Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfб.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол межАУ векторами
Определение угла <р между ненулевыми векторами а= (а"; ау; az)
и Б = (Ьх; Ьу; Ьz):
а· Б |
|
|
|
cos <р = lal . 1ь1' т. е. cos <р = . fa2 + а2 + а2 .. /ь2 |
+ ь2 + ь2 |
||
ух у |
zyx |
у |
z |
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а
и Б:
Проекция вектора на заАанное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто
ром Б, может осуществляться по формуле
а· Б ( |
- |
а· Б) |
' |
|
прьа = lbl |
праЬ = |
lal |
т. е. |
|
|
|
|
|
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло
жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол <р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).
|
|
|
Из физики известно, что работа си |
|
|
|
лы F при перемещении S равна |
|
|
|
А= F · S · cos<p т. е. А= F · S. |
<р |
: |
Таким образом, работа постоянной силы |
|
|
|||
~ |
·в |
при прямолинейном перемещении ее точ |
|
|
|
|
ки приложения равна скалярному произ |
|
Рис. 15 |
ведению вектора силы на вектор переме- |
|
|
|
|
щения. |
Пример 6. 3. Вычислить работу, произведенную силой F= (3; 2; 4),
если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения
А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена
сила F?
Q Решение: Находим S = АВ = (2,-2, 1). Стало быть,
А= F · S = 3 · 2 + 2 · (-2) + 4 · 1 = 6 (ед. работы).
_ _ |
|
|
F·S |
|
Угол <р между F и S находим по формуле cos <р = |
IFl·ISI, т. е. |
|||
6 |
6 |
2 |
2 |
|
cos<p= J9+4+16·J4+4+1 = |
-/29·3 = |
-/29' |
<р = arccos -/29 . |
|
• |
||||
|
|
|
50
§7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ИЕГО СВОЙСТВА
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора а, Б и с, взятые в указанном порядке,
образуют правую mpotiкy, если с конца третьего вектора с кратчайший
поворот от первого вектора а ко второму вектору Б виден совершаю
щимся против часовой стрелки, и .левую, если по часовой (см. рис. 16).
праваятройка, ~ леваятройка
ii
Рис. 16
~Векторным nрои.зведени.ем вектора а на вектор Б называется
вектор ё, который:
1)перпендикулярен векторам а и Б, т. е. ё .1 а и ё .1 Б;
2)имеет длину, численно равную площади параллелограмма, по
строенного на векторах а и Б как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
lёl = lal ·lbl siшp, где 'Р = (а, Ь);
3) векторы ii, Б и ё образуют правую тройку.
z
ё
|
j |
у |
|
|
|
ii |
х |
|
Рис. 17 |
Рис. 18 |
|
Векторное произведение обозначается ii х Били [а, Б].
Из определения векторного произведения непосредственно вытека
ют следующие соотношения между ортами l, J и k (см. рис. 18):
l х ] = k, ] х k = l, k х l = ].
Докажем, например, что l х J= k.
51
о 1) k J_ i, k J_ J;
2) |
lkl = 1, но \i х JI = \il · IJI ·sin 90° = 1; |
|
3) |
векторы i, J и k образуют правую тройку (см. рис. 16). |
8 |
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей |
ахЬ |
векторное произведение меняет знак, т. е.
iiх Б = -(Ь ха) (см. рис. 19).
ОВекторы ii х Б и Б х ii коллинеарны, име
ют одинаковые модули (площадь паралле
...:~~ПJ:Ifт:тп;;J~~n:~:,"
:::[:~~j~;~j~i~i~i~~~~~:~;~;~~~i~i~i~~~::::/'
... :.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::·i
·:·:·:-:-:-:-:-:-:·:·:·:-:-:-:-:-:-:-:-:·:·1
·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.r
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~
лограмма остается неизменной), но проти
воположно направлены (тройки а, Б, а х Б
и ii, Б, Б х ii противоположной ориентации).
Стало быть, ах Б = -(Б ха). |
• |
|
||
2. Векторное произведение |
обладает |
Бха |
||
сочетательным свойством |
относительно |
|||
|
||||
скалярного множителя, |
т. е. |
Л(ii х Ь) = |
|
= (Ла) х Б =ах (ЛЬ). |
Рис. 19 |
|
О Пусть Л > О. Вектор Л(iix Ь) перпендикулярен векторам ii и Б. Вектор (Лii) х Б также перпендикулярен векторам ii и Б (векторы ii, Лii лежат в одной плоскости). Значит, векторы Л(ii х Ь) и (Лii) х Б коллинеарны.
Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
JЛ(ii х Ь)1= Л\а х bl = ЛJal · JbJ ·sin(a, Ь)
и |
х bl = IЛiiJ ·lbl · sin(Лii, Ь) = Лlal · lbl sin(ii, Ь). |
|
J(Лii) |
|
|
Поэтому Л(ii х Ь) |
= Лii х Б. Аналогично доказывается при Л <О. |
• |
3. Два ненулевых вектора ii и Б коллинеарны тогда и только то
гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.
а 11 |
Б {=:::> а х Б = о. |
|
О Если ii 11 |
Б,2..о угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Jii х БJ = |
|
= JiiJ · lbl · sin(ii, Ь) = О. Значит, ii х Б =О. |
||
|
Если же ii х Б = О, то JiiJ ·Jbl sin ер = О. Но тогда ср = 0° или ер = 180°, |
|
т. е. а 11 Б. |
8 |
|
!iJ |
В частности, i х i = J х J= k х k = О. |
|
|
4. Векторное произведение обладает распределительным свойст- |
вом:
(а + Б) х ё = а х ё + Б х ё.
Примем без доказательства.
52
7 .3. Выражение векторного произведения
через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто
ров l, J и k:
|
i |
j |
k |
|
|
i |
о |
k |
- j |
Чтобы не ошибиться со |
|
знаком, удобно пользо |
|||||
j |
-k |
о |
i |
||
ваться схемой: |
|||||
k |
j |
-i |
о |
||
|
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со
впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век
тору, если не совпадает - третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а = axl +ау]+ azk и Б = Ьхz + Ьу] + Ьzk.
Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как
многочлены (согласно свойств векторного произведения):
ах Б = (axl +ау]+ azk) х (Ьхl + Ьу] + Ь}i) =
=ахЬх(l х z) + axby(Z х J) + axbz(Z х k) + aybx(J х l) + ayby(J Х })+
+aybz(J Х k) + azbx(k Х z) + azby(k Х J) + azbz(k Х k) =
=О+ axbyk - axЬzJ - aybxk +О+ aybzl + azЬxJ - azbyz +О=
= (aybz - azby)Z - (axbz - azbx)J + (ахЬу - aybx)k =
т. е.
ах ь-= laь: |
(7.1) |
Полученную формулу можно записать еще короче:
i |
j |
k |
|
ахЬ= ах |
ау |
az , |
(7.2) |
Ьх |
Ьу |
Ьz |
|
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде
лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2)
легко запоминается.
53
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Если а 11 Б, то ах Б =О (и наоборот), т. е.
i |
j |
k |
ах - |
ау |
|
az |
|
|
|
|
ахЬ= ах |
ау |
az =0 |
= |
а |
11 |
Б. |
||||
<=:::} |
|
<=:::} |
||||||||
Ьх |
Ьу |
Ьх - |
Ьу |
Ьz |
|
|||||
Ьz |
|
|
|
|
|
|
|
НахожАение площаАи параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и Б
/ах Б/ = lal ·lbl sinrp, т. е. Sпар = la х Б/. И, значит, Sл = ~la х БI.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О - некоторая
точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что момен,том С'UЛ'Ы F относительно точки О
называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо |
----- |
|
|
IMI = IFI ·ON = IFI ·lrl ·sin rp = IFI ·/OAI sin(F, ОА); |
3) образует правую тройку с векторами ОА и АВ.
Стало быть, М = ОА х F.
---
Рис. 20 Рис. 21
НахожАение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско ростью r;J вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера iJ = r;J х r, где r = ОМ, где О - некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).
54
§ 8. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1.Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов ii, Б и ё, составленное следу ющим образом: (ах Ь) ·ё. Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе
ние называется векторно-ска.л.ярн:ым, или смешанным, произведением
трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое
число.
Выясним геометрический смысл вы-
ражения (ах Ь)·ё. Построим параллелепи
пед, ребрами которого являются векторы
ii, Б, ё и вектор d = ii х Б (см. рис. 22).
Имеем: (ii х Ь) ·ё = d ·ё = ldl ·ПРJ ё, ldl = la х bl = S, где S - площадь парал
лелограмма, построенного на векторах ii
и Б, ПРJ ё = Н для правой тройки век
торов и ПРJ ё = - Н для левой, где Н - высота параллелепипеда. Получаем:
1
1
1
1
1
Н'1
(а х Б) ·ё = S ·(±Н), т. е. (а х Б) ·ё = |
Рис. 22 |
||
= ± V, где V - |
объем параллелепипеда, |
||
|
образованного векторами а, Б и ё.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ
ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна
ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
8.2. Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста
новке его сомножителей, т. е. (ii х Ь) ·ё = (Ь х ё) ·а= (ё х ii) · Б.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле пипеда, ни ориентация его ребер.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна
ков векторного и скалярного умножения, т. е. (ах Ь) ·ё =а· (Ь х ё).
Действительно, (ах Б) · ё = ±V и |
а· (Ь х ё) = (Ь х ё) ·а= ±V. Знак |
в правой части этих равенств берем |
один и тот же, так как тройки |
векторов ii, Б, ё и Б, ё, а - одной ориентации.
55
Следовательно, (ах Б) · ё = а(Б х ё). Это позволяет записывать сме
шанное произведение векторов (ах Ь)ё в виде аЬё без знаков векторного,
скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест
любых двух векторов-сомножителей, т. е. аЬё = -аёБ, аБё = -Баё, аЬё = = -ёБа.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке
сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения
знак.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулю
тогда и только тогда, когда они компланарны.
Q Если аЬё = О, то а, Б, ё - компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле
пипед с объемом V =Р О. Но так как аЬё = ±V, то получили бы, что
аЬё =Р о. Это противоречит условию: |
аЬё = о. |
Обратно, пусть векторы а, Б, ё - |
компланарны. Тогда вектор d = |
= а х Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а,
Б, ё, |
и, следовательно, d ..l ё. Поэтому d ·ё = О, т. е. аБё = О. |
8 |
8.3. |
Выражение смешанноrо произведения |
|
|
через координаты |
|
Пусть заданы векторы а = axI +ау]+ azk, Ь Ьхi + Ьу} + Ьzk, ё = Cxt + су]+ Czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы
ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
i j
(ах Ь)ё = ах ау
Ьх Ьу
k
az · (cxi +су]+ Czk) =
Ьz
= (j ~: azЬz ji-j ~; |
~; |
/1+1 ~= |
~: 1 k) · (cxi +су}+ Czk) = |
|||||||
= 1 ~: |
az 1 · |
Сх |
_,ах |
az |
1 |
. Су+ |
1 ах |
ау 1 |
· Cz. |
(8.1) |
Ьz |
Ьх |
Ьz |
|
Ьх |
Ьу |
|
Полученную формулу можно записать короче:
Сх Су Cz
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение
определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре
тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
56
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а, Ь и ё основано на следующих соображениях. Если аЬё > О, то а, Ь, ё - правая тройка;
если аЬё < О, то а, Ь, ё - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, Ь и ё компланарны тогда и только тогда, когда их сме
шанное произведение равно нулю (а"# О, Ь "#О, ё "#О):
|
az |
аЬё=О ~ |
Ьz = О ~ векторы а, Ь, ё компланарны. |
Сх Су |
Cz |
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на
векторах а, Ь и ё вычисляется как V = labёl, а объем треугольной
пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = ~labёl.
Пример 8.1. |
Вершинами пирамиды |
служат точки А(1;2;3), |
||
В(О; -1; 1), С(2; 5; 2) и D(3; О; -2). Найти объем пирамиды. |
||||
О Решение: |
Находим векторы а, Ь, ё: |
|
||
а= АВ = (-1; -3; -2), Ь =АС= (1; 3; -1), |
ё = AD = (2; -2; -5). |
|||
Находим аЬё: |
|
|
|
|
-1 |
-3 |
-2 |
= -1·(-17)+3. (-3) - 2. (-8) = 17 - 9 + 16 = 24. |
|
аЬс= 1 |
3 |
-1 |
||
2 |
-2 |
-5 |
|
|
Следовательно, V = ~ ·24 = 4. |
• |
|
Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Лекции 7-9 1
§ 9. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
9.1. Основные понятия
~Под системоit координат на плоскости понимают способ, по зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является nрямоуго.11:ьная (декартова) система ко
ординат.
Прямоугольная система координат за
дается двумя взаимно перпендикулярными
у
прямыми - осями, на каждой из которых
увыбрано положительное направление и за
дан единичный (масштабный) отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинако
хвой для обеих осей. Эти оси называют ося
хми координат, точку их пересечения О - на'Чалом координат. Одну из осей называ
Рис. 23 |
ют осъю абсцисс (осью Ох), другую - осью |
|
орди-нат (осью Оу) (рис. 23). |
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на
правленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направлен
ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области -
'Четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают f и J (lfl = IJI = 1, f 1- ]).
Систему координат обозначают Оху (или OfJ), а плоскость, в ко
торой расположена система координат, называют координатноi1. плос-
костъю.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ
называется радиусом-вектором точки М.
~Координатами точки М в системе координат Оху (Oi]) на
зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется аб
сциссоi& точки М, у - ординатоit точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен
ная точка М плоскости, и наоборот.
58
Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди
нат) называется методом координат. Сущность метода координат на
плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо
ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле
дования уравнения линии.
Другой практически важной системой координат является по.л.я.р ная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым по.л.я.рноii, осью, и еди ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение . точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О
и углом ср, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис.
у
~М(с;~) |
j |
|
|
|
х |
|
р |
о ё |
р |
Рис. 24 |
Рис. 25 |
Числа r и ср называются по.п.ярн.ими координатами точки М,
пишут M(r; ср), при этом r называют nо.п.ярним радиусом, ср -
по.л.я.рным углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
ср ограничить промежутком (-1Г; 1Г] (или О ~ ср < 27Г), а полярный
радиус - [О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел r и ер, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координа
тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - пря
моугольные координаты точки М, а r и ср - ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты
точки М выражаются следующим образом:
{х = r · c~sep, |
r = Jx2 +у2, |
|
{ |
'JL. |
|
у= r · sшер; |
tgep = |
|
|
|
х |
Определяя величину ер, следует установить (по знакам х и у) че
тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -1Г <ер~ 1Г.
59