём |
n = yx¢ |
i - |
j + yz |
¢ |
k |
и, так как |
круг лежит |
в |
|
плоскости |
® ® ® |
искомый |
|
y = x, n = i - j . Тогда |
||
® ® |
® ® |
|
|
||
ПG = òò a × n dS = òò a × n |
|
|
G |
Dxz |
|
|
2 òòdxdz = Sэллипса = pR2 2
Dxz
|
поток |
|
равен |
|||
|
|
|
dxdz = òò(1 + 1)dxdz = |
|||
y = y(x, z) |
|
Dxz |
||||
æ |
|
R |
ö |
|||
ça = |
|
|
|
, c = R, S = pac÷. ◄ |
||
|
|
|
||||
2 |
||||||
è |
|
ø |
7.2.6. Используя формулу Гаусса-Остроградского, вычислить поток ВП
® |
® |
® |
® |
замкнутую |
поверхность G : x2 + y 2 + z 2 = R 2 , |
||
a = x 2 |
i + y 2 |
j + z 2 |
k через |
||||
z = 0 |
(z > 0) |
в направлении |
внешней |
нормали. |
|
||
► Поверхность G в данной задаче ограничивает собой половину шара |
|||||||
радиуса R |
с |
центром |
в |
начале |
координат(рис. 7.4). Вычислим |
||
® |
|
|
Искомый |
поток |
по формуле Гаусса-Остроградского(9) |
||
div a = 2x + 2 y + 2z. |
|||||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® ® |
|
® |
|
|
|
|
ПG = òò a × n ds = òòòdiv a dV = òòò2(x + y + z)dV = |
|||||
|
|
|
G |
W |
|
W |
|
87
|
|
|
|
{x = r sinq cosj, |
|
|
y = r sinq sin j, |
z = r cosq}= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 2òòò(r sinq cosj + r sinq sin j + r cosq)r 2 × |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2p |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
×sinq drdq dj = 2 ò dj òr 3dr ò(sinq cosj + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 4 2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ sinq sin j + cosq )sinq dq = |
|
|
|
|
|
ò |
dj òsinq cosq dq = |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.4. |
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pR4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= pR |
|
òsinq d sinq = pR |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. ◄ |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задачи |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
I. Найти векторные |
|
линии ВП: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
® |
|
|
® |
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
® |
|
® |
® |
® ® |
® |
|||||||||
7.2.7. a = (x - y) i + (x + y) j . |
|
|
|
7.2.8. a = x i - y j . |
7.2.9. a = ( y + z) i - x j- x k . |
||||||||||||||||||||||||||||
II. |
Найти |
поток |
|
|
векторного |
|
|
|
|
|
® |
через |
внешнюю |
сторону |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
поляa |
|||||||||||||||||||||||||||||
поверхности |
G : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
® |
|
|
® |
® |
|
® |
|
|
G : |
|
x2 + y2 + z 2 =1, |
x > 0, y > 0, z > 0. |
|
||||||||||||||||||||
7.2.10. a = xy i + yz j + xz k , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
® |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G : |
z =1- |
|
|
|
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.2.11. a = r = {x, y, z}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
® |
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
G : DABC, |
|
|
|||
7.2.12. a = (x - 2z) i + (x + 3y + z) |
j + (5x + y) k , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A(1, 0, 0), |
B (0,1, 0), |
C (0, 0,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
III. Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток ВПa |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
через указанные |
замкнутые |
поверхности |
G : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
® |
|
® |
|
® |
® |
G : |
|
|
z 2 = x2 + y 2 , |
z =1. |
|
|
|||||||||||||||||||||
7.2.13. a = y i - x j + z k , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
® |
|
|
® |
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
G : z =1 - x, y = 3, |
x = 0, y = 0, |
z = 0. |
|||||||||||||
7.2.14. a = x2 z i + (z - x) |
j + (2 y + xz 2 )k , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
® |
|
|
® |
® |
® |
|
|
G : |
9 - z = x2 + y 2 , |
z = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||
7.2.15. a = 2x i - y j + z k , |
|
|
|
|
88
Задание на дом
7.2.16. |
Найти |
векторные |
линии |
® |
® |
® |
® |
aВП= ( y - z) i + (z - x) j+ (x - y) k |
|||||||
и определить |
вид векторных трубок. |
|
|
|
|
||
7.2.17. |
Найти |
® |
® ® ® |
через |
верхнюю |
поверхность |
|
поток ВПa = x i + y j+ z k |
|||||||
параболоида |
x2 + y2 + 2az = a2 , |
расположенную |
во |
втором |
октанте |
||
(x < 0, y > 0, z > 0). |
|
|
|
|
|
®® ® ®
7.2.18. Вычислить поток ВП a = 2x i + 2 y j+ z k через замкнутую поверхность
G : y = x2 , y = 4x2 , y =1, z = y, z = 0 |
(x ³ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y 2 = ce |
arctg |
y |
|
или r = cej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2.7. |
x |
(в |
|
полярных |
координатах). |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
7.2.8. Гиперболы xy = c. 7.2.9. Линии |
пересечения |
сфер x2 + y 2 + z 2 = R 2 |
||||||||||||||
и параллельных |
плоскостейy - z = c |
(окружности). |
7.2.10. |
3p |
. |
|||||||||||
16 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.2.11. |
p. |
7.2.12. |
5 |
. |
7.2.13. |
|
p |
. |
|
7.2.14. |
|
1 |
. |
|||
3 |
3 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2.15.162p. 7.2.16. Окружности, являющиеся линиями пересечения
сфер x2 + y2 + z 2 = c2 |
с |
плоскостямиx + y + z = c |
2 |
. |
|
Тороидальные |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
поверхности, образованные окружностями с центрами |
|
|
|
на |
||||||
прямой |
|
x = y = z, |
лежащими |
в |
|
|
плоскостяхx + y + z = c2 , |
|||
сечениями |
|
которых |
служат |
заданные |
замкнутые |
кривые. |
||||
7.2.17. |
pa4 |
. |
7.2.18. |
1. |
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
7.3. Циркуляция и ротор ВП. Простейшие ВП
7.3.1. |
Вычислить |
циркуляцию |
® |
® |
® |
® |
вдоль |
|||||||||
ВПa = ye xy i + xe xy j + xyz k |
||||||||||||||||
линии |
L, |
получаемой |
пересечением |
2 |
2 |
= |
(z -1) |
2 |
||||||||
конусаx + y |
|
|||||||||||||||
с координатными плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
► Сделаем чертёж. Линия L |
состоит из отрезков BC и CA, |
лежащих |
||||||||||||||
в координатных плоскостях YOZ и XOZ , |
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
соответственно, и дуги |
|
окружности |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 + y2 =1, |
z = 0 (рис. 7.5). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
циркуляция |
данного |
|
|
ВП |
|
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
® |
® |
® |
® |
|
® |
® |
® |
® |
|
|
|
|
|
|
||
СL = ò a × d r = ò a × d r + ò a × d r + ò a × d r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
È |
|
|
È |
|
|
|
È |
|
Рис. 7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|
|
CA |
|
AB |
|
|
0 |
|
|
||||
1. |
На |
отрезке |
BC |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x = 0, |
dx = 0, z =1 - y, |
dz = -dy, |
y Î[0,1]. |
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ò |
® |
|
® |
|
ò ye xy dx + xe xy dy + xyzdz = 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
a × d r = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
BC |
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
На |
отрезке CA |
|
|
имеем y = 0, dy = 0, |
z =1 - x, |
dz = -dx, |
x Î[0,1]. |
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®®
òa × d r = ò yexy dx + xexy dy + xyzdz = 0.
CA |
CA |
È |
|
3. Дуга AB окружности x2 + y2 =1, z = 0 задаётся параметрическими |
|
x = cos t, |
y = sin t, z = 0, t Î |
é |
p ù |
Тогда dx = -sin tdt, |
|
уравнениями |
ê0, |
|
ú. |
|||
|
||||||
|
|
|
ë |
2 û |
|
|
dy = costdt, |
dz = 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
® ® |
p / 2 |
|
|
|
|
|
ò a × dr = |
ò(- sin 2 tecos t sin t + cos2 tecos t sin t )dt = |
||||
|
È |
0 |
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
90