- •2. Теория деформаций
- •2.1. Определение линейной и сдвиговой деформации. Различные меры линейной деформации
- •2.2. Деформированное состояние точки. Тензор малых деформаций
- •2.3. Главные оси тензора деформаций. Главные деформации
- •3.4. Шаровой тензор и девиатор деформаций
- •2.5. Связь между перемещениями и малыми деформациями (геометрические уравнения)
- •2.6. Тензор скорости деформации
- •2.7. Разложение тензора скорости деформации на шаровой тензор и девиатор
- •2.8. Кинематические уравнения
- •2.9. Кинематически возможное поле скоростей в трубе, находящейся под действием внутренним давления
2. Теория деформаций
2.1. Определение линейной и сдвиговой деформации. Различные меры линейной деформации
Деформация – это изменение размеров тела. Если под действием сил произошло изменение хотя бы одного размера, то произошла деформация.
Если в деформируемом теле имеется материальное волокно до деформации длиной , то после деформации оно будет иметь длину (рис. 2.1).
а) б)
Рис. 2.1. Материальное волокно до (а) и после (б) деформации
Абсолютная линейная деформация – это величина, определяемая по формуле: .
Линейная деформация характеризует только изменение размера одного волокна и не описывает изменение положения волокна.
В качестве меры линейной деформации используют относительную деформацию:
1) ; 2) ; 3) ,
где и - относительная деформация; - истинная или логарифмическая деформация.
Связь между различными мерами деформации:
; ;
;
.
Для малых деформаций (меньших 0,1) безразлично, какой выбирается мера.
Логарифмическая мера деформации обладает свойством аддитивности [5]. То есть если деформацию разбить на этапы, то деформацию на этапах можно складывать:
.
Для других мер деформации:
.
Покажем это, рассмотрев три этапа деформации материального волокна, с исходной длиной :
.
Мера – логарифмическая деформация (или истинная):
; ; ; .
.
Мера – относительная деформация:
; ; ; ;
.
Сдвиговая деформация (деформация сдвига) характеризует изменение положения двух пересекающихся волокон. Пусть два волокна до деформации взаимно перпендикулярны, а после деформации угол стал тупым (рис. 2.2).
Мера сдвиговой деформации – изменение угла между волокнами (угол на рис. 2.2).
Рис. 2.2. Сдвиговая деформация
2.2. Деформированное состояние точки. Тензор малых деформаций
Деформированное состояние в точке характеризуется линейными деформациями всех волокон и сдвигами во всех плоскостях, проходящих через данную точку.
Для задания деформированного состояния в точке достаточно задать линейную деформацию трех волокон и сдвиги в трех плоскостях, проходящих через данную точку.
Для удобства выберем линейные деформации трех волокон, совпадающих с координатными осями x, y, z и сдвиги в трех координатных плоскостях xoy, xoz и yoz (рис. 2.3).
а)
б) в)
Рис. 2.3. Принятая система координат (а) и схема деформирования материальной частицы (б и в – частица соответственно до и после деформации)
Показанная на рис. 2.3 частица деформируется таким образом, что углы между ребрами не изменяются, а изменяются только длины ребер. В этом случае линейные деформации , , можно рассчитать по формулам
, , ,
а сдвиговые деформации будут равны нулю. Отметим, что условие сохранения объема частицы выражается равенством .
Сдвиги будем обозначать двумя индексами, указывающими в какую координатную плоскость проецируется искаженный деформацией угол. На рис. 2.4 показаны волокна до (ac и ab) после ( и ) деформации. В этом случае сдвиговая деформация рассчитывается по формуле
,
где и - углы в радианах.
а) б)
Рис. 2.4. Положение волокон до (а) и после деформации (б)
При определении деформации безразлично какими будут относительные значения углов и , лишь бы их сумма была . Это дает возможность каждую компоненту сдвиговой деформации представить в виде суммы двух углов и рассматривать половины значений . Таким образом, будем брать , , . Индексация будет совпадать с индексацией касательных напряжений .
Деформированное состояние в точке характеризует таблица:
,
называемая тензором малых деформаций. Другое обозначение:
.