-
Лекция 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы различают: 1.Механические 2.Электромагнитные 3. Электромеханические 4. Внутриатомные и другие виды колебаний.
По характеру внешнего воздействия, оказываемого на колебательную систему различают: свободные, затухающие, вынужденные, связанные, авто и параметрические колебания. Простейшими по форме являются гармонические колебания, когда измеряемая величина изменяется по закону синуса или косинуса.
6.1. Механические гармонические колебания и их характеристики.
Дано: МТ равномерно вращается по окружности r = A с w = Const.
Найти: 1. Уравнение движения.
2. Законы изменения проекций МТ.
Движение МТ по окружности представляет собой вращение МТ вокруг центра т.О, поэтому закон движения, есть j = w t + j0. Здесь j - угол поворота МТ за Dt, w - угловая скорость, j0 - начальное положение МТ при t = 0. Так как МТ последовательно переходит т.1®т.2®т.3®т.4®1, то её положение в проекциях на оси, есть: x = rcos j или
x = Acos (w t + j0 ) и y = r sin j или y = A sin(w t + j0 ).
Анализ:
1). Движение МТ по окружности аналогично её свободным колебаниям около положения равновесия.
2). Координаты x, y - это смещения МТ из положения равновесия вдоль соответствующих осей, А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению, т.е. çxmax ç = A, причём всегда А > 0.
3). Величина (w t + j0 ) - фаза колебаний, показывает долю от амплитуды, которую может иметь координата в любой момент времени. j0 - начальная фаза - определяет положение МТ при t = 0.
Угловая скорость w называется циклической частотой, которая связана с линейной n, как w = 2pn.
4). sin и cos - периодические функции с периодом T = 2p, тогда n = и w = . Период Т - это время одного полного колебания.
5). Пусть при t = 0 j0 = 0, тогда x = Acos w t . Выбором начала отсчёта времени всегда можно получить это условие. Так как -1 £ cosj £ 1, то смещение изменяется в пределах - A £ x £ A .
6). или . Координаты x и y сдвинуты по фазе на p/2.
, . Из сравнения следует:
а) x ,V, a - изменяются по гармоническому закону;
б) у скорости амплитуда равна Aw, у ускорения - Aw 2;
в) колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на p/2 (или отстают на 3/2p). Для ускорения опережение составляет - p.
8). В теории колебаний наряду с тригонометрической формой записи колебаний x = Acosw t применяется и экспоненциальная форма x = A expiwt. Это следует из формулы Эйлера, связывающей показательную функцию мнимого аргумента expix с комплексным числом cosx + isinx, где i 2 = - 1 (мнимая единица). В нашем случае x = Acosw t представляется в виде x = A expiwt.
- kx = , ç ç= - mw2 Acosw t = - mw 2 x = - kx , где k = mw2 - коэффициент упругости. Тогда:
а). ç ç- является силой упругости и ç ç~ x .
б). - направлена противоположно смещению к положению равновесия.
в). При x = 0, ç ç= 0 - в положении равновесия действующая сила равна нулю.
Если сила по своей природе не является упругой, но подчиняется закону
F = - kx, то такая сила называется "квазиупругой".
10). Энергия гармонических колебаний.
В колеблющейся системе Wполн= Wк + Wр = Const (из ЗСЭ), но
Тогда
Анализ:
2. При колебаниях Wk® Wp и Wp®Wk,, Wполн = Const.
3. При x = 0 Wk = max Wp = 0.
4. Период колебаний Wp и Wk в два раза меньше, чем период самого колебания.
5. Энергия колебаний (Wp , Wk,, Wполн) ~ A2.
6.2. Колебательные системы. Дифференциальное уравнение свободных колебаний.
Тело, подвешенное на пружине представляет собой маятник .
Дано: ПМ в двух положениях: I равновесия x = 0 и II - выведенный из положения равновесия x = l.
Найти: уравнение колебаний.
В системе действует Fупр = - kx, тогда m = å i или m = - kx После преобразования + x = 0 или + w0 2x = 0,
где w0 2 = . Получили дифференциальное уравнение колебаний ПМ.
Анализ:
1). w02 = - собственная частота колебаний ПМ.
2). Система, колебания в которой описываются уравнением +w0 2x = 0, называется гармоническим осциллятором.
3). Решение данного дифференциального уравнения есть выражение x = Acosw0 t. В общем случае x = Acos (w0 t + a) , где A и a - постоянные. Решение находится методом подбора соответствующей функции, при подстановке которой в дифференциальное уравнение получается тождество 0 º 0.
