2.3.Оценка потоков с неравными поступлениями. Потоки постнумерандо и пренумерандо

Рассмотренный математический аппарат позволяет приводить к выбранному моменту в настоящем или будущем одну отдельно взятую сумму. Денежный поток – это совокупность доходов и расходов, разрозненных на временной оси. Поэтому для оценки потока в целом необходимо каждую из входящих в него сумм продисконтировать (если приведение осуществляется к настоящему) либо нарастить, если критерием оценки потока служит его будущая ценность.

Очевидно, что для целей такой оценки принципиальное значение имеет одно обстоятельство: в какой момент поступают платежи: в начале или в конце временного интервала? Если платежи поступают в начале периода, поток называется пренумерандо. Если платежи осуществляются в конце, поток называется постнумерандо. Схематично их различие представлено на Рис. 9.

Рис. 9 Различия потоков постнумерандо и пренумерандо

Поток пренумерандо, приведенный к моменту «0», даст тот же результат, что поток постнумерандо, приведенный к точке «1». Следовательно, настоящая ценность потока постнумерандо в текущий момент (0) будет меньше, нежели оценка такого же потока пренумерандо. Различаться оценки будут на величину дисконтирующего множителя .

(2.17)

По аналогии, приведение к будущему моменту t для потока постнумерандо даст тот же результат, что и приведение потока пренумерандо к моменту (t-1). Для приведения к моменту t поток с поступлениями в начале интервала нужно еще раз нарастить на один период, умножить на (1+r).

(2.18)

Поток пренумерандо всегда «дороже», ценность его выше. При решении конкретных задач на это обстоятельство всегда нужно обращать внимание.

Логика приведения денежных потоков к выбранным моментам в настоящем и будущем показана на рисунках ниже.

Рис. 10 Процессы приведения денежных потоков

Формулы расчета настоящей и будущей стоимостей денежного потока следующие:

(2.19)

(2.20)

2.4.Перечень вопросов и ситуаций

1. Для чего необходимо осуществлять процессы наращения и дисконтирования при расчете экономических критериев?

2. Какой экономический смысл имеет мультиплицирующий множитель «будущая стоимость единицы»?

3. Какой экономический смысл имеет дисконтирующий множитель «настоящая стоимость единицы»?

4. В чем принципиальное отличие потоков постнумерандо и пренумерандо?

5. Приведите примеры дисконтирования и наращения по простой процентной ставке.

6. Приведите примеры дисконтирования и наращения по сложной процентной ставке.

7. Изменится ли величина приведенной стоимости потока при сдвиге потока?

8. Изменится ли величина приведенной стоимости потока при сдвиге точки приведения?

9. Операция учета векселя представляет собой пример:

а) процесса дисконтирования по простой процентной ставке;

б) процесса наращения по простой процентной ставке;

в) процесса дисконтирования по сложной процентной ставке;

г) процесса наращения по сложной процентной ставке.

2.5.Задачи для самостоятельного решения

Задача 52

Какая сумма предпочтительнее при ставке 9% - 1000 долл. сегодня или 2000 долл. через 8 лет?

Задача 53

Приведены данные о денежных потоках за пятилетний период.

Поток	Год
	1	2	3	4	5
А	600	-	-	-	-
В	-	-	-	-	1200

Рассчитайте для каждого потока значения будущей и настоящей стоимости при r=8% для двух случаев: а) элементы потока имеют место в начале года (схема пренумерандо) б) элементы потока имеют место в конце года (схема постнумерандо).

Задача 54

Рассчитайте текущую стоимость каждого из приведенных ниже денежных поступлений, если дисконтирование осуществляется по ставке 12%: а) 5 млн. руб., получаемые через 3 года; б) 50 млн. руб., получаемые через 10 лет.

Задача 55

За выполненную работу предприниматель должен получить 60 тыс. д.е. Заказчик не имеет возможности рассчитаться в данный момент и предлагает отложить срок уплаты на 2 года, по истечении которых он обязуется выплатить 70 тыс. д.е. Выгодно ли это предпринимателю, если приемлемая норма прибыли составляет 10%? При каком предельном уровне нормы прибыли следовало бы согласиться?

Задача 56

Покупатель должен был выплатить поставщику за покупку сырья 5 000 д.е. сразу, 5 000 д.е. через год и еще через год 4 000 д.е. Поставщик предложил выплатить сразу 10 000 д.е., а оставшиеся 4 000 через год. Соглашаться ли на эти условия? Если первый платеж действительно составит 10 000, при каком размере второго платежа данные потоки станут эквивалентными, если годовая процентная ставка 8% сложных (ежегодное начисление).

Задача 57

Вы реализовали продукцию на сумму 500 тыс. Выберите наилучший вариант взаиморасчетов с покупателями:

а) 100 тыс. сразу, и дважды по 200 с интервалом в год

б) 50 тыс. сразу, 350 тыс. через год и 100 тыс. еще через год

в) 200 тыс. сразу, 300 тыс. через два года

г) вексель на два года номиналом 500 тыс. с процентами по ставке 10% сложных с полугодовым начислением.

Стоимость денег 12% годовых, начисление ежегодное. Учетная ставка по векселям – 8% годовых.

Задача 58

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. руб. по истечении 2-х лет. Ответьте на следующие вопросы:

1. Если имеются два варианта получения доходов: либо по 5 млн. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода, то какой из них более предпочтителен?

2. Существуют ли такие условия, когда выбор вариантов для вас безразличен?

3. Изменится ли ваше решение, если доход второго года уменьшится до 4 млн. руб.?

Задача 59

Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов: 25 млн. руб. через 6 лет или 50 млн. руб. через 12 лет. При каком значении процентной ставки выбор безразличен?