- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
7. Вычисление кратных интегралов
7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Рассмотрим ограниченную область .
Будем называть D правильной в направлении оси Oy, если она ограничена линиями и каждая прямая, параллельная оси Oy, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области D ровно в двух точках (рис. 7.1).
Н ижнюю из них (1) будем называть точкой входа, верхнюю (2) – точкой выхода.
Аналогично определяется область, правильная в направлении оси Ox (рис. 7.2).
О бласть, правильная в направлении обеих осей, называется правильной (нормальной).
О бласти более сложной формы обычно без особых затруднений можно разбить на несколько правильных областей. В качестве упражнения проделайте это с областью, изображенной на рис. 7.3 (область имеет «дыру»).
При вычислении двойного интеграла
(7.1)
б удем считать, что область D правильная, а
Разобьем область D на элементарные прямоугольные участки прямыми, параллельными осям координат (рис. 7.4). Очевидно, что – площадь участка . На основании этого элемент площади в декартовых координатах записывают в виде Внутри каждого прямоугольника выберем точку .
Выведем формулу для вычисления двойного интеграла (7.1)
Итак,
(7.2)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (7.2), называется двукратным (или повторным) интегралом.
Из полученной формулы следует правило вычисления двойного интеграла: для вычисления интеграла (7.1) нужно проинтегрировать функцию f(x, y) по y (считая х постоянным) от до , затем проинтегрировать полученный результат по х в пределах от а до b (см. схему на рис. 7.5).
Рис. 7.5 Рис. 7.6
Аналогично можно вычислить интеграл (7.1), выполняя сначала интегрирование в направлении оси Ox, а затем – в направлении оси Oy:
(7.3)
(см. схему на рис. 7.6).
В двукратном интеграле (7.2) интеграл
называется внутренним, а
– внешним (в (7.3) – аналогично).
7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Область будем называть правильной в направлении оси Oz, если:
любая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области V, пересекает ее границу ровно в двух точках;
п роекцией области V на плоскость Oxy является правильная область S (рис. 7.12).
Аналогично определяется область, правильная в направлении осей Ox и Oy.
При вычислении тройного интеграла
будем считать, что область V правильная в направлении оси Oz, а . «Снизу» область V ограничивает поверхность , а «сверху» – . Проекцию S области V на плоскость Oxy в направлении оси Oy ограничивают кривые и
(рис. 7.13).
В декартовых прямоугольных координатах элемент объёма записывается в виде
Получим формулу для вычисления тройного интеграла в декартовых координатах:
= .
Рис. 7.13
Итак,
(7.4)
Интеграл, стоящий в правой части формулы (7.4), называется трехкратным интегралом.
Интегрирование по области V, правильной в направлении оси Ox или Oy, выполняется аналогично.
Сформулируйте самостоятельно правило вычисления тройного интеграла.