Методические указания к выполнению
расчетно-графического задания по теме
"Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве".
1. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ; 6) уравнение плоскости ; 7) угол между плоскостями и ; 8) длину высоты, проведенной из вершины на грань . Сделать чертеж пирамиды в системе координат.
Решение. 1) Найдем координаты вектора : .
Тогда длина этого вектора, т.е. длина ребра , будет равна .
2) Угол между ребрами и равен углу между векторами и . Косинус этого угла найдем по формуле:
.
Вектор имеет следующие координаты: . Тогда .
Найдем скалярное произведение векторов и :
.
Тогда . Отсюда следует, что тупой угол, равный .
3) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.
.
Найдем векторное произведение векторов и :
.
Тогда (кв.ед.).
4) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , , т.е. .
Вектор .
Найдем смешанное произведение векторов .
Тогда (куб.ед.).
5) Составим уравнение прямой . Она проходит через точку и ее направляющий вектор . Получим
.
Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Тогда уравнение этой прямой имеет вид
.
6) Пусть произвольная точка плоскости. Плоскость проходит через точки М, , и , следовательно, векторы , , компланарны, а значит, их смешанное произведение равно нулю.
Векторы , , . Тогда
.
Раскладывая определитель по первой строке, получим
или
.
Отсюда уравнение плоскости имеет вид: .
7) Один из углов между плоскостями и равен углу между их нормальными векторами, т.е. .
Нормальный вектор плоскости найдем как векторное произведение векторов и : .
Нормальный вектор плоскости найдем из уравнения плоскости: .
Тогда .
Следовательно, .
8) Найдем длину высоты, проведенной из вершины на грань . Она равна расстоянию от точки до плоскости : .
.
9) Чертеж.
Ответы: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) : ; : ;
6) : ;
7) ;
8) .
2. Найти точку пересечения прямой и плоскости: , .
Решение. Найдем параметрические уравнения прямой.
, , .
Таким образом, .
Координаты точки пересечения должны удовлетворять и уравнению прямой, и уравнению плоскости, значит, они являются решением системы:
.
Подставляя параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим:
,
откуда, .
Подставляя найденное значение t в уравнение прямой, получим координаты точки пересечения:
.
Ответ: .
3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить график кривой.
Решение. Выделим полные квадраты обеих переменных:
,
,
,
.
Получили уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями .
Ответ: .
4. Даны координаты вершин треугольника : Требуется: 1) вычислить длину стороны ; 2) составить уравнение стороны ; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты , проведенной из вершины А. Сделать чертеж в системе координат.
Решение. 1) .
2) Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .
Найдем уравнение этой прямой:
или
.
Отсюда уравнение прямой имеет вид .
3) Найдем угол при вершине В, как угол между векторами и .
Векторы , .
Тогда
Отсюда .
4) Уравнение прямой можно написать, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом: .
Прямая перпендикулярна прямой , следовательно, их угловые коэффициенты связаны равенством .
Из уравнения прямой получим . Тогда .
Отсюда уравнение прямой , проходящей через точку будет иметь вид: или .