- •Постановка задачи 42
- •1.1 Введение
- •1.2. Понятие устойчивости состояния равновесия эо
- •1.3. Критерий устойчивости систем линейных оду
- •1.4. Критерий устойчивости дискретных систем
- •2. Методы численного интегрирования систем оду
- •2.1 Постановка задачи
- •2.2. Явный метод Эйлера и его характеристики
- •2.3. Явные методы Рунге-Кутта
- •2.4. Понятие "жесткой" системы
- •2.5. Неявный метод Эйлера
- •3 Выбор шага
- •2.6. Неявные методы Рунге-Кугта
- •3. Методы решения нелинейных сау
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона
- •3.3. Метод продолжения решения по параметру
- •3.4. Метод дифференцирования по параметру
- •4. Решение систем линейных ау
- •4.1. Метод Гаусса
- •4.2. Способы повышения точности решении
- •4.3. Метод Зейделя
- •4.4. Метод наискорейшего спуска
- •5. Технология разреженных матриц
- •5.1 Постановка задачи
- •5.2. Разреженный строчный формат
- •5.3. Статические и динамические схемы хранения.
- •5.4. Метод переменного переключателя
- •5.5. Расширенный вещественный накопитель
- •5.6. Сложение двух матриц
- •5. 7. Скалярное умножение двух разреженных векторов
- •5.8. Произведение разреженной матрицы общего вида и заполненного вектора-столбца
- •5.9. Произведение двух разреженных матриц
- •5.10. Транспонирование разреженной матрицы
- •5.11. Треугольное разложение разреженной симметричной матрицы
О. М. САРЫЧЕВА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Конспект лекций
НОВОСИБИРСК 2006
СОДЕРЖАНИЕ
1. Понятие и критерии устойчивости .... .......... 4
1.1. Введение ......................... 4
Понятие устойчивости состояния равновесия ЭО. 6
Критерий устойчивости систем линейных ОДУ 7
Критерий устойчивости дискретных систем 10
2. Методы численного интегрирования систем ОДУ . II
Постановка задачи ...... II
Явный метод Эйлера и его характеристики. 16
Явные методы Рунге-Кутта. ............ 19
Понятие "жесткой"системы........ 21
Неявный метод Эйлера ...,,...,.... 22
Неявные методы Рунге-Кутта...... 25
3. Методы решения нелинейных САУ 27
Постановка задачи 27
Метод Ньютона 31
Метод продолжения решения по параметру.. 33
Метод дифференцирования по параметру..... . 34
4. Решение систем линейных АУ . 36
Метод Гаусса... 35
Способ повышения точности решения. . 38
Метод Зейделя . 39
Метод наискорейшего спуска .. 41
5. Технология разреженных матриц. .. 42
Постановка задачи 42
Разреженный строчный формат......................... 43
Статические и динамические схемы хранения........... 45
Метод переменного переключателя....... 46
Расширенный вещественный накопитель 48
Сложение двух матриц ....... 49
Скалярное умножение двух разреженных векторов.. 53
Произведение разреженной матрицы общего вида
и заполненного вектора-столбца. ,. 54
5.9. Произведение двух разреженных матриц 55
Транспонирование разреженной матрицы.. 60
Треугольное разложение разреженной симметричной матрицы ...... ................. . 62
Список литературы 64
ПОНЯТИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
1.1 Введение
В данной работе обсуждаются методы одновариантного анализа экономических объектов - определения выходных параметров объекта при заданных значениях внутренних и внешних параметров. Большинство задач одновариантного анализа сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений (АУ).
Системы ОДУ являются математическими моделями экономических систем которые описывают динамику их развития. Это значит, что модели экономической динамики исследуют процессы, т.е. последовательности состояний и переходы от одних состояний к другим, определяют возможные и лучшие траектории движения. После того, как переход системы из одного состояния в другое завершен, в ней наступает состояние равновесия, которое называется установившимся режимом или статикой объекта . Экономическая статика изучает допустимые и рациональные состояния экономического объекта. Адекватными математическими моделями при этом являются нелинейные или линейные систему АУ.
Итак, в динамическом режиме экономический объект (ЭО) может описываться системой ОДУ.
, (1.1)
где x-n –мерный вектор переменных состояния ЭО, U-m-мерный вектор входных воздействий ЭО;
.
Очевидно, что в этом случае F (.)- n-мерная вектор-функция, параметры которой могут зависеть от времени (функция F (.) зависит от t ) или не зависеть от него (функция F(.) не зависит явно от t ).
u(t) x(t)
ЭО
В дальнейшем будут изучаться численные методы исследования поведения ЭО (1.1) во времени.
•
Рис.1.2.
Ввиду того, что если то Следовательно, сами значения элементов вектора можно найти, решая каким-либо способом в общем случае нелинейную систему АУ вида
0 1.2
Таким образом, система (1.2) является математической моделью ЭО в установившемся режиме.
Если область функционирования ЭО лежит в достаточно малой окрестности состояния , то функцию можно линеаризовать в этой окрестности в точке , . Тогда вместо нелинейной системы АУ (1,2) будем иметь линейную систему АУ вида
где ;
При этом элементы и суть константы, вычисленные в точке линеаризации ,
= =
В следующих разделах обсудим численные методы решения систем (1.2) и (1.3) с учетом специфики ЭО: большой мерности экономических задач и разнородности составляющих частей ЭО.