МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
Лабораторна робота № 3
з дисципліни ЕММ на тему:
«Виробнича регресія»
Варіант № 1
Виконала:
ст. гр. ОА-31
Атаманчук О.І.
Перевірила:
Князевська О.В.
Львів 2011
Мета: оцінити параметри виробничої регресії Кобба-Дугласа, оцінити адекватність моделі статистичним даним генеральної сукупності за допомогою критерію Фішера, визначити частинні коефіцієнти еластичності та сумарний коефіцієнт еластичності, визначити прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу, побудувати ізокванти.
Завдання:
За даними табл. 3.1 з ймовірністю 0,95, використовуючи метод найменших квадратів, необхідно:
Таблиця 3.1
Статистичні дані
Працезатрати (x1), у.г.о. |
Основні засоби (x2), у.г.о. |
Обсяг виготовленої продукції (y), у.г.о. |
30,1 |
50,2 |
78,2 |
30,7 |
53,5 |
82,5 |
33,7 |
53,1 |
83,9 |
35,2 |
56,5 |
86,7 |
36,4 |
54,1 |
87,0 |
39,4 |
58,2 |
92,8 |
41,8 |
55,1 |
91,6 |
40,4 |
57,2 |
95,3 |
44,2 |
56,1 |
94,7 |
46,0 |
55,2 |
92,8 |
47,8 |
57,1 |
99,5 |
49,5 |
58,7 |
102,9 |
49,7 |
58,1 |
102,6 |
50,0 |
58,1 |
|
оцінити параметри виробничої регресії Кобба-Дугласа, що має вигляд
;
оцінити адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності за допомогою критерію Фішера;
визначити частинні коефіцієнти еластичності та сумарний коефіцієнт еластичності;
визначити прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;
побудувати ізокванти при у=у3 та у=у10.
Хід роботи:
1. Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:
.
Заміна . Отримаємо
.
Використовуючи метод найменших квадратів, отримаємо систему нормальних рівнянь
,
з якої визначаємо параметри моделі b0 , а1,a2 матричним методом :
n ∑lnx1 ∑lnx2 ∑lny b0 ∑lnx1 ∑lnx12 ∑lnx1* lnx2 × ∑lny *lnx1 = a1
∑lnx2 ∑lnx1* lnx2 ∑ lnx22 ∑lny *ln x2 a2
Для того щоб визначити ці параметри, необхідно знайти показники, які записуємо в таблиці 3.2:
Таблиця 3.2
|
lnX1 |
lnX2 |
lnY |
lnX1*lnX1 |
lnX1*lnX2 |
lnX2*lnX2 |
lnY*lnX1 |
lnY*lnX2 |
1 |
3,405 |
3,916 |
4,359 |
11,591 |
13,332 |
15,335 |
14,841 |
17,071 |
2 |
3,424 |
3,980 |
4,413 |
11,726 |
13,627 |
15,838 |
15,111 |
17,562 |
3 |
3,517 |
3,972 |
4,430 |
12,373 |
13,972 |
15,778 |
15,581 |
17,595 |
4 |
3,561 |
4,034 |
4,462 |
12,681 |
14,366 |
16,275 |
15,891 |
18,003 |
5 |
3,595 |
3,991 |
4,466 |
12,921 |
14,345 |
15,927 |
16,053 |
17,823 |
6 |
3,674 |
4,064 |
4,530 |
13,497 |
14,930 |
16,515 |
16,644 |
18,411 |
7 |
3,733 |
4,009 |
4,517 |
13,935 |
14,966 |
16,073 |
16,863 |
18,111 |
8 |
3,699 |
4,047 |
4,557 |
13,681 |
14,968 |
16,375 |
16,856 |
18,440 |
9 |
3,789 |
4,027 |
4,551 |
14,354 |
15,258 |
16,218 |
17,241 |
18,326 |
10 |
3,829 |
4,011 |
4,530 |
14,658 |
15,357 |
16,088 |
17,345 |
18,171 |
11 |
3,867 |
4,045 |
4,600 |
14,954 |
15,641 |
16,360 |
17,789 |
18,607 |
12 |
3,902 |
4,072 |
4,634 |
15,225 |
15,891 |
16,585 |
18,081 |
18,871 |
13 |
3,906 |
4,062 |
4,631 |
15,257 |
15,867 |
16,501 |
18,088 |
18,811 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разом |
47,900 |
52,230 |
58,681 |
176,853 |
192,519 |
209,868 |
216,384 |
235,802 |
Підставляємо отримані результати в формулу (матрицю) для отримання параметрів b0 , а1,a2 :
1 3 |
47,8998 |
52,2300 |
47,8998 |
176,8526 |
192,5192 |
52,2300 |
192,5192 |
209,8682 |
58,681 |
b0 |
216,384 |
= a1 |
235,802 |
a2 |
*
Обертаємо матрицю:
1 3 |
47,8998 |
52,2300 |
47,8998 |
176,8526 |
192,5192 |
52,2300 |
192,5192 |
209,8682 |
1 210,086 |
61,634 |
-357,694 |
61,634 |
7,169 |
-21,915 |
-357,694 |
-21,915 |
109,128 |
==
Перемножуємо отримані матриці:
1 3 |
47,8998 |
52,2300 |
47,8998 |
176,8526 |
192,5192 |
52,2300 |
192,5192 |
209,8682 |
58,681 |
0,560 |
216,384 |
= 0,331 |
235,802 |
0,681 |
*
a0=eb0, a0=1,751
Виробнича регресія Кобба-Дугласа матиме вигляд:
y=1,751*x10,331*x20,681.
2. Визначаємо та оцінюємо адекватність побудованої моделі за допомогою критерія Фішера (F-критерій) та Дарбіна-Уотсона( за даними табл. 3.3)
F=
Fкр
=
4,67 (за статистичними таблицями з
ймовірністю 0,95);
172,477>4,67; F> Fкр . Отже модель адекватна.
Критерій Дарбіна-Уотсона:
d= ,
де ut=yt-y^t
3. Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою
Для виробничої регресії Кобба-Дугласа отримаємо
, =0,331.
. Цей показник називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновок:
а=1,012, отже, збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу в разів. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.
4. Точкову оцінку прогнозу знайдемо за формулою
= 1,751*50 0,331*58,1 0,681= 101,434
Інтервал довіри знаходять спочатку для лінійної регресії, а потім шляхом потенціювання – для нелінійної регресії:
,
,
,
де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності; t=1,77.
- середньоквадратичне відхилення залишків;
1210,086 |
61,634 |
-357,694 |
61,634 |
7,169 |
-21,915 |
-357,694 |
-21,915 |
109,128 |
* 1 |
3,912 |
4,062 |
=
-1,813 |
0,656 |
-0,131 |
= =
1 |
3,912 |
4,062 |
-1,813 |
0,656 |
-0,131 |
= 0,220
.
=1,77* 1,394* = 2,725
=4,619.
Знаходимо інтервал довіри:
101,434+2,725=103,559
101,434-2,725= 99,308,
Отже, інтервал довіри для прогнозу матиме вигляд:
103,559< < 99,308
5. Будуємо ізокванти при у = у3 та при у = у10.
Таблиця 3.3