Примеры выполнения заданий
1. Множества и отношения Задание 1
Пример 1:
1)
2)
3)
Пример 2:
1)
2)
3)
Задание 2
Покажем выполнение равенства на диаграммах Эйлера-Венна.
1) Левая часть равенства:
2) Правая часть равенства:
Докажем при помощи тождеств алгебры множеств:
Задание 4
Схематично изобразить геометрическое место точек прямого произведения {1,2,3,4}×{xx-точка квадрата}.
Геометрическое место точек прямого произведения множеств {1,2,3,4}×{xx-точка квадрата} изображено на рисунке.
На рисунке а) на оси 1 изображены точки множества {1,2,3,4}; на плоскости 2О3 – множество точек квадрата: {xx-точка квадрата}.
На рисунке б) изображен результат.
Задание 6
,
a) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <3,1>, <3,6>, <4,3>, ...}
b)
c) Несимметрично, т.к. для пары <3,1> не существует пары <1,3>;
Рефлексивно, т.к. для найдется пара <x,x>. Например, <1,1>, <2,2>, <3,3> и т.д.;
Не транзитивно, т.к. для пар <1,2> ,<2,3> не существует пары <1,3>;
Не антисимметрично, т.к. есть пары <1,2>, <2,1> и при этом 1 2.
Задание 7
«Быть подмножеством» на семействе множеств
антисимметрично, т.к. из того, что , а следует, что ;
несимметрично, т.к. из того что , не следует, что ;
рефлексивно, т.к. любое множество ;
транзитивно, т.к. из того, что , а следует, что .
2. Теория графов Задание 1
Ориентированный псевдограф D=(V,X). V={v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6}, X={x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}. x0=<v1,v0>, x1=<v1,v3>, x2=<v1,v5>, x3=<v1,v2>, x4=<v3,v3>, x5=<v3,v4>, x6=<v3,v4>, x7=<v4,v5>, x8=<v6,v5>, x9=<v5,v6>, x10=<v2,v5>.
x4 – петля, x5,x6 – кратные ребра, v0 – висячая вершина.
Полустепени вершин: +(v0)=0, -(v0)=1, +(v1)=4, -(v1)=0, +(v2)=1, -(v2)=1, +(v3)=3, -(v3)=2, +(v4)=1, -(v4)=2, +(v5)=1, -(v5)=4, +(v6)=1, -(v6)=1.
Матрица смежности
|
v0 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
v2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
v3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
v4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Матрица инцидентности
|
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
x8 |
x9 |
x10 |
v0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
v3 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
±1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v5 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
Матрица связности:
|
v0 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
v4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Матрица достижимости:
|
v0 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
v1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
v2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
v3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
v4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
v5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
v6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Простой цикл: v6х8v5х9v6
Цикл: нет
Простая цепь : v1х3v2х10v5
Цепь: v1х1v3х4v3х6v4