- •Вопрос 59-62
- •Передача импульсных сигналов через дифференцирующую цепь
- •Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь
- •2) Запишем общее решение:
- •3) Найдем вынужденную составляющую общего решения
- •4) Найдем показатель экспоненты р1.
- •6) Запишем общее решение: .
- •Вопрос 63-65
- •2) Запишем общее решение.
- •3) Найдем вынужденную составляющую общего решения .
- •Вопрос 70-72
- •Понятие о длинной линии и распространение волн в ней
- •Полубесконечная длинная линия
- •Линия конечной длины. Отражения
- •Режимы работы длинной линии
- •Коэффициент бегущей волны и коэффициент стоячей волны
- •Применение длинных линий
Вопрос 59-62
Электрические цепи служат для связи различных устройств между собой, при этом обычно ставится задача неискаженной передачи сигнала. В ряде случаев электрические цепи применяют для преобразования сигналов одной формы в другую.
Передача импульсных сигналов через дифференцирующую цепь
Цепь, состоящая из RC-элементов и приведенная на рис. 6.10, называется дифференцирующей RC-цепью.
Установим связь между выходным u2 и входным u1 напряжениями, считая входной сигнал u1 произвольным.
Используя второй закон Кирхгофа и соотношения, устанавливающие связь между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем
Считаем UC(0).
Подставим полученные напряжения в первое выражение, умножим на RC и продифференцируем один раз по времени
Если в этом соотношении считать, что . Последнее означает, что выходной сигнал есть производная от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – дифференцирующая цепь.
Рассмотрим два частных случая.
А. Пусть входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис. 6.11) . Используя классический метод, определим отклик цепи.
Рис. 6.10 Рис. 6.11
1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду:
.
2) Запишем общее решение
.
3) Найдем вынужденную составляющую общего решения
.
Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место, когда t ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как E = E cos ωt|(ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (ХL = ωL), а емкости – разрыву цепи (ХС = (ωС)–1).
Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 6.12, а). Из схемы следует, что u2(ω=0)= 0.
C
C
R
R
E
E
u2()
= 0
u2(0)
= E
а б Рис. 6.12
4) Найдем показатель экспоненты р1.
Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения
RCр1 + 1 = 0. Отсюда р1 = – (RC)–1.
5) Найдем произвольную постоянную A1.
Произвольные постоянные находят из начальных условий для искомой функции и ее производных (при t = +0). Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t = +0) определяют из схемы замещения исходной цепи, образованной после коммутации (с учетом законов коммутации) по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (iL(–0) = iL(+0)), а емкости – короткому замыканию (uc(–0) = uc(+0)).
Аналогичную схему замещения можно получить, если считать, что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t = +0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω ∞).
Для дифференцирующей RC-цепи послекоммутационная схема (при t = +0, ω ∞) приведена на рис. 6.12, б, а произвольную постоянную A1 находят из уравнения
=A1= .
6) Запись общего решения: .
Выходное напряжение представляет собой экспоненциальный импульс, который характеризуется двумя параметрами (рис. 6.13):
|
Рис. 6.13 |
2) τ – постоянная времени цепи. Определим выходной сигнал при t = τ.
.
Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, убывая по экспоненциальному закону, изменяется от Е до уровня 0,37Е (т.е. убывает в е = 2,71 раза).
Иногда пользуются третьим параметром: tуст – время установления выходного напряжения, это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,1 и 0,05 составляет tуст 0,1 = 2,3τ; tуст 0,05 = 3τ.
Б. Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 6.14) амплитудой Е и длительностью tи. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как .
Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала: . На рис 6.15 показаны три временные диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и tи.
E
u1
t
E
E
E
–E
–E
–E
t
t
t
u1
u1
u1
u2
u2
u2
tи
tи
tи
<<
tи
>>tи
~ tи
а
б
в
tи
Рис. 6.14 Рис. 6.15
В зависимости от соотношения между τ и tи эта схема имеет три названия.
Если τ << tи, то цепь называется дифференцирующей RC-цепью (рис. 6.15, а). Если τ ≈ tи, то цепь называется укорачивающей RC-цепью (рис. 6.15, б).Если τ >> tи, то цепь называется разделительной RC-цепью (рис. 6.16, в).Рассмотрим процессы, протекающие в цепи при воздействии на вход прямоугольного импульса при нулевых начальных условиях uc(–0) = 0.
Напряжения на элементах связаны вторым законом Кирхгофа u1 = uc + uR.
При t < 0 u1 = 0, uc = 0, следовательно, uR = 0. Это исходное состояние.
При t = +0 u1 = Е, uc = 0, E = 0 + uR. Следовательно, uR = Е. Это – послекоммутационное состояние цепи. При t > 0 E = uc + uR. Происходит заряд конденсатора.
С током iзар заряда напряжение на нем возрастает, а на резисторе (на выходе) убывает от Е к нулю. При t = tи–0 E = uC(tи),+ uR(tи),. К моменту окончания импульса uc = uc(tи), uR = Е – uc(tи).
При t > tи+0 u1 = 0 = uc + uR.. Следовательно, uR = –uc. Поэтому знак выходного напряжения меняется на противоположный.
u1(t)
i(t)
R
L
u2(t) |
Рис. 6.16 |
Цепь, состоящая из RL-элементов (рис 6.16), выполняет аналогичные преобразования над входными сигналами и называется дифференцирующей RL-цепью.