- •9. Числові ряди
- •9.1. Збіжність і розбіжність числових рядів
- •9.2. Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами
- •9.3. Числові ряди з довільними дійсними членами абсолютна і умовна збіжності
- •9.3.1. Знакозмінний ряд
- •9.3.2. Абсолютно і умовно збіжні ряди
- •9.3.3. Деякі ознаки абсолютної збіжності
- •9.3.4. Деякі властивості рядів з довільними дійсними членами
- •10. Степеві ряди
- •10.1. Степеневий ряд і властивості його суми
- •10.1.1. Степеневий ряд, його радіус, інтервал і область збіжності
- •10.1.2. Властивості суми степеневого ряду
- •10.2. Розвинення функцій в степеневі ряди
- •10.3. Деякі застосування степеневих рядів
- •10.3.1. Наближене інтеґрування диференціальних рівнянь а) Метод ряду Тейлора (Маклорена)
- •Б) Метод невизначених коефіцієнтів для лінійних рівнянь
- •10.3.2. Наближене обчислення інтеґралів
- •10.3.3. Наближені обчислення
- •11. Ряди фур"є
- •11.1. Ряд фур"є1 за ортогональною системою функцій
- •11.2. Ряд фур"є за тригонометричною системою функцій
- •Деякі українсько-російські терміни і словосполучення. Частина 2 Невизначений інтеґрал
- •Визначений інтеґрал
- •Подвійний інтеґрал
- •Диференціальні рівняння
- •9. Числові ряди 377
РЯДИ
9. Числові ряди
9.1. Збіжність і розбіжність числових рядів
Означення 1.
Числовим рядом
зсначення
( 1 )
Означення 2. Вираз називається загальним членом ряду (1).
Приклад 1. Знайти загальний член ряду
.
Перші і другі співмножники в знаменниках утворюють арифметичні проґ- ресії з першими членами , різницями та n-ми членами
.
Отже, шуканий загальний член дорівнює
.
Означення 3. Сума перших n членів ряду (1), а саме
, ( 2 )
називається його n-ою частковою сумою
Наприклад, перша, друга і третя частинні суми дорівнюють
Означення 4. Ряд
( 3 )
називається залишком ряду (1) після n-го члена (або n-им залишком ряду).
Означення 5. Якщо існує скінченна границя n-ої часткової суми ряду (1) при ,
, ( 4 )
то ряд називається збіжним. Число S називається в такому разі сумою ряду, і можна написати рівність
( 5 )
кажучи, що ряд збігається до (своєї суми) S.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
.
Спочатку зауважимо, що
,
оскільки
Даючи послідовно значення 1, 2, 3,… змінній n, ми подамо n-у часткову суму ряду наступним чином:
.
Отже,
За означенням збіжності даний ряд збігається до суми (має суму) S = 1/6.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
.
По аналогії з попереднім прикладом ми подамо загальний член ряду як різницю двох дробів,
,
а потім (послідовно покладаючи n = 1, 2, 3,…) дістаємо n-у часткову суму і суму ряду
;
.
Даний ряд збігається і має суму (збігається до ).
Приклад 4. Доведіть самостійно, що ряд
збігається і має суму .
Приклад 5. Знайти суму ряду
.
Відповідь.
.
Приклад 6. Геометрична проґресія
( 6 )
з знаменником q збігається у випадку і має суму
,
тобто
, . ( 7 )
Дійсно, n-а часткова сума проґресії дорівнює
і має при границю
,
бо при
.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд
,
користуючись означенням збіжності ряду.
Поділивши почленно, ми запишемо n-у часткову суму ряду у вигляді
.
Ми отримали три геометричні проґресії з першими членами
і знаменниками
.
Отже, n-а часткова сума ряду дорівнює
,
а сума ряду
.
Означення 6. Якщо
або ж границя
взагалі не існує, ряд (1) називається розбіжним. Можна також сказати, що ряд розбігається.
Приклад 8. Арифметична проґресія
розбігається, бо її n-а часткова сума дорівнює
і має нескінченну границю при .
Приклад 9. Геометрична проґресія (6) розбігається при і .
■ a) Якщо
,
то
при , і границя n-ої часткової суми при є нескінченною, а при не існує.
б) Якщо
,
проґресія набуває вигляду
,
має n-у часткову суму
з границею, рівною при і при .
в) Якщо, нарешті,
,
проґресія має вигляд
,
її n-а часткова сума дорівнює 0 для n парних і a для n непарних. Тому границя
не існує.
Таким чином, у всіх трьох випадках a), б), в) проґресія розбігається.■
Приклад 10. Гармонічний ряд
( 8 )
збігається при і розбігається при .
Ми доведемо цей факт пізніше.
Наприклад, гармонічні ряди
збігаються ( відповідно), а ряди (також гармонічні)
розбігаються (відповідно ).
Теорема 1. Необхідна (але не достатня!) умова збіжності ряду (1) така:
. ( 9 )
Теорема 1 означає, що якщо ряд (1) збігається, то границя його загального члена при повинна бути рівною нулю.
■Нехай ряд (1) збігається до . Це означає, що
.
Але
,
і тому
.■
Приклад 8. Ряди
a) b)
розбігаються, оскільки для першого з них
,
а для другого
,
і необхідна умова збіжності для обох рядів не виконується.
Приклад 11. Необхідна умова збіжності виконується для двох наступних рядів
,
але тільки на підставі цього ми не можемо нічого сказати про їх збіжність чи розбіжність. Нижче ми доведемо, що перший ряд збігається, а другий - розбігається.
Теорема 2. Якщо ряд (1) збігається, то для будь-якого n збігається його залишок після n-го члена (n-й залишок) (3). Якщо, далі, залишок (3) ряду (1) збігається при деякому n, то збігається і сам ряд (1).
■Доведімо першу частину теореми. Нехай ряд (1) збігається до S, і позначмо k-у частинну суму залишку (3),
.
Очевидно, що
,
а отже існує границя
.
Це значить, що залишок (3) збіжного ряду (1) збігається для будь-якого n.■
Сенс теореми 2 полягає в наступному: факт збіжності чи розбіжності ряду не змінюється, якщо додати до нього чи відкинути в ньому скінченну кількість членів.
Наслідок 1. Позначмо суму n-го залишку збіжного ряду. На підставі доведення теореми 2 отримуємо
,
і тому
. ( 10 )
Формула (10) подає суму S збіжного ряду сумою його n-ої часткової суми і суми відповідного n-го залишку.
Наслідок 2. Сума n-го залишку збіжного ряду прямує до нуля при ,
( 11 )
■З формули (10) випливає, що
.■
Наслідок 3. Для великих n сума S збіжного ряду наближено дорівнює
( 12 )
з абсолютной похибкою
. ( 13 )
Останню можна зробити як завгодно малою для достатньо великих значень n.
На практиці часто-густо нема необхідності досліджувати ряди на збіж-ність тільки за допомоги означень 5, 6, тобто відшуканням границі n-ої часткової суми . Достатньо встановити факт його збіжності чи розбіжності з інших міркувань і в разі збіжності знайти наближене значення його суми.
Існує багато ознак збіжності або розбіжності рядів. Розпочнімо з формулювання наступної теореми.
Теорема 3 (необхідна і достатня ознака Коші1 збіжності числового ряду). Числовий ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, якщо для довільного додатного як завгодно малого числа існує (натуральне) число N таке, що для будь-якого більшого натурального числа n и для довільного натурального m виконується нерівність
.
Символічно
. ( 14 )
Буквою позначена множина всіх натуральних чисел.
Теорема 4 (почленні лінійні операції над числовими рядами). Нехай дано два числових ряди з сумами S і T відповідно,
.
В такому випадку для будь-якого числа k
(15)
(винесення сталого множника k з збіжного ряду),
( 16 )
(почленне додавання чи віднімання двох збіжних рядів), і для будь-яких чисел k і l
( 17 )
(почленна лінійна комбінація двох збіжних рядів, наслідок формул (15), (16)).
■Справедливість формули (15) випливає з рівності, що пов"язує n-і часкові суми рядів
,
а саме,
.
Отже, для сум рядів дістаємо
.■
Формули (16), (17) доведіть самостійно.
Приклад 12. Суму ряду
(див. Приклад 7) можна дуже просто обчислити за теоремою 4 і формулою (7). Дійсно,
.