![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§4 Интерполирование
- •4.1 Постановка задачи
- •4.2 Существование и единственность интерполяционного многочлена
- •4.4 Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
- •4.5 Табличные разности (конечные разности)
- •4.7 Погрешность интерполяционной формулы Ньютона
- •4.8 Частные случаи интерполирования
- •4.9 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов
§4 Интерполирование
4.1 Постановка задачи
Пусть в (n+1)
точках
задана непрерывная функция
со своими значениями
,
то есть фактически задана таблица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)
Требуется найти
значение функции f
для аргумента
,
но не совпадающего с табличным
Если аналитическое
выражение функции
неизвестно или очень сложное, то часто
прибегают к замене функции
на
,
которая в некотором смысле близка к
функции
и аналитическое выражение которой будет
известно.
Записывают
,
где
- приближающая функция.
Существуют различные
способы построения приближающей функции.
Это зависит от выбора критерия близости.
Классическое
построение приближающей функции
основывается на требовании строгом
совпадения значений функции
и
в заданных точках, то есть
;
Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией.
- интерполирующая функция;
- интерполируемая функция;
заданные точки - узлы интерполяции.
Будем искать
интерполирующую функцию в виде многочлена
степени не выше n,
который в заданных точках принимает
такие же значения, что и заданная функция
.
( * ) – условие
интерполирования,
.
Многочлен
называется интерполяционным многочленом,
само интерполирование - параболическим.
Таблица 1 задает
систему точек
геометрический смысл интерполяции
заключается в том, что график функции
заменяется параболой n
–го порядка, являющийся графиком
и проходящей через заданные точки
,
то есть график функции
и
имеют (n+1)
общую точку.
4.2 Существование и единственность интерполяционного многочлена
Интерполяционный многочлен можно записать по убывающим степеням.
(2)
Неизвестные коэффициенты многочлена будем искать из условия ( * ).
Получим систему
из (n+1)
уравнения с неизвестными
(3)
(3) – линейная неоднородная система.
Запишем определитель
системы
,
где
-
определитель Вандермонда,
Так
как узлы интерполирования различны, то
определитель
система (3) имеет единственное решение,
то есть коэффициенты многочлена (2)
существуют и определяются единственным
образом.
Замечание: решая системы с (n+1) неизвестными, то есть имея (n+1) узел интерполяции, мы получаем многочлен степени не выше n.
Такой способ отыскания коэффициентов многочлена связан с решением системы, увеличение количества узлов интерполяции приводит к большим трудоемким вычислениям. Другой способ отыскания коэффициентов был предложен Лагранжом.
4.3 интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция
задана таблицей 1, построим интерполяционный
многочлен
,
который удовлетворял бы условию (*).
Будем искать
в виде
(4),
где
- многочлен степени не выше n
и удовлетворяет следующему условию:
(**)
Из условия (**)
следует, что все узлы, кроме одного, а
именно
являются нулями многочлена
.
(5)
А при
;
,
тогда
Подставляя
в (5) получаем
Так как
,
то окончательно получим
(6)
Многочлен (6) и есть многочлен Лагранжа.
Многочлен (6) можно записать и в более краткой форме.
Обозначим
- многочлен (n+1)
степени.
Производная от точки имеет вид:
(7)
Многочлен (7) и есть краткая запись многочлена Лагранжа.
Приближенное равенство
(8)
называется интерполяционная форма Лагранжа.
Пример: построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей.
|
0 |
0.5 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
n +1=4 – количество узлов;
n=3 - степень многочлена.