Лекция 8 (Г)
...04.12
5.7. Структура турбулентного потока
П
Рис. 5.6
ри турбулентном режиме движения непосредственно у стенок имеется тонкий ламинарный подслой, далее находится переходный подслой. Оба подслоя вместе составляют пограничный слой. За пределами пограничного слоя располагается ядро течения, в котором движение жидкости является уже турбулентным (рис. 5.6).С
Рис. 5.7
корость и давление в каждой точке турбулентного потока беспорядочно пульсируют около некоторых средних значений (рис. 5.7).При описании турбулентного потока вместо действительных (мгновенных) значений скорости и давления пользуются осредненными во времени значениями. Например, осредненное значение продольной составляющей скорости в направлении оси x в некоторой точке потока определяется соотношением
, (5.33)
где Ux - продольная составляющая мгновенной скорости; Т=t2-t1 - период осреднения.
Действительную (мгновенную) скорость можно представить как сумму осредненной и пульсационной скоростей:
; ; . (5.34)
Период осреднения Т необходимо выбирать достаточно большим по сравнению с периодом пульсаций. Подставив в (5.33) выражение (5.34) для Ux, получим
. (5.35)
Это означает, что осредненная пульсационная скорость равна нулю:
. (5.36)
Если величины, осредненные для разных последовательных моментов времени, оказываются постоянными, турбулентное движение считают установившимся.
5.8. Уравнения Рейнольдса
Подставив в уравнения Навье-Стокса (4.29) вместо компонентов скорости их выражения через осредненные и пульсационные скорости для установившегося турбулентного движения, можно получить уравнения Рейнольдса:
(5.37)
В отличие от уравнений Навье-Стокса каждое из уравнений (5.37) включает три дополнительных члена, зависящих от пульсаций скорости. Представив каждый из этих членов в форме , перепишем уравнения Рейнольдса, перенеся члены, зависящие от пульсаций, в левую часть. Ограничимся только первым уравнением
.
Наряду с членами, выражающими действие вязкостных напряжений,
,
уравнения Рейнольдса содержат члены, выражающие действие напряжений, присущих только турбулентному потоку , где - осреднённое произведение пульсационных скоростей и .
Полные касательные напряжения - сумма вязкостных и турбулентных:
(5.38)
причем турбулентные обладают свойством взаимности (τij=τji) и выражаются как
.
5.9. Гипотезы Буссинеска и Прандтля о турбулентных напряжениях
Рассмотрим прямолинейный установившийся турбулентный поток с неравномерным распределением усредненных скоростей (рис. 5.8).
Гипотеза Буссинеска о связи турбулентного напряжения τТ с усредненной скоростью :
, (5.39)
где ε - кинематический коэффициент турбулентной вязкости.
Гипотеза Прандтля - простая модель турбулентного потока, позволяющая установить общие закономерности движения:
Рис. 5.8
. (5.40)Следовательно,
.
Модуль касательного турбулентного напряжения теперь выражается как , (5.41)
Коэффициент l в (5.40) и (5.41) называют длиной пути перемешивания. Для определения этого понятия допустим, что жидкая частица, имевшая в слое 1 усредненную скорость (рис. 5.8), под влиянием турбулентной пульсации перемещается на расстояние l в слой 2, где усредненная скорость равна . Основное допущение этой гипотезы заключается в том, что путь между слоями 1 и 2 частица проходит без взаимодействия с другими частицами, т. е. так же, как молекула газа проходит путь свободного пробега. Тогда в результате смешения с частицами слоя 2 переместившаяся частица приобретает усредненную скорость этого слоя, т. е. в нем будет иметь место пульсация продольной скорости.
Связь между кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости ε и длиной пути перемешивания l устанавливается из сопоставления (5.39) и (5.41):
. (5.42)
Гипотезы Буссинеска и Прандтля сводят задачу отыскания связи турбулентных касательных напряжений с полем усредненных скоростей к задаче определения функций координат ε и l, характерных для турбулентного потока.
Решения этой второй задачи основаны на экспериментальных данных и на дополнительных гипотезах. Например, Прандтль предположил, что для полуограниченного турбулентного потока вблизи плоской стенки справедлива линейная связь пути перемешивания l и расстояния от стенки y: l= ϰy, где ϰ - универсальная постоянная.