- •§ 1. События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события.
- •§ 2. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности
- •§ 5. Классический способ подсчета вероятностей
- •§ 6. Правила сложения и умножения вероятностей
- •§ 13. Числовые характеристики случайных величин.
- •Виды средних величин
- •Кривая нормального распределения.
- •Теоретическая основа выборочного метода
- •Точечная оценка параметра
- •Интервальная оценка параметра
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении.
- •Критерий Пирсона.
- •Понятие корреляционной связи и кра.
- •Условия применения и ограничения кра.
- •Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов.
- •Применение парного линейного уравнения регрессии.
§ 1. События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события.
Событием называется результат некоторого опыта.
Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.
Случайные события обозначаем А, В, С,…
Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.
Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В.
Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.
Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.
§ 2. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности
Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в NA случаях. Тогда отношение
называется частотой события А в данной серии испытаний.
Определение. Вероятностью случайного события А называется число р(А), около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.
§ 5. Классический способ подсчета вероятностей
Пусть W - конечное пространство элементарных событий А1, А2, …, Аn. В качестве борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества W.
Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как р(А1 + А2 +… + Аn) = р(U) = 1, то р(А1) = р(А2) = … = р(Аn) = .
Если теперь А – произвольное событие и А = Ai1 + …+ Aim, то согласно аксиоме 2 имеем р(А) = .
События А1, А2, …, Аn принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события А обозначим m(A). Таким образом, р(А) = , т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.
§ 6. Правила сложения и умножения вероятностей
Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.
Правила сложения и умножения вероятностей:
если события А1, А2,…,Аn,… попарно несовместны, то справедливо равенство
р(А1+ А2,+…+ Аn +…) = р(А1) + р(А2) +…+ р(Аn)+... (1)
Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:
. (2)
Для произвольных событий А и В имеет место формула
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ). (3)
Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению равна:
. (4)
Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:
р(АВ) = р(А) р(В/А). (5)
Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2 / A1) p(A3 / A1A2)+…+ р(Аn /A1A2…An-1) (6)
События А1, А2,… Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Правило умножения вероятностей для n событий: если события А1, А2,… Аn независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2) … р(Аn). (7)
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р (8)
В частности, если события А1 ,А2,…, Аn независимы, то
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р =
1 – (1 – р(А1))(1 – р(А2))…(1 – р(Аn)). (9)