ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ
СОДЕРЖАНИЕ
ЛИСТ С ЗАДАНИЯМИ 3
ВВЕДЕНИЕ 6
1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7
2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 11
2.1 Задача 1 11
2.2 Задача 2 11
2.3 Задача 3 12
2.4 Задача 4 13
2.5 Задача 5 14
2.6 Задача 6 15
2.7 Задача 7 16
2.8 Задача 8 16
2.9 Задача 9 17
2.10 Задача 10 17
ПРИЛОЖЕНИЕ А 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 22
Лист с заданиями
Задача 1:
Вычислить определенный интеграл
а) ;
б) ;
в) .
Задача 2:
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
а) ;
б) .
Задача 3:
Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
, .
Задача 4:
Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
, .
Задача 5:
Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
, .
Задача 6:
Найти площадь фигуры ограниченной указанной линией:
.
Задача 7:
Вычислить длину дуги ограниченной данными линиями:
, .
Задача 8:
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры ограниченной графиками функции:
(относительно Ox).
Задача 9:
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг указанной оси:
, (относительно Ox).
Задача 10:
Вычислить приближенно определенный интеграл, используя формулу Симпсона:
.
Введение
В работе я попробую найти площадь плоских фигур, площадь поверхности вращения, длину дуги и объем тела с помощью определенных интегралов, приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и попытаюсь доказать одну из используемых формул.
1 Теоретическая часть
Для решения поставленных задач я воспользуюсь таблицей интегралов (приложение А), рядом формул и свойствами определенных интегралов для нахождения определенных интегралов, а именно (a и b – пределы интегрирования, F –первообразная от f):
Формула Ньютона-Лейбница (все задачи): ;
Если - четная, то (задача 3);
Формула по частям (задача 1(б)): ;
Замена переменной (задача 1(в)): , где [1];
Формула для нахождения несобственного интеграла первого рода (задача 2 (а)): ;
Формула для нахождения несобственного интеграла второго рода (функция f(x) имеет разрыв в точке ) (задача 2 (б)): ;
Формула для нахождения площади плоских фигур в декартовой системе координат y = y(x) (см. рисунок 1) (задача 3): ;
Рисунок 1
Формула для нахождения площади плоских фигур при параметрическом задании функции (задача 4): , где (важен порядок получения пределов интегрирования) [2];
Формула для нахождения площади плоских фигур в полярной системе координат (см. рисунок 2) (задача 5): ;
Рисунок 2
Формула для нахождения площади плоских фигур в полярной системе координат (см. рисунок 3) (задача 6): ;
Рисунок 3
Формула для нахождения длины дуги при параметрическом задании функции (задача 7): (в порядке увеличения пределов интегрирования);
Формула для нахождения объема тела вращения в декартовой системе координат (см. рисунок 4) (задача 8): , ;
Рисунок 4
Формула для нахождения площадь поверхности вращения при параметрическом задании функции (задача 9): [3];
Формула Симпсона [4] для нахождения приближенного значения определенного интеграла (задача 10): ,
где ,
- предельная абсолютная погрешность,
n=2k - шаг;
(k = 0, 1,…, n)
Значения y берем из таблицы 1:
|
|
=а |
|
= |
|
… |
… |
|
|
|
|
Таблица 1
Докажем формулу №10: .
Пусть – непрерывная функция при и кривая задана уравнением Покажем на рисунке 5 эту кривую и найдем площадь сектора ОАВ. Для этого разобьем сектор радиус-векторами на n частей: . Пусть – углы между радиус-векторами. Обозначим через – длину какого-либо радиус-вектора соответствующего угла , заключенного между (см. рисунок 6).
Рисунок 5 Рисунок 6
Площадь кругового сектора с радиусом находится по формуле
,
при ,
проинтегрируем полученное равенство в пределах от до и получим искомую площадь [5].
2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 Задача 1
а)
Ответ: .
б) ;
|
x |
x+1 |
|
x+1 |
1 |
|
-1 |
|
Ответ: 1.
в) ;
Ответ: .
2.2 Задача 2
а) ;
Ответ: Несобственный интеграл сходится.
б) (несобственный интеграл второго рода, функция имеет разрыв в точке 1) ;
Ответ: Несобственный интеграл сходится.
2.3 Задача 3
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
1/5 |
1/2 |
1 |
1/2 |
1/5 |
x |
-2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
y |
2 |
1/2 |
0 |
1/2 |
2 |
Построим графики функций (рисунок 7).
Рисунок 7
Найдем площадь (S) заштрихованной области (рисунок 7).
(ед2);
Ответ: (ед2)