- •Глава 5. Принцип Даламбера для смт
- •5.1. Принцип Даламбера для смт в двух формах
- •5.2. Вычисление главного вектора и главного момента сил инерции
- •5.3. Определение динамических реакций нмс, вращающейся относительно неподвижной оси
- •5.4. Алгоритм решения задач с помощью принципа Даламбера – схема алгоритма д54 пдс с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Пример 1
- •Пример 2
Глава 5. Принцип Даламбера для смт
5.1. Принцип Даламбера для смт в двух формах
Рассмотрим СМТ, состоящую из МТ с массами m1, m2,…, mn. Выделим какую-нибудь из МТ этой СМТ с массой m и обозначим равнодействующую всех приложенных к ней внешних сил через , а равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к ней же, через . Обозначив через – силу инерции, на основании принципа Даламбера для МТ – соотношение (1.49) для всех МТ рассматриваемой СМТ, будем иметь:
+ + = 0 ( = 1,2,…,n). (5.1)
Принцип Даламбера для СМТ:
Действующие на каждую МТ движущейся СМТ внешние и внутренние силы можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции.
Из системы равенств (5.1) можно получить принцип Даламбера для СМТ в другом виде. Просуммируем равенства (5.1) по n точкам СМТ:
.
Первое слагаемое этого соотношения представляет собой главный вектор всех внешних сил, а второе слагаемое – главный вектор всех внутренних сил:
,
(главный вектор внутренних сил равен нулю на основании свойства внутренних сил – соотношение (3.2)),
а третье слагаемое – главный вектор всех сил инерции:
. (5.2)
Окончательно получим:
. (5.3)
Выбрав в качестве полюса точку О, умножим обе части -го равенства (5.1) слева векторно на радиус-вектор , определяющий положение – й МТ относительно этого полюса, и просуммируем полученное выражение по n точкам СМТ:
С учетом формулы для момента силы относительно точки (Ч.2 Статика) это выражение примет вид:
Первое слагаемое равенства представляет собой главный момент внешних сил относительно центра О:
,
второе слагаемое – главный момент всех внутренних сил относительно центра О:
(главный момент всех внутренних сил относительно центра О равен нулю на основании свойства внутренних сил – соотношение (3.3)),
а третье слагаемое – главный момент всех сил инерции относительно того же центра О:
. (5.4)
Окончательно получаем
. (5.5)
Принцип Даламбера для СМТ: Главный вектор всех внешних сил, действующих на движущуюся СМТ, можно в любой момент уравновесить главным вектором всех сил инерции, а главный момент всех внешних сил, действующих на движущуюся СМТ, относительно какого-либо центра можно в любой момент уравновесить главным моментом всех сил инерции относительно того же центра – соотношения (5.3) и (5.5).
Уравнения (5.3) и (5.5) по форме совпадают с условиями равновесия произвольной системы сил в статике. Однако, в отличие от статики, при выполнении этих уравнений СМТ в состоянии относительного покоя находиться не будет.
Таким образом, принцип Даламбера для СМТ, как и для МТ, дает возможность составлять уравнения движения СМТ в форме уравнений равновесия, вводя в рассмотрение силы инерции. Принцип Даламбера оказывается особенно полезным при решении тех задач динамики, где требуется найти динамические реакции связи, т. е. реакции, возникающие при движении СМТ.
Проектируя соотношения (5.3) и (5.5) на оси декартовой системы координат, можно получить шесть уравнений динамического равновесия.