- •11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- •12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- •13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- •14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- •15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- •16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- •17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- •18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- •19. Обчислення лишків
- •20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- •21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- •22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- •23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- •24. Тригонометричні ряди Фур’є
- •25. Абстрактні ряди Фур’є
- •26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- •27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- •Нерівність Бесселя
- •28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- •29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- •30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- •31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- •32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- •33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- •34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- •35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- •36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- •37. Властивоcті перетворень Лапласа
- •38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- •39. Згортка функції. Зображення згортки.
- •40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- •41. Лема Жордана. Формула обернення.
11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
Розглянемо ряд (1) Заміна - степеневий ряд, збігається абсолютно і рівномірно всередині кола . Ряд (1) збігається абсолютно і рівномірно при
Область збіжності ряду (1) – це область зовні кола .
Можливі випадки :
1) Якщо , то ряд (1) розбігається в усіх скінченних точках.
2) Якщо , то ряд збігається абсолютно і рівномірно зовні кола та розбігається всередині цього кола.
3) Якщо , то ряд збігається скрізь, крім самої точки .
Отже, в області збіжності ряд (1) визначає аналітичну функцію
При можемо вважати, що аналітична в точці .
Означення
Рядом Лорана в точці називається ряд виду
Цей ряд розуміють як суму двох рядів : і . Він називається збіжним тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ці ряди.
Перший ряд збігається при , другий – при . Таким чином, ряд Лорана збігається тоді і тільки тоді, коли і область збіжності його – це кільце . В цьому випадку обидва ряди збігаються рівномірно і абсолютно, тоді їх сума – аналітична функція , (2)
( ).
Визначимо зв’язок коефіцієнтів ряду (2) з його сумою.
Нехай . На колі ряд (2) збігається рівномірно, і він також буде збігатись рівномірно, якщо його помножити на обмежену функцію
- рівномірно збігається в точках кола можна інтегрувати почленно на : (з попередніх лекцій відомо, що ).
В правій частині всі інтеграли рівні 0, крім інтеграла для (в цьому випадку ).
Отже, .
Наслідок
Якщо суми двох рядів Лорана і , що збігаються в кільцях відповідно, співпадають на колі (спільне для ), то , тобто ряди тотожні.
Висновок
Розклад в рад Лорана має властивість єдиності.
12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
Будь-яка функція , однозначна і аналітична в області D ( ) може бути представлена в цьому кільці збіжним рядом Лорана .
Зауваження
Охоплюються випадки:
1) круг без центра – точки
2) зовні кола
3) вся площина без точки
Доведення
Тоді в області функція аналітична. Має місце інтегральна формула Коші : .
1) На маємо
(як сума геометричної прогресії із знаменником ).
- аналітична на неперервна, обмежена, тоді на рівномірно збігається і ряд його можна почленно інтегрувати:
2) На маємо :
- неперервна, обмежена в точках ряд буде збігатися рівномірно і після множення на :
.
Можна інтегрувати на почленно :
Таким чином, отримали
(з теореми Коші для багатозв’язних областей випливає, що
). Доведено.
13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
Нехай f(z) – однозначна, аналітична в деякому околі (можливо, проколотому) точки , .
Можливі випадки:
1) Існує скінченна границя Тоді, поклавши , отримуємо аналітичну функцію (в точці також). Тоді точка називається правильною для f(z) .
2)
або
3) не існує
В цих випадках називається ізольованою особливою точкою функції f(z) .
Розглянемо ряд Лорана в околі точки :
(1)
(Частина ряду Лорана з від’ємними степенями називається головною частиною, а чистина з невід’ємними степенями називається правильною частиною).
(2)
Якщо f(z) аналятична і однозначна при , то буде правильною для тоді і тільки тоді, коли обмежена в деякому околі точки .
Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.
необмежена – має місце два випадки:
1) точка називається полюсом функції .
2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.