- •1.1. Выборка и статистический ряд
- •1.2. Гистограмма и полигон относительных частот
- •1.3. Статистическая функция распределения
- •2.1. Понятие о точечных оценках и их свойствах
- •2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •3.1. Понятие о доверительных интервалах
- •3.2. Приближённый метод построения доверительного интервала для математического ожидания
- •3.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределённой св
- •3.5. Построение доверительного интервала для дисперсии нормально распределённой св
- •4.1. Основные определения и общая схема проверки
- •4.2. Критерий согласия Пирсона
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова
- •4.4. Проверка гипотезы об одинаковом распределении двух непрерывных случайных величин
- •4.5. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин
- •4.6. Проверка гипотез о равенстве математического ожидания и дисперсии нормально распределённой св заданным числам
- •4.7. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределённых св
- •5.1. Общая характеристика метода метод статистических испытаний
- •5.2. Разыгрывание случайной величины с заданным законом распределения
- •5.3. Приближённое вычисление определённого интеграла
1.1. Выборка и статистический ряд
Пусть некоторая СВ Х наблюдается (измеряется) n раз, то есть – независимые СВ, имеющие тот же закон распределения, что и СВ Х.
Генеральная совокупность - все значения, которые может принимать рассматриваемая СВ Х в результате наблюдений (измерений).
Выборкой из генеральной совокупности называются результаты n последовательных независимых наблюдений (измерений) СВ Х.
Вариационным рядом выборки называется запись её элементов в порядке не убывания.
Размах выборки – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.
Пусть Х – дискретная СВ. Пусть выборка содержит k различных элементов , записанных в порядке возрастания, причём встречается раз ( ). Число называется относительной частотой элемента .
Статистическим рядом называется последовательность пар , .
Пусть Х – непрерывная СВ. Построив вариационный ряд выборки , возьмём произвольный интервал числовой прямой, охватывающий все элементы выборки с небольшим запасом. Разобьём этот интервал на k непересекающихся интервалов , . Пусть – число элементов выборки, попавших в i-й интервал ( ), тогда число называется относительной частотой интервала .
Рекомендуется брать . Длины интервалов проще брать одинаковыми. Желательно, чтобы каждый интервал содержал не менее пяти элементов выборки.
1.2. Гистограмма и полигон относительных частот
Пусть Х – непрерывная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда.
Гистограммой относительных частот называется кусочно постоянная функция , которая на каждом из интервалов принимает значение , где , и равна нулю при и при .
Полигоном относительных частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки , , . . , . Таким образом, график полигона относительных частот – это ломаная, вершины которой расположены на серединах ступеней графика гистограммы относительных частот .
Пусть теперь Х – дискретная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда, т.е. имеются различные элементы выборки и соответствующие им относительные частоты . Тогда полигоном относительных частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки .
1.3. Статистическая функция распределения
Пусть имеется выборка измерений СВ Х. Статистической (эмпирической) функцией распределения называется функция , где n – объём выборки, – количество элементов выборки, значение которых меньше х. – неубывающая кусочно постоянная функция, скачки которой соответствуют значениям СВ Х, имеющимся в выборке, и по величине равны относительным частотам этих значений. Если – минимальный, а – максимальный элемент выборки, то при и при .
Пусть Х – непрерывная СВ. Когда объём выборки измерений достаточно велик, построение становится трудоёмким. Поэтому для получения статистического аналога функции распределения обычно используются данные статистического ряда. Если построены интервалы , и найдены их относительные частоты , , то на правом конце каждого интервала статистическая функция полагается равной , т.е. накопленной относительной частоте этого интервала. При полагается , при полагается . График функции строится в виде ломаной, последовательно проходящей через точки , , , . . , ,
где , и называется кумулятивной ломаной. При большом объёме выборки функции и используются в качестве статистического аналога функции распределения СВ Х.