- •Название контрольной работы по мс:
- •1 Основные понятия и теоремы
- •2 Примеры задач с решениями
- •2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •2.2 Задачи на использование комбинаторики при подсчёте вероятностей
- •2.3 Задачи на формулу полной вероятности и формулу Байеса
- •2.4 Вычисление вероятности наступления события в серии n независимых испытаний
- •2.5 Нахождение законов распределения случайных величин, их числовых характеристик, функций и плотностей распределения
- •2.6 Нахождение законов распределения двумерных случайных величин
- •3 Список рекомендуемых источников
- •Приложение а. Варианты заданий для контрольной работы
- •Приложение б. Справочные таблицы
Название контрольной работы по мс:
Определение параметров линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Прогнозирование одного фактора на основе другого.
1 Основные понятия и теоремы
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Случайное явление – явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (при неоднократных испытаниях) протекает каждый раз несколько по-иному.
Опыт (испытание) – всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.
Событие - возможный результат опыта.
Случайное событие – событие, которое при осуществлении данного опыта может наступить, а может и не наступить.
Достоверное событие (U) – событие, которое при осуществлении данного опыта всегда наступит.
Невозможное событие (V) – событие, которое при осуществлении данного опыта никогда наступит.
Равновозможные события – события, для которых при осуществлении данного опыта нет оснований считать, что возможность появления одного из них больше, чем другого.
Несовместные события – события, которые при осуществлении данного опыта не могут наступить одновременно (появление одного из них исключает появление других в одном и том же опыте).
Полная группа событий (совокупность единственно возможных событий) – группа таких событий, для которых выполняется: в результате данного опыта обязательно происходит и только одно из них.
Противоположные события – события А и , для которых выполняется: в результате данного опыта наступление А равносильно тому, что не наступит.
Элементарные исходы (случаи, шансы) – равновозможные, несовместные события, образующие полную группу событий.
Пространство элементарных исходов – совокупность элементарных исходов . Часто используют обозначение: . Любой результат эксперимента (событие) - это точка пространства . Если можно считать, что ни один из элементарных исходов (случаев) не является предпочтительным, т.е. исходы равновозможны, каждому элементарному исходу можно приписать число . Это число называют вероятностью данного случая. Таким образом, для нахождения вероятности необходимо найти число элементарных исходов.
Благоприятные (благоприятствующие) случаи (для события) – случаи, при которых данное событие наступает. Появление благоприятного случая является проявлением данного события.
Классическое определение вероятности
Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятностью события А называется отношение m/n:
Р(А) = m/n. (1)
Свойства вероятности
для достоверного события U выполняется: Р(U) = 1;
для невозможного события V: Р(V) = 0;
для случайного события A: 0 < P(A) < 1;
для любого события В: 0 ≤ Р(В) ≤ 1.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиняющихся определённым условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.
Правило суммы
Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а В – другими k способами, то выбрать объект А+В (А или В) можно m+k способами.
Правило произведения
Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а после каждого такого выбора объект В может быть выбран k способами, то выбор упорядоченной пары АВ (А∙В, А и В) может быть произведён m∙k способами.
Размещения – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений :
. (2)
Перестановки – комбинации, составленные из n различных элементов по n элементов, отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок :
. (3)
Сочетания – комбинации, составленные из данных n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний :
. (2)
Перестановки с повторениями – комбинации, составленные из данных n элементов, среди которых n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д.: n1 + n2 + …+ nk = n. Число перестановок с повторениями можно подсчитать по формуле:
. (5)
Размещения с повторениями – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (элементы в таких комбинациях могут повторяться, при этом может оказаться, что n ≤ m). Число размещений с повторениями находят по формуле:
. (6)
Сочетания с повторениями – комбинации, составленных из n различных элементов по m элементов, элементы в которых могут повторяться, но в отличие от числа размещений с повторениями, последовательность при выборе элементов не важна. Число таких комбинаций находят по формуле:
. (7)
Геометрическая вероятность – обобщение классической вероятностной модели с конечным или счётным числом равновероятных элементарных исходов. Пусть пространству элементарных исходов соответствует некоторый выделенный объём (площадь или длина ); а событию А соответствует некоторая область с объёмом (площадью или длиной ). Тогда вероятностью события А можно считать отношение:
. (3)
Статистическая вероятность – число, близкое к m/n при неограниченном возрастании n – числа независимых испытаний, если m – число появлений события А в этой серии из n испытаний. Величина m/n называется относительной частотой события А (или частостью). При этом справедлива теорема Бернулли (частный случай теоремы Чебышева - одного из законов больших чисел [1, с. 97]). Согласно этой теореме, в описанной ситуации для любого положительного числа предел вероятности события равен 1:
.
Предел, используемый в теореме Чебышева, называют пределом по вероятности. Таким образом, практически достоверным при больших значениях n является событие: вероятность р события А сколь угодно близка к его относительной частоте m/n.
Сумма или объединение событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Произведение (пересечение) событий – событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.
Сумму трёх событий (А1, А2, А3) можно рассмотреть как сумму события (А1+А2) и события А3; аналогично для четырёх, пяти событий и так далее (так же и произведение нескольких событий).
Обобщая понятия, связанные с действиями над событиями, на множестве событий вводят алгебраические операции (используя символику действий над множествами):
объединение (сумма) двух событий А и В – событие С, такое, что ;
дополнение (противоположное событию А) – событие , такое, что ;
пересечение (произведение) двух событий А и В – событие С, такое, что ;
следствие (из А следует В, А включается в В, А влечёт В): ;
невозможное событие ;
достоверное событие ;
разность двух событий А и В – событие С, такое, что ;
симметрическая разность двух событий А и В – событие С, такое, что
Алгебра событий
Множество событий S называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия (аксиомы событий):
;
Припишем каждому элементарному событию (исходу) некоторый «вес» – вероятность исхода . Совокупность вероятностей должна удовлетворять условиям:
,
.
В этом случае вероятность некоторого события А определяется формулой: . При этом тройка , где , а S – некоторая алгебра подмножеств [2, с. 54], определяет вероятностную модель, или вероятностное пространство, обладающее свойствами:
,
,
,
,
.
Свойства действий над событиями
– коммутативность;
– ассоциативность;
– дистрибутивность;
;
;
;
;
;
;
.
Теорема сложения вероятностей
вероятность суммы двух событий А и В можно найти по формуле:
, (9)
если события несовместны, то
; (4)
вероятность суммы n событий:
(11)
Терема умножения вероятностей
вероятность произведения двух событий
; (12)
если события А и В независимы, то
; (5)
вероятность произведения n событий
;
если события независимы в совокупности (т.е. каждое событие из совокупности попарно независимо с остальными, а также со всевозможными произведениями остальных событий), то .
Формула полной вероятности
Пусть задана полная группа событий: {H1,H2, …, Hn}. Для них выполняется: . Тогда вероятность некоторого события А, зависимого от H1,H2, …, Hn можно найти по формуле:
. (6)
Формула Байеса
для событий А и В:
;
для полной группы событий (гипотез) вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна:
. (7)
Формула Бернулли
Пусть при проведении серии n независимых испытаний в каждом из них событие А происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью . Пусть при этом событие В заключается в том, что событие А в серии n независимых испытаний произошло m раз. Тогда вероятность события В можно найти по формуле:
. (8)
Локальная формула Муавра-Лапласа (предельная теорема Муавра-Лапласа):
. (17)
Формула даёт наиболее точное значение при n > 100, а npq > 20.
Исходя из формулы Муавра-Лапласа, вероятность события В (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) можно также получить, используя функцию Гаусса (её значения приведены в приложении Б): , тогда
. (9)
Интегральная формула Муавра-Лапласа
При большом числе испытаний в качестве события В рассматривают событие, заключающееся в том, что число успехов (наступлений события А) лежит в некотором интервале. Тогда справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа:
(19)
Так как значения функции (функции Лапласа) известны (приложение Б), то вероятность события В, исходя из интегральной формулы Муавра-Лапласа, находят следующим образом:
(10)
Формула Пуассона
Нахождение вероятности события B (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) по формуле Бернулли при больших затруднителен. Но в случае малой вероятности успеха, можно оценить вероятность B следующим образом: если и , то . Обозначив , получим:
. (11)
Параметр равен среднему числу успехов в серии из испытаний, т.е. ожидаемому числу успехов, где под понимается частота успеха.
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, которая принимает значения в зависимости от исходов испытания, т.е. случайным образом. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, [1, с. 57].
Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений.
Непрерывная случайная величина – случайная величина, принимающая значения из некоторого промежутка.
Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между значениями этой величины и их вероятностями . Закон распределения дискретной случайной величины задаётся таблично или аналитически:
табличное задание (табл.1)
Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины Х
Х |
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
аналитическое:
, при этом , [3, c. 52].
Законы распределения дискретных случайных величин
Равномерное распределение – распределение случайной величины Х с законом распределения (табличное задание - в табл. 2).
Таблица 2 – Равномерный закон распределения дискретной случайной величины Х
Х |
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
При этом выполняется: .
Пример: Х – число выпадений герба при подбрасывании монеты.
Биномиальное распределение – распределение случайной величины Х, равной числу наступлений события А в серии n независимых испытаний. В каждом из них событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1- p. Аналитически биномиальный закон распределения можно задать с помощью формулы Бернулли:
(табличное задание - в табл. 3)
Таблица 3 – Биномиальное распределение дискретной случайной величины Х
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
n |
Р |
|
|
|
|
|
Геометрическое распределение – распределение случайной величины Х, равной номеру опыта, в котором первый раз наступило событие А в серии n независимых испытаний. В каждом из них событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 - p. Геометрический закон распределения можно задать с помощью формулы (22), табличное задание - в таблице 4.
(12)
Таблица 4 – Геометрическое распределение дискретной случайной величины Х
Х |
1 |
2 |
3 |
|
n |
… |
Р |
|
|
|
|
|
… |
Гипергеометрическое распределение – распределение случайной величины Х, равной числу элементов с заданными свойствами в выборке m элементов из n. Если в выборке содержится k элементов с заданными свойствами, то гипергеометрический закон распределения можно задать с помощью формулы:
. (23)
Законы распределения непрерывных случайных величин
Функция распределения случайной величины F(x) – один из видов закона распределения случайной величины (для дискретных и непрерывных величин). Функция распределения принимает значения, равные вероятности события :
. (13)
Функция F(x) - неубывающая функция, принимающая значения на интервале [0; 1]. Дискретная случайная величина имеет счётное число разрывов, равное n - числу её значений. В точке разрыва функция распределения непрерывна слева. Скачок функции F(x) в точке разрыва равен соответствующему значению вероятности .
Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, поэтому её F(x) может иметь производную. Скачков функция F(x) не имеет, следовательно, .
Плотность распределения f(x) (плотность вероятности) случайной величины Х – производная функции распределения, так же как и её функция распределения F(x) является законом распределения непрерывной случайной величины:
. (14)
Функция f(x) неотрицательна. Для неё выполняется:
;
;
.
Некоторые виды законов распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется: плотность распределения постоянна на некотором отрезке и равна нулю вне этого отрезка:
Так как , можно получить:
(15)
Показательное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется: плотность распределения случайной величины Х имеет вид:
(27)
При этом функция распределения случайной величины Х равна:
(28)
Нормальное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется:
(29)
В случае нормального распределения говорят, что непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , а саму случайную величину Х называют нормальной случайной величиной ( ). Её функцию распределения можно найти следующим образом:
(30)
Математическое ожидание случайной величины X
Если Х – дискретная случайная величина, то
. (16)
Если Х – непрерывная случайная величина, то
. (17)
Дисперсия случайной величины X
. (33)
Если Х – дискретная случайная величина, то
(34)
если Х – непрерывная случайная величина, то
. (18)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X
. (19)