- •Глобальный и условный экстремумы
- •Множители Лагранжа.
- •Задача о потребительском выборе.
- •Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
- •Динамическое программирование. Общая постановка задачи.
- •Функции Беллмана. Уравнения Беллмана. Условно-оптимальные управления.
- •Условная оптимизация.
- •Безусловная оптимизация.
- •Принцип Беллмана для оптимальных путей.
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования.
- •Теория игр. Игровые модели.
- •Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.
- •Чистые стратегии. Седловая точка.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
- •Биматричные игры. Равновесие Нэша. Оптимальность Парето.
- •Выигрыш 1 продавца.
- •60. Игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа"
Глобальный и условный экстремумы
Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.
Говорят, что функция имеет в точке заданной области глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или, соответственно, выполняется для любой точки .
Теорема (Вейерштрасса): если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим:
Найти стационарные точки, лежащие внутри области , и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области .
Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области .
Замечание. Если граница области определения функции состоит из нескольких частей, например, треугольник или прямоугольник, то находят наибольшее и наименьшее значения функции на каждой части, а затем сравнивают.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .
Решение. 1. Найдем критические точки функции.
; .
Найденная критическая точка не принадлежит области.
2. Исследуем границу области.
На участке AB: y=1, . Функция имеет вид , то есть ; при всех функция монотонно возрастает на этом участке, поэтому , .
На участке BC: , Функция имеет вид , то есть , при – критическая точка на участке BC. ; .
На участке AC: x+y=1, или . Функция имеет вид , то есть ; ; при –критическая точка на участке AC. .
3. Выберем наибольшее и наименьшее из найденных значений: Получим где , .
Граница области аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных . Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.
Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют, уравнениям
, (46.1)
Предполагается, что функции и имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (46.1) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство ( ) имеет место для всех точек , координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.
Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.
Условными экстремумами именуются условные максимум и минимум.
В случае функции двух переменных задача о нахождении точек условного экстремума решается двумя способами.
Если представляется возможным, то из уравнения связи в результате функция преобразуется в функцию одной переменной , что даёт возможность решения задачи известными методами.
Пример: исследовать на экстремум функцию при условии ( ).
Решение: Из уравнения связи найдем, например, :
и подставим в нашу функцию:
Упростив это выражение, получим: .
При этом . Найдем глобальный экстремум функции на отрезке .
Производная этой функции равна:
Приравняем производную к нулю:
Стационарные точки: , и .
Найдем значения функции в стационарных точках, так как они все принадлежат рассматриваемой области: , .
Следовательно, (ед.)
В противном случае при нахождении точек экстремума используется метод множителей Лагранжа.