- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •3.2. Ряд, функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Условные законы распределения
- •3.4. Независимость случайных величин
- •3.5. Коррел-й момент и коэффициент корреляции системы двух св
- •4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
- •4.3. Основные свойства математического ожидания
- •4.4. Основные свойства дисперсии
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6.1. Основные понятия теории случайных процессов
- •6.2. Основные характеристики случайных процессов
- •6.3. Стационарные случайные процессы
1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
Событие ‑ любой факт, который может произойти или не произойти.
Эксперимент (испытание, опыт) –воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения.
Достоверное (невозможное) событие, если в результате эксперимента оно всегда происходит (никогда не происходит).
Случайным событие называется, если в результате эксперимента оно может или произойти, или произойти.
Если при каждом наступлении события А наступает и событие В, то говорят, что А влечёт за собой В (А – частный случай В). ( и ).
События А и В называются равными (эквивалентными), если в результате эксперимента одно из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое. ( ).
Событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается или .
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается или .
События образуют полную группу, если .
Событие, состоящее в том, что в опыте событие А происходит, а событие В нет, называется разностью событий А и В ( или ).
Событие, состоящее в том, что в опыте событие А не происходит, называется противоположным по отношению к А и обозначается . А и В называется взаимно противоположными, если и .
Два события А и В называются несовместными, если их совместное появление в опыте невозможно, т.е. . События называются попарно несовместными, если при имеет место .
Из совокупности возможных исходов испытания можно выделить такое множество событий, что при каждом повторении опыта появляется одно и только одно событие из , а произвольное событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает событие из некоторого подмножества множества . Элементы множества будем называть элементарными событиями, а само множество – пространством элементарных исходов испытания. Пространство элементарных исходов может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.
1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
Пусть испытание повторяется n раз, причём в повторениях появляется событие А. называют относительной частотой события А в n повторениях испытания.
Если при достаточно больших n , получаемая в различных сериях испытаний, почти всегда лишь мало отличается от некоторого числа , то это число называется вероятностью события А.
Поскольку , то , а значит, . Относительная частота достоверного (невозможного) события в любой серии испытаний, очевидно , .
Пусть, далее, А и В – два несовместных события, первое из которых в результате n испытаний появилось раз, второе – раз, то
,
откуда естественно предположить, что . Если – попарно несовместные события и , то по индукции можно получить равенство , из которого следует, что . Таким образом, вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Практически достоверные (практически невозможные) события ‑ при многократном повторении испытания почти всегда происходят (почти никогда не происходят).