Примеры решения задач
Задача 1. Два неподвижных электрических заряда q1=9мкКл и q2=-4мкКл расположены в воздухе на расстоянии 10см друг от друга. 1). На каком расстоянии от первого нужно поместить третий заряд q3, чтобы он находился в равновесии? 2). При какой величине заряда q3 система трёх зарядов будет находиться в равновесии?
1 этап: общий анализ ситуации. Заряд q3 будет находиться в равновесии, если силы, действующие на него со стороны первых двух, равны по модулю и противоположны по направлению (см. рис. 1) :
Рис.1. Равновесие заряда q3.
Из рисунка видно, что заряд q3 будет находиться в равновесии при выполнении следующих условий:
1. Заря q3 находится ближе к меньшему q2 и дальше от большего q1.
2. Все три заряда находятся на одной прямой, так как только в этом случае силы и могут уравновесить друг друга.
3. Силы и имеют противоположные направления, что возможно, если разноимённые заряды q1 и q2 располагаются по одну сторону от заряда q3.
4. Если заряды q1 и q2 одноимённые, то заряд q3 должен располагаться ними (см. рис. 2).
Рис. 2. Равновесие заряда q3 при взаимодействии с одноимёнными зарядами q1 и q2.
2 Этап: общее решение задачи.
Модуль силы взаимодействия электрических зарядов определяется законом Кулона:
(1)
Здесь q1 и q2 модули зарядов взаимодействующих частиц, r– расстояние между ними, ε – диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха ε=1).
Для решения задачи обозначим через а расстояние между зарядами 1 и 2, а через х искомое расстояние между первым и третьим зарядами – рис. 3.
Рис. 3. Схема расположения зарядов.
1). Условие равновесия третьего заряда или в скалярном виде . Используя закон Кулона (1), последнее равенство запишем в виде:
(2).
В результате несложных преобразований равенство (2) приводится к виду: (3).
Решая это квадратное уравнение, получим:
или, после упрощения:
. (4)
Подставляя исходные данные, найдём корни этого уравнения:
, (5а)
, (5б)
Учитывая, что по условиям задачи заряды q1 и q2 разноимённые и искомое расстояние х больше расстояния между зарядами а (см. рис. 3), находим окончательный ответ: .
В уравнении (4) нет величины заряда q3, следовательно, при неподвижных первых двух зарядах равновесие третьего заряда не зависит от его величины и знака.
2). Система трёх зарядов будет находиться в равновесии при выполнении двух условий:
- если модули всех сил взаимодействия между зарядами будут равны;
- силы, действующие на каждый заряд, направлены в противоположные стороны (см. рис. 4).
Рис. 4. Равновесие системы трёх зарядов.
Первое условие выполняется, если , и . Так как, , то система трёх зарядов будет в равновесии, если :
.
Отсюда находим модуль заряда q3:
или .
В соответствии со вторым условием заключаем, что заряд q3 должен быть положительным.
Проверка размерности:
Из уравнения (4) получим
Ответ: ; .
Примечание: можно показать, что равенство (5б) является решением при условии, что заряды q1 и q2 одноимённые (рис. 5).
a
x
Рис. 5. Пример равновесия системы трёх зарядов.
Задача 2. Точечные заряды , и , расположены в воде на расстояниях 10 см друг от друга. Определить силу, действующую на третий заряд со стороны первых двух.
Решение.
Из условий задачи следует, что электрические заряды располагаются в вершинах правильного треугольника с длиной сторон 0.1м (см. рис. 1). Диэлектрическая проницаемость воды ε=81.
М одуль силы взаимодействия электрических зарядов определяется законом Кулона:
(1).
Из уравнения (1) следует, что модули сил, действующих на третий заряд со стороны первого и второго, равны соответственно:
и (2)
Из рис.1 видно, что модуль результирующей силы, действующей на третий заряд можно найти по теореме косинусов:
С учетом равенств (3) получим
.
После упрощения это уравнение примет вид . (3)
Подставляя исходные данные и учитывая, что угол найдём окончательный ответ:
.
Проверка размерности:
Из уравнения (3) получим
Ответ: F3=0,7 Н
Задача 3. Два одинаково заряженных маленьких шарика массой по 1 г каждый подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной по 1 м. Определите величину заряда каждого шарика, если нити отклонилась на угол 300 от вертикали.