Лекция 1. Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях
Эконометрика – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической статистики.
Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов.
Задачи – построение экономических моделей и оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.
Эконометрический анализ служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия обоснованных экономических решений.
Типы данных
При моделировании экономических процессов оперируют типами данных: пространственными и временными.
Пространственные данные – это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов (фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот же момент времени.
Временные данные – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты времени (временной срез). Например, ежеквартальные данные об инфляции, средней заработной плате, данные о национальном доходе за последние годы.
Классы моделей
Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель. Эконометрические модели могут представлять собой модель временного ряда, систему одновременных уравнений, а также регрессионную модель с одним уравнением. Регрессионная модель с одним уравнением представляет собой уравнение регрессии, где среднее значение зависимой (объясняемой, эндогенной) переменной у объясняется как функция одной или нескольких независимых (объясняющих, экзогенных) переменных:
или ,
где х1, х2, ….хn – независимые переменные или факторы, оказывающие влияние
на зависимую переменную.
Рассмотрим уравнение регрессии: ,
где 10000 – постоянные затраты, не зависящие от объема производства;
500 – переменные затраты, зависящие от объема производства. Подставляя в уравнение регрессии различные значения х (объем производства) можно получить общее значение затрат на производство. Таким образом, мы имеем дело с эконометрической моделью, которая позволяет делать прогнозы, однако для этого необходимо предварительно построить эту модель и оценить ее.
Наиболее простым является построение и оценка парной регрессии.
Парная регрессия – это уравнение связи двух переменных y и x:
.
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия имеет вид: ,
где a – параметр, представляющий собой значение y при x=0. Если фактор не имеет или не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка не имеет смысла. Параметр может и не иметь экономического содержания.
b – коэффициент регрессии, который указывает направление связи (если , связь прямая, если , связь обратная). Величина b показывает, на какую величину в среднем изменится результат, если фактор х увеличится на одну единицу своего измерения.
Практически в каждом отдельном случае величина у складывается из двух слагаемых:
,
где уi – фактическое значение результативного признака;
x - теоретическое значение результативного признака, найденное по уравнению регрессии.
- случайная составляющая, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам используют метод наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров, что при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е. .
Для этого решается следующая система нормальных уравнений относительно a и b:
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из данной системы:
,
,
где - ковариация двух переменных x, y , т.е. средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних;
- дисперсия фактора объясняющей переменной x.
Пример. По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек . Необходимая для расчета оценок параметров информация представлена в таблице 1.1.
Таблица 1.1