-
Упорядоченные множества.
Бинарное отношение в
называется частичным порядком, если
оно рефлексивно, антисимметрично и
транзитивно (обозначают -
,
если
,
то пишут
).
Частичный порядок
в
называется линейным, если любые два
элемента в
сравнимы по , т. е.
или
для любых элементов
.
Множество
с заданным в нём частичным (линейным)
порядком называется
частично (линейно) упорядоченным.
Подмножество
множества
,
частично упорядоченного отношением
, называется цепью
в
,
если оно линейно упорядоченно отношением
.
Элемент
частично упорядоченного множества
называется максимальным (минимальным),
если из того, что
(
),
следует
.
Элемент
называется наибольшим (наименьшим)
если
(
)
для всех
.
Верхней (нижней) гранью подмножества
частично упорядоченного множества
называется любой элемент
,
такой, что
(
)
для любого
.
Точной верхней (нижней) гранью
подмножества
называется наименьшая верхняя (наибольшая
нижняя) грань для
(соответственно
и
).
Линейный порядок
на множестве
называется полным, если каждое
непустое подмножество множества
имеет наименьший элемент. В этом случае
называется вполне упорядоченным
множеством.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.
Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:
Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:
Теорема 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов:
Теорема 4. Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.
Теорема 5. (Кантора - Бернштейна)
Пусть
и
- два произвольных множества. Если
существуют взаимно однозначное
отображение
множества
на подмножество
множества
и взаимно однозначное отображение
множества
на подмножество
множества
,
то
и
эквивалентны.
Теорема 6. (Хаусдорфа) В частично упорядоченном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи.
Теорема 7. (Лемма Цорна) Если всякая
цепь в частично упорядоченном множестве
имеет верхнюю грань, то всякий элемент
из
содержится в некотором его подмножестве,
имеющим максимальный элемент.
Теорема 8. (Цермело) Всякое множество может быть вполне упорядоченно.
Теорема 9. (Аксиома выбора) Если
- произвольное семейство непустых
множеств, то существует функция,
сопоставляющая с каждым индексом
некоторый элемент
из соответствующего множества
.
Контрольные задания Задание 1
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что если
- инъекция множества
в множество
,
то для любого подмножества
справедливо соотношение
в) Какие из чисел 2,5, 11, 12, 27, 31, 41, 63
являются элементами множества
?
г) Найти множества
,
где
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что если
-
сюръекция множества
на множество
,
то
в) Будут ли равными множества:
и
?
г) Найти множества
и
изобразить их на координатной плоскости,
если
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что если
-
сюръекция
и
,
то
в) Будут ли равными множества:
-
множество остатков при делении на 6
первой тысячи натуральных чисел,
-
множество остатков при делении на 6
кубов первой тысячи натуральных чисел?
г) Изобразить на координатной плоскости
множества
,
где
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Для отображения
и
доказать,
что
в) Будут ли равными множества:
-
множество всех чисел
,
таких, что
образуют арифметическую прогрессию,
-
множества всех чисел
,
таких, что
образуют арифметическую прогрессию?
г) Доказать, что
.
д) Доказать, что
1.5 а) Доказать, что
б) Для отображения
и множеств
доказать, что
в) Будут ли равными множества:
- множество всех чисел
,
таких, что уравнение
имеет
4 корня, образующих арифметическую
прогрессию,
?
г) Доказать, что последовательность
сходится
и найти её предел.
д) Доказать, что
1.6 а) Пусть
- подмножества множества
.
Доказать, что
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Будут ли равными множества:
,
?
г) Проверить, будет ли сходящейся
последовательность
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Функции
и
определены на отрезке
и пусть
,
.
Доказать, что:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что, если
-
инъекция, то
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что
Привести пример, показывающий, что
обратное включение неверно.
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
1.12 а) Пусть
- подмножества множества
.
Доказать, что
б) Пусть
.
Определим
,
где
Доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Пусть
.
Определим
,
где
Доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что, если
- инъекция, то
в) Какие из чисел 5, 12, 17, 31, 33, 217, 719 принадлежат множеству простых чисел?
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что, если
-
сюръекция, то
в) Будут ли равными множества:
-
множество всех сумм четырёх последовательных
натуральных чисел,
- множество всех натуральных чисел, не
делящихся на 4.
г) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что если
- отображение
в множество
,
то для любых подмножеств
справедливо соотношение
в) Какие из чисел 2,3, 11, 12, 24, 61, 41, 53
являются элементами множества
?
г) Найти множества
,
где
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что если
-
сюръекция множества
на множество
,
то
в) Будут ли равными множества:
и
?
г) Найти множества
и
изобразить их на координатной плоскости,
если
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что если
-
сюръекция
и
,
то
в) Будут ли равными множества:
-
множество остатков при делении на 7
первой сотни натуральных чисел,
-
множество остатков при делении на 7
кубов первой сотни натуральных чисел?
г) Изобразить на координатной плоскости
множества
,
где
,
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Для отображения
и
доказать,
что
в) Будут ли равными множества:
-
множество всех чисел
,
таких, что
образуют арифметическую прогрессию,
-
множества всех чисел
,
таких, что
образуют арифметическую прогрессию?
г) Доказать, что
.
д) Доказать, что
1.20 а) Доказать, что
.
б) Для отображения
и множеств
доказать, что
в) Будут ли равными множества:
- множество всех чисел
,
таких, что уравнение
имеет
4 корня, образующих геометрическую
прогрессию,
?
г) Доказать, что последовательность
сходится
и найти её предел.
д) Доказать, что
1.21 а) Пусть
- подмножества множества
.
Доказать, что
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Будут ли равными множества:
,
?
г) Проверить, будет ли сходящейся
последовательность
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Функции
и
определены на отрезке
и пусть
,
.
Доказать, что
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Для отображения
и
доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что, если
-
инъекция, то
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что
Привести пример, показывающий, что
обратное включение неверно.
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать
.
д) Доказать, что
1.27 а) Пусть
- подмножества множества
.
Доказать, что
б) Пусть
.
Определим
,
где
Доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Пусть
.
Определим
,
где
Доказать, что
в) Найти множества
,
где
,
.
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
.
б) Показать, что, если
- инъекция, то
в) Какие из чисел 1, 5, 12, 19, 31, 33, 131, 213, 731 принадлежат множеству составных чисел?
г) Доказать тождество
.
д) Доказать, что
-
а) Доказать, что
б) Показать, что, если
-
сюръекция, то
в) Будут ли равными множества:
-
множество всех сумм трёх последовательных
натуральных чисел,
- множество всех натуральных чисел, не
делящихся на 3.
г) Доказать, что
-
а) Доказать, что
Доказать, что
.
б) Показать, что если
- инъекция множества
в множество
,
то для любого подмножества
справедливо соотношение
в) Какие из чисел 2,7, 13, 17, 27, 31, 41, 123
являются элементами множества
?
г) Найти множества
,
где
,
.
д) Доказать, что
