- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть V Элементы теории многочленов
- •1. Элементы теории многочленов
- •2. Свойства операций над многочленами
- •2) Ассоциативна (при перестановке трех слагаемых сумма не меняется): ;
- •3) Для любого многочлена существует многочлен такой, что .
- •3. Деление многочленов
- •4. Делители
- •5. Наибольший общий делитель двух многочленов
- •6. Алгоритм Евклида
- •6. Основная теорема алгебры многочленов
- •7. Схема Горнера
- •Применения схемы Горнера
- •8. Отделение кратных корней многочлена
- •Литература
Руководство к решению задач по алгебре
Часть V Элементы теории многочленов
Учебное пособие для вузов
Составители:
Глушакова Татьяна Николаевна,
Крыжко Игорь Борисович
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2010
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 октября 2010 г., протокол № 4
Рецензент канд. физ.-мат.наук, доцент Ю.В. Бондаренко
Учебное пособие подготовлено на кафедрах вычислительной математики и прикладных информационных технологий, программного обеспечения и администрирования информационных систем факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика;
010901 – Механика
1. Элементы теории многочленов
Функция вида , где , , называется многочленом степени , числа – коэффициентами многочлена, – аргументом (вещественным или комплексным в зависимости от ).
Степень многочлена обозначается : .
Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым многочленом и обозначается .
Два многочлена называются равными, если равны все коэффициенты при одинаковых степенях аргумента.
Пусть даны многочлены и , где .
Суммой многочленов и называется многочлен
,
где и .
Произведением многочленов и называется многочлен
,
где .
З а м е ч а н и е. Степень произведения ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов: .
2. Свойства операций над многочленами
Перечислим основные свойства операций над многочленами.
I. Сумма двух многочленов
1) коммутативна (при перестановке двух слагаемых сумма не меняется): ;
2) Ассоциативна (при перестановке трех слагаемых сумма не меняется): ;
3) существует нулевой многочлен такой, что для любого многочлена ;
4) для любого многочлена существует многочлен такой, что .
II. Произведение многочленов
1) коммутативно (при перестановке двух сомножителей произведение не меняется): ;
2) ассоциативно (при перестановке трех сомножителей произведение не меняется): ;
3) Для любого многочлена существует многочлен такой, что .
III. Для суммы и произведения многочленов выполняется дистрибутивный закон: .
З а м е ч а н и е. Нулевой многочлен в дальнейшем будем обозначать просто .
3. Деление многочленов
Определим для многочленов понятие деления с остатком. Пусть даны два многочлена
и
( , и ).
Будем говорить, что многочлен делится на многочлен , если существуют многочлены и такие, что , причем . Многочлен называется частным при делении на , – остатком при этом делении, а – делителем.
Если , то есть , то говорят, что делится на без остатка (или нацело) и пишут .
Теорема. Для любых многочленов и деление возможно, причем частное и остаток определяются однозначно.