Виды событий. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.
Виды событий:
а. Достоверное – событие, которое при выполнении ряда условий обязательно произойдет.
б. Невозможное – событие, которое при выполнении ряда условий не произойдет.
в. Случайное – событие, которое при выполнении ряда условий может произойти, а может не произойти.
Алгебра событий:
Сумма 2-х событий А и В состоящий от появления событий А, либо событий В, либо событий А и В.
Произведением А и В, называются событий состоящие в совместном появлении 2-х этих событий.
Классическая вероятность – это величина теоретическая, для ее нахождения не нужно проводить испытаний.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема 1: Вероятностью суммы 2-х несовместных событий равны сумме вероятности этих событий.
Док-во: Пусть из n исходных испытаний событию А благоприятствует m1, B – m2. Тогда P(A) = m1/n, P(B) = m2/n.
По условию теоремы событий следует, не из событий m1 не благоприятствует событие B, и не одно из m2 не благоприятствует событие A.
Тогда (A+B) благоприятствует (m1+m2) исходит и P(A+B) = m1 + m2/n = m1/n + m2/n = P(A) + P(B)
Теорема 2: Вероятность сумма 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.
Теорема 3: Вероятность совместного появления 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условие вероятности другого.
Теорема 4: Вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятности этих событий.
Формула полной вероятности.
Вероятность событий А, которое может наступить лишь при условии появления событий B1, B2,… , Bn, которое образуют полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующие условия вероятности событий A.
Поскольку события B1, B2 … Bn образует полную группу то они не совместимы, следует по теореме 1, поскольку событие A зависит от событий Bi, то по теореме 3 умножение для зависимых событий можно записать.
Повторное независимое испытание.
Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний.
Схема Бернулли: испытания происходят независимо друг от друга и от испытания и испытания не изменяются вероятность наступления события и соответственно не изменяется вероятность не наступления.
Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.
Формулы Бернулли: Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых события A появилось с вероятностью p и не появилось с вероятностью g. Тогда вероятность того, что событие A наступит равно k раз вычисляется по формуле:
Формула Муавра – Лапласа: Если вероятность p наступления события в одном испытании и отлична от 0 до 1, то вероятность того, что n независимых испытаний события появится равно k (тем точнее чем >n):
Где называется нормальной функцией Гауса, которая четка и табулирована.
Формула Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:
, где λ=np