- •Разложение периодической функции в ряд Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
- •Ряд Фурье в комплексной форме.
- •Спектральные характеристики ряда Фурье.
- •Спектральные характеристики для вещественной формы.
- •Спектральные характеристики для комплексной формы.
- •Спектральная функция.
- •Нахождение сумм числовых рядов.
- •Разложение непериодической функции.
- •Интеграл Фурье в вещественной форме.
- •Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
- •Спектральные характеристики интеграла Фурье.
Разложение периодической функции в ряд Фурье
Многие явления природы происходят периодически, то есть повторяются в определенном порядке по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом. Математически такие явления описываются с помощью периодических функций.
Пусть - вещественная функция вещественного аргумента. Функция называется периодической с периодом , если она определена на всей вещественной оси и для всех выполняется равенство:
.
Замечание: Если функция имеет период , то она также имеет период , , …, то есть
.
Обычно за основной период принимают наименьшее положительное , для которого .
Следовательно, полное представление о функции можно получить, изучив ее на любом интервале длины , например: , , , ,…так как принимает одинаковые значения при любых , отличающихся друг от друга на .
Изменение функции за период называется ее колебанием.
Рассмотрим интеграл от периодической функции : .
К ак известно, геометрический смысл определенного интеграла это площадь фигуры, ограниченной функцией и осью на промежутке (см. рис.1).
А интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры на рис.2
В идно, что площадь фигуры на рис.1 равна площади фигуры на рис.2, следовательно:
,
то есть интегралы по любым отрезкам длины от периодической функции с периодом равны.
С периодическими движениями (колебаниями) приходится иметь дело в самых различных областях знания – в теории упругости, акустике, радиотехнике, электротехнике, теории автоматического управления. В общем случае характер периодического движения может быть очень сложным.
Нужно сказать, что физики давно считали, что всякое сложное периодическое движение точки (сложное колебание) – будь то механическое колебание точки струны или электромагнитное колебание, или колебание, связанное с распространением звука – распадается на гармонические колебания, то есть сложное периодическое движение надо мыслить как сумму (конечную или бесконечную) простых гармонических колебаний того же периода, соответствующих данной частоте k (простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания).
Физики такое разложение из реального движения получают при помощи специальных приборов – резонаторов, математики – при помощи вычислений.
Таким представлением периодической функции пользуются, например, в электротехнике: явления, происходящие в электрических цепях с несинусоидальной, периодически меняющейся электродвижущей силой, проще всего поддаются исследованию, если эту электродвижущую силу разложить на сумму гармоник.
Поэтому возникает потребность представления периодической функции в виде суммы более простых периодических функций, в качестве которых используются и .
С этой целью рассмотрим бесконечную систему тригонометрических функций:
(1)
где 1= и ,
Функции и являются периодическими с периодом Т:
Аналогично для .
Вообще минимальным периодом для функций и является , но тогда и тоже является периодом. Постоянную функцию (константу) можно считать периодической любого периода.
Таким образом, общий период всех функций из бесконечной системы (1) будет равен Т.
Так как функция имеет период , то это означает, что одно полное колебание происходит за промежуток времени . Количество колебаний в единицу времени это , а за секунд происходит колебаний. Эта величина называется круговой частотой (число колебаний за секунд).
Число колебаний в секунду – величина, обратная периоду: - также называется частотой колебания, ее единицей измерения является герц. и связаны равенством .
Введенная система тригонометрических функций является ортогональной на промежутке длины , так как интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функций последовательности (1) равен нулю:
, при
Пусть дана периодическая функция с периодом , которая необязательно является тригонометрическим многочленом. С помощью введенной системы тригонометрических функций составим тригонометрический ряд:
, (2)
где вычисляются по формулам:
Этот ряд представляет собой частный случай функционального ряда и называется рядом Фурье для , а называются коэффициентами ряда Фурье для функции .