Министерство науки и образования Российской Федерации
ФГБОУ ВО Ивановский государственный химико-технологический университет
Кафедра высшей и прикладной математики
Лабораторная работа
По дисциплине: «Численные методы»
Вариант №19
Выполнил: ст. гр. 2/61 АТП и П П.А. Хавари
Проверил: доц. С.В. Кулакова
Иваново 2017
ЗАДАЧА № 1
Найти решение системы методом простой итерации с точностью 0,0001.
А = В =
Краткая теоретическая часть
Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
(1)
или где - заданные числа; .
Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.
Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и
находим первое приближение.
, (2)
Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.
В результате для k-ого приближения получаем формулу:
, (2’)
Таким образом мы получили последовательность векторов
Х(0),Х(1),…, Х(К), к=1,2,…
Если любая из таких последовательностей {Хi(к)} сходится некоторому пределу xik = ci , ,то данный вектор сi, является решением сист. (1)
В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене хi на сi.
Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):
Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):
а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:
б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:
в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.
Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:
-
система (1) имеет единственное решение (С1,... Сn);
-
последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =
-
для приближенного равенства верны оценки (x1(k),…xn(k))(C1,…Cn),
а’) если выполняется условие а), то
,
б’) если выполняется условие б), то
,
в’) если выполняется условие в), то
.
Решение:
Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.
А = В =
Представим систему в матричной форме АХ=В
Выразим из СЛАУ хn:
Проверим, сходится ли система:
Система сходится, значит можно применять метод простых итераций.
Последовательно вычисляем:
При k=1
Х11 = -0,399*(-1,60963) + 0,0625*0,45957 + 1,019231 = 1,690195
Х21 = -0,06952*1,01923 + 0,25134*0,45957 – 1,6096 = -1,61159
Х31 = 0,01702*1,01923 – 0,05532*(-1,60963) + 0,45957 = 0,57749
Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:
При k=2
Х11 = -0,399*(-1,61159) + 0,0625*0,57749 + 1,019231 = 1,69835
Х21 = -0,06952*1,690195 + 0,25134*0,57749 – 1,6096 = -1,58252
Х31 = 0,01702*1,690195 – 0,05532*(-1,61159) + 0,45957 = 0,57602
Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:
Так как они все больше заданного числа 0,0001, продолжаем итерации до тех пор, пока значения не будут меньше 0,0001.
i |
x1 |
x2 |
x3 |
ε |
0 |
1,019231 |
-1,60963 |
0,459574 |
|
1 |
1,690257 |
-1,56497 |
0,565966 |
0,671026 |
2 |
1,679088 |
-1,58488 |
0,574918 |
0,019909 |
3 |
1,687592 |
-1,58186 |
0,575829 |
0,008504 |
4 |
1,686441 |
-1,58222 |
0,575806 |
0,001151 |
5 |
1,686584 |
-1,58214 |
0,575807 |
0,000143 |
Найдем точное решение:
Высчитываем погрешность:
Ответ: Х*=
Задание №2:
Для функции, заданной таблично, построить полиномы Ньютона и Лагранжа. Вычислить y(х* ), y(х** ).
Определить погрешность. Х* =Х0 +0,05. Х** =Х5 - 0,15.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
y |
4,018 |
4,025 |
4,035 |
4,048 |
4,012 |
4,028 |