- •Содержание дисциплины "Дискретная математика" введение
- •Входная контрольная работа
- •1Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 1. Основы теории множеств
- •Тема 1.1 Основные понятия теории множеств.
- •Тема 1.2 Операции над множествами.
- •Самостоятельная работа № 1
- •Тема 1.3 Свойства операций.
- •Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 2. Формулы логики.
- •Тема 2.1 Основные логические операции.
- •Тема 2.2 Формулы логики.
- •Самостоятельная работа №2.
- •Тема 2.3 Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Тема 2.4 Конъюнктивная нормальная форма.
- •Тема 2.5 Равносильные формулы. Свойства.
- •Раздел 3. Булевы функции.
- •Тема 3.1 Понятие булевой функции.
- •Тема 3.2 Совершенная днф. Совершенная кнф. Совершенной дизъюнктивной формой формулы алгебры высказываний (сднф) называется днф, в которой:
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Самостоятельная работа №5.
- •Тема 3.3 Минимальная днф.
- •Тема 3.4 Представление булевой функции в виде минимальной днф.
- •Самостоятельная работа №6. Самостоятельная работа №7
- •Тема 3.5 Полнота множества функций.
- •Тема 3.6 Важнейшие замкнутые классы.
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Тема 3.7 Теорема Поста.
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Контрольная работа
- •Раздел 4. Предикаты и бинарные отношения.
- •Тема 4.1 Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.
- •Тема 4.2 Логические операции над предикатами.
- •Самостоятельная работа №8.
- •Тема 4.3 Кванторные операции над предикатами.
- •2. Квантор существования
- •- «Все люди любят всех людей».
- •- «Существует человек, который кого-то любит» .
- •- «Существует человек, который любит всех людей».
- •Тема 4.4 Понятие предикатной формулы.
- •Тема 4.5 Равносильность предикатов. Исчисление предикатов.
- •Самостоятельная работа №9.
- •Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №10. Контрольная работа
- •Раздел 5. Отображения. Подстановки.
- •Тема 5.1 Отображения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №11.
- •Тема 5.2 Композиция отображений и обратное отображение.
- •Тема 5.3 Подстановки. Обратные подстановки. Формула количества подстановок.
- •Самостоятельная работа №12. Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •Раздел 6. Метод математической индукции.
- •Тема 6.1 Принцип метода математической индукции.
- •Раздел 7. Основы теории графов.
- •Тема 7.1 Понятие неориентированный граф. Основные определения.
- •Лабораторная работа № 1.
- •Тема 7.2 Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф, его свойства.
- •Лабораторная работа № 2.
- •Тема 7.3 Метрические характеристики графа.
- •Лабораторная работа № 3.
- •Тема 7.4 Двудольные и изоморфные графы.
- •Лабораторная работа № 4.
- •Тема 7.5 Эйлеровы и гамильтоновы графы.
- •Лабораторная работа № 5
- •Тема 7.6 Плоские графы.
- •Тема 7.7 Деревья. Код Пруфера.
- •Тема 7.8 Понятие ориентированный граф (орграф).
- •Тема 7.9 Достижимость вершин в орграфе.
- •Раздел 8. Элементы теории алгоритмов.
- •Тема 8.1 Определение класса финитно-поставленных задач.
- •Тема 8.2 Машины Тьюринга.
- •Тема 8.3 Уточнения понятия алгоритм.
- •Итоговая (выходная) контрольная работа.
3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
0 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
x1x2 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
x1x2 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x1x2, x1x2}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где а равны 0, если члены х х ...х , в полиноме отсутствуют.
4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S\T0, то f(0, ..., 0) = 1, f(1, ..., 1)=0, следовательно, f M, f T1. Рассмотрим функцию h = x1x2 x2x3 x1x3=1, набор ее значений (11101000), h S\T0, но h L. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
L T1 |
- |
+ |
+ |
- |
- |
S\T0 |
- |
- |
- |
+ |
- |
и А – полная система функций.
Система функций {f1, ..., fs, ...} называется базисом в Р2,если она полна в Р2, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x1&x2, 0, 1, x1 x2 x3} – базис.
Контрольная работа
Вариант I
Составить таблицу истинности для булевой функции:
Составить СДНФ и СКНФ для:
Найти минимальную (сокращённую) ДНФ для в.ф. ы
Определить является ли следующая система функций полной {0,1,¬x, }
Дана формула . Определите булевую функцию, которую реализует данная формула (составить таблицу истинности)
Вариант II
Составить таблицу истинности для булевой функции:
Составить СДНФ и СКНФ для:
Найти минимальную (сокращённую) ДНФ для в.ф. ы
Определить является ли следующая система функций полной
Дана формула . Определите булевую функцию, которую реализует данная формула (составить таблицу истинности)
Раздел 4. Предикаты и бинарные отношения.
Тема 4.1 Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.
Предикатом называется функция , где произвольное множество, а определённое двоичное множество .
Иначе говоря, местным предикатом, определённым на множестве называется двузначная функция от аргументов из произвольного множества . Множество называется предметной областью предиката, переменные - предметными переменными. В принципе, можно определить предикат как функцию , то есть допустить, что переменные принимают значения из различных множеств – в некоторых случаях это оказывается удобным.
Для любых и существует взаимно однозначное соответствие между местными отношениями и местными предикатами на множестве , определяемое следующим образом. Каждому местному отношению соответствует предикат такой, что тогда и только тогда, когда ; всякий предикат определяет отношение такое, что тогда и только тогда, когда . При этом задаёт область истинности предиката.
Всякой функции можно поставить в соответствие местный предикат такой, что тогда и только тогда, когда . Поскольку функция должна быть однозначной, то это соответствие требует, чтобы для любого выполнялось . Поэтому обратное соответствие (от предиката к функции) возможно только при выполнении указанного условия.
Пример 1.
а) Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание истинно, а высказывание ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат: и так далее.
б) В описаниях вычислительных процедур и, в частности, в языках программирования, часто встречаются указания типа “повторять цикл до тех пор, пока переменные и не станут равными или прекратить вычисление цикла после ста повторений”. Если обозначить через счётчик повторений, то описанное здесь условие примет вид , а само указание в целом описывается выражением: “повторять, если ”.