Представим x = Acosw0 t через x = A . После соответствующих действий получим (iw0 )2 A + w02A = 0 или -w02 + w02 = 0, т.е. 0 º 0.
Итак,
x = Acosw0 t - действительно решение данного диф-
ференциального уравнения.
4). По определению . В данном случае , тогда (период колебаний ПМ).
б). Математический маятник (ММ).
Это тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на нерастяжимой или невесомой нити.
Найти: уравнение колебаний.
Примем знаки отклонений вдоль оси Х. Во II положении на ММ действуют силы: ç ¢ç= Pcosa , которая компенсируется силой ç ¢¢ç- натяжение нити и не оказывает влияние на параметры движения, ç ç= Psina, касательная к траектории движения, направленная к положению x = 0, т.е. относительно оси ОХ ç ç= -Psina. Здесь . В этом случае на основании II закона Ньютона m = - mgsina или + mgsina = 0. Для малых углов sina »a и sina = , тогда m + mg = 0 . Получаем + x = 0 или
+ w02x = 0 - дифференциальное уравнение колебаний ММ.
Анализ:
1). F = - Psina = - mg = - m x = - kx создаётся весом тела. По природе не является упругой, но подчиняется закону F = - kx, поэтому это - "квазиупругая" сила.
2). w0 2 = - собственная частота колебаний ММ, тогда - период, который не зависит от массы ММ и амплитуды его колебаний.
3). Решение данного дифференциального уравнения есть x = Acos(w0t + a), т.е. ММ совершает свободные гармонические колебания.
4). Параметром движения ММ можно считать и угол a, тогда из где
= - mglsina, получаем:
- mglsina или + mgla = 0.
Окончательно или + w02a = 0.
в). Физический маятник (ФМ).
Называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через произвольную точку, не совпадающую с его центром инерции. В положении равновесия эти точки находятся на одной линии.
Найти: уравнение колебаний.
При отклонении ФМ на угол a возникает вращательный момент М, обусловленный действием силы тяжести P = mg, стремящийся вернуть в положение равновесия. M = - mgd = mglsinj. Угловое ускорение = . Тогда из получим J + mglsinj = 0 или + sinj = 0. Для малых углов sinj » j и обозначая
w0 2 = - получим дифференциальное уравнение колебаний ФМ:
+ w0 2j = 0.
Анализ:
1). Решение данного уравнения j = Acos (w0t +j0 ).
2). , отсюда период колебаний ФМ есть .
3). Величина - называется приведённой длиной ФМ, тогда . Это длина такого ММ, период колебаний которого совпадает с физическим.
4). Точка О', лежащая на расстоянии lприв от оси вращения, называется центром качания ФМ. По теореме Штейнера J = Jc + ml , но J = m l lпр , тогда
m l lпр = Jc + m l 2 или
lпр = + l , т.е. lпр > l .
5). . Для МТ J = ml 2 , тогда , как для ММ.
6). Период колебаний ФМ не изменится, если поменять местами точку подвеса (т.О) и центр качаний (т.О'). Этот принцип используется в оборотном маятнике.
6.3. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Вследствие действия в колебательной системе диссипативных сил (внутреннего трения, сопротивления воздуха и т.д.) её энергия W постепенно уменьшается. Поскольку W~A2 ,то амплитуда колебаний уменьшается до нуля. Затуханием называется постепенное уменьшение амплитуды в процессе колебаний.
Дано: МТ совершает колебания вдоль оси ОХ. В системе действуют две силы упр и сопр .
Найти: уравнение колебаний.
Сила упругости ç ç= - kx и направлена обратно смещению. Согласно закону Стокса, сила сопротивления c = - r , где r - коэффициент вязкого трения. Тогда m , где упр и по II закону Ньютона можно записать в виде . Обозначим и и окончательно получаем:
.
Анализ:
1). Из обозначений - коэффициент затухания
[ b ] = [кг/с], - собственная частота колебатель- ной системы.
2). Уравнение колебаний представляет собой однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Решение есть x(t) = A0 exp-b t Acos (w¢ t + j ) , т.е. гармоническое колебание с A = A0 exp-b t, частотой , начальной фазой - j.
3). График затухающих колебаний A = A0 exp-b t, cosw¢ t, j = 0.
= ,
т.е. логарифмический декремент связан с T и b.
5). Частота затухающих колебаний , где - собственная частота незатухающих колебаний, b - коэффициент затухания. Математически решение имеет смысл, если > b . Кроме того, w ¢< и, соответственно, T ¢ > T, w¢- не зависит от А и поэтому не изменяется в процессе колебаний.
6). В технике используется энергетическая характеристика колебательной системы - добротность Q, которая или .
7). Необходимо отметить, что сила внешнего (сухого) трения Fтр не зависит от скорости, поэтому дифференциальное уравнение будет иметь другой вид.
8). Если b > , то w - мнимое число и колебательная система после однократного возмущения асимптотически возвращается в состояние покоя (асимптотическое затухание). Быстрее всего (предельный случай) это произойдёт при = b . Это предельный случай - апериодическое движение. На этом в технике основан принцип демпфирования колебаний.
9). При b = 0 получаем + 2x = 0 - уравнение свободных незатухающих колебаний.
10). l = bT ; b = ; T - время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.
l = - число колебаний, после которого А уменьшается в e раз.
6.4. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс.
Если на колебательную систему с помощью связи действует периодическая сила, которая вызывает колебания системы, то возникают вынужденные колебания.
Дано: МТ совершает колебания вдоль оси ОХ. В системе действуют три силы: упр, c и ç ç= Fm cosw t - возмущающая сила.
Найти: уравнение колебаний.
ç упрç = - kx, ç cç = - r , ç вç = Fmcosw t, тогда из получаем m = - kx - r + Fmcosw t или
+ 2b + 2x = cosw t - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Неоднородное.
Анализ:
1). Обозначения: - коэффициент затухания, - собственная частота колебаний, Fm - максимальное значение возмущающей силы, w - угловая частота возмущающей силы.
2). Из теории дифференциальных уравнений: решение данного уравнения состоит из суммы: а) общего решения однородного дифференциального уравнения; б) частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение а) найдено в разделе 6.3 и представляет собой выражение x(t) = A0 exp-b t cos(w¢ t +j), где . Пусть частное решение неоднородного дифференциального уравнения б) есть выражение x (t) = Acos(w t +a), тогда полное решение есть x (t) = A0 exp-b t cos(w¢ t +j) + A cos (w t +a).
3). Вид частного решения можно найти, используя метод векторных диаграмм. Если частное решение имеет принятый вид, то представим уравнение
, как сумму трёх слагаемых, тогда
= - Aw sin(w t +a ) = Aw cos(w t +a + ) - второе слагаемое (2) без 2b ,
= - Aw2 cos(w t +a) = Aw2 cos(w t +a + p) - первое (1) и
w02x = w02 A cos(w t +a) - третье слагаемое (3).
Из полученных значений следует, что гармоническое колебание (4) - cosw t является суммой 3-х гармонических колебаний (1)+(2)+(3) одной и той же частоты w , поэтому при векторном представлении этих колебаний необходимо, чтобы векторная их сумма совпала с вектором возмущающей силы.
Выберем случай w0 >w, тогда
(w02-w2)2 A2+4b 2w 2A2 = Fm2 /m2. Отсюда
, а
tg a = . При найденных значениях A и a полное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний имеет вид
x = A0 exp-b tcos(w¢ t + j) + cos(w t + arctg ).
4). В полученном решении существуют два слагаемых: первое за счёт экспоненты влияет только на начальных временных участках (режим установления колебаний I ), второе - описывает установившийся режим II. Поэтому график колебаний имеет вид:
5). Амплитуда согласно п.3 при вынужденных колебаниях зависит от частоты возмущающей силы. A ®max, если выражение в знаменателе под корнем будет®min, т.е. производная [(w02 - w 2) 2 + 4b 2w 2 ] = 0. После дифференцирования получаем
2(w02 - w2)(-2w) + 8b 2w = 0 или 4w3 - 4w02w + 8b 2 = 0.
Преобразуем w3 - w (w02- 2b 2) = 0, т.е. получаем кубическое уравнение с тремя решениями: w1 = 0 , w2,3 = ± . Первое и третье решение не имеют физического смысла, т.к. w > 0. Поэтому полученное значение w = , при котором А = max называется резонансной частотой. Итак,
wрез = .
Подставим wрез в выражение и получим
Aрез= = .
6). График зависимости A = f (w) - амплитуды от частоты вынуждающей силы.
Анализ:
а). При w®0 из (1) A ® , при w®¥, A ®0.
б). Из (3) b = 0, wрез = w0 , A ®¥ из (1) и (2).
в). Из (2), чем меньше b , тем больше Aрез , где b3 > b2 > b1 .
г). При уменьшении b максимум А сдвигается в сторону более высоких частот.
д). Из wрез = , при 2b 2 > w02 wрез - мнимая величина и при увеличении w амплитуда уменьшается (без максимума), начиная с b = w0 - нижняя кривая.
е). Полученные кривые называются резонансными. Явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы, имеющей b << w0 , называется резонансом. Согласно п.5 w = wрез = и
при b = 0 w = wрез = w0 и Aрез максимальна.
6.5. Сложение колебаний.
Любая колебательная система может одновременно совершать несколько колебаний. Отдельные колебания при этом складываются в результирующее колебание. Сложение колебаний основано на принципе суперпозиции: если тело совершает несколько колебаний, то эти колебания складываются независимо друг от друга, т.е. не влияя, друг на друга. Поскольку смещение и амплитуды представляют собой вектора, то их результирующие можно вычислять известными методами: графически и алгебраически.
Следует различать: а) сложение колебаний, проходящих в одном направлении; б) сложение колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.
1А. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты и распространяющихся в одном направлении.
Найти: вид и параметры результирующего колебания.
Опытным путём установлено, что в результате сложения таких колебаний, результирующее колебание является гармоническим с той же частотой w , по Aрез и wрез , т.е. xрез = Aрез cos(w t +jрез ).
Необходимые параметры найдём, воспользовавшись методом векторных диаграмм, построив x1 и x2 . - найдём по правилу параллелограмма для векторов 1 и 2 , а ç ç- по теореме косинусов:
A2рез = A12 + A22-2A1A2 cosb, но b = 1800 - (j2 - j1), тогда
cosb = cos[1800 - (j2 -j1)] = -cos (j2 - j1) .
Окончательно
A2рез = A12 + A22-2A1A2 cos(j2 - j1).
jрез (из рис.) можно найти: tgjрез = ,
jрез = arctg .
Результирующее колебание будет иметь вид:
xрез = Aрез cos(w t + arctg ).
2) Пусть j2 -j1 = (2n + 1)p , где n = 0,±1, ±2 ..., тогда cos(j2 -j1) = -1, т.е. исходные колебания находятся в противофазе. Результирующее колебание в этом случае находится в фазе с одним из исходных колебаний, а Aрез= (A1 - A2)2 или Aрез= ç A1 - A2ç. Если A1 = A2 , то колебания взаимно уничтожаются.
2а. Колебания, происходящие в одном направлении с разными частотами.
Результирующее колебание в этом случае является негармоническим, но Aрез= A1 ± A2 , т.е. находится алгебраически. С другой стороны, любое негармоническое колебание можно представить как результирующее нескольких гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной w = . Такое представление называется анализом Фурье.
Особый случай, если частоты двух колебаний близки, т.е.
, где A1= A2 = A,
а Dw << w1 и Dw << w2. Пусть w1=w2 =w. Сложим эти колебания
xрез = x1 + x2 = (2A cos t)cos (w t + t)
Так как <<w, этим слагаемым пренебрегаем, тогда
xрез = (2A cos t) cosw t.
Анализ:
2). График колебаний определяется соотношением . На рисунке = G.
3). Амплитуда колебаний изменяется гораздо медленнее TA > T.
4). Такие колебания называются биениями.
б. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Рассмотрим эти частные случаи.
Пусть МТ участвует одновременно в двух колебаниях вдоль осей OX и OY, т.е. , где w1 = w2 = w , j1 = 0, j2 = Const . Для нахождения траектории движения МТ исключим из данных уравнений время.
После подстановки = cosj - ( )sinj и преобразования получим
- cosj = - sinj. Обе части равенства возведём в квадрат
( - cosj)2 = . Раскроем скобки и преобразуем
- 2 cosj + (sin 2j+ cos 2j) = sin 2j или
+ - 2 cosj = sin2j .
Полученное уравнение траектории - это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями.
Отсюда y = - уравнение прямой.
Выберем (произвольно) т.1, с координатами (Х,Y) ç ç= , но x = Acosw t , а y = B cosw t . Отсюда r = cosw t - получили уравнение колебаний с амплитудой вдоль прямой.
б) Пусть j = p , тогда
sinj = 0, cosj = -1. ( + )2 = 0 или
- = , y = - получаем случай а) для прямой.
г) Пусть j = , а A = B , тогда cosj = 0, sinj = 1 и x2 + y2 = 1 - траекторией движения является окружность.