![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •13. Границя суми, різниці, добутку й частки (для послідовностей та функцій).
- •15. Теореми про границю монотонних послідовностей та функції; їх наслідки
- •16. Число е та відповідна визначна границя
- •22. Асимптотична поведінка ф-ції: означення, основна теорема про асимптотичний розклад, наслідки.
- •23. Властивості о-малих та застосування еквівалентностей до обчислення границь.
- •24. Теорема Коші про проміжні значення неперервної ф-ції
- •Геометричний смисл похідної
- •29. Похідна суми, різниці, добутку та частки.
- •30. Похідна оберненої функції. Похідна від всіх елементарних функцій.
1. Основні операції математики змінних величин на прикладі задачі про прямолінійний нерівномірний рух
1. Дано S(t) , знайти v(t) .
S = S(t+∆t)−S(t)
2.
Повнота множини дійсних чисел. Теорема
про вкладені
відрізки.
3. Віддаль на числовій прямій. Розширена числова пряма.
4. Околи та їх загальні властивості.
5. Обмеженість та точні межі числових множин: означення та існування точних меж, загальна теорема про повноту, характеристика обмеженості множини через точні межі.
6. Комплексні числа: означення, алгебраїчні операції, геометричне зображення
Комплексне додавання та множення виразів а+0і рівносильно дійсному додаванню та множенню
7. Комплексні числа: тригонометрична форма та її застосування
9. Границя послідовності та функції: загальні означення ті їх частинні випадки, приклади, критерій існування двосторонньої границі через односторонні
П
10. Єдиність границі послідовності та функції; зауваження про збіжні та нескінченно малі величини
11. Граничні оцінки та границі нерівностей для послідовностей та функцій
12. Границя затиснутої послідовності та функції
13. Границя суми, різниці, добутку й частки (для послідовностей та функцій).
14. Частинні границі послідовності: означення, існування границі послідовності через підпослідовності. Т-ма Больцано-Веєрштрасса.
15. Теореми про границю монотонних послідовностей та функції; їх наслідки
16. Число е та відповідна визначна границя
17. Критерій Коші збіжності послідовності та існування скінченної границі функції. Приклади збіжної та розбіжної послідовності.
18. Теорема існування границі функції через послідовності
19. Неперервність функції: означення, збереження неперервності при арифметичних операціях над функціями та при суперпозиції, точки розриву та їх типи; приклади
20. Елементарні функції та їх неперервність
21. Визначні границі.
Перша границя.
Доказательство
Рассмотрим
односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R
= 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из
:
| LA
| = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при
:
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий [показать]
[править] Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами:
,
где
—
это целая часть x.
Отсюда
следует:
,
поэтому
.
Если
,
то
.
Поэтому, согласно пределу
,
имеем:
.
По
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов
.
2.
Пусть
.
Сделаем подстановку − x
= t,
тогда
.
Из
двух этих случаев вытекает, что
для
вещественного x.
Следствия
для
,
22. Асимптотична поведінка ф-ції: означення, основна теорема про асимптотичний розклад, наслідки.
23. Властивості о-малих та застосування еквівалентностей до обчислення границь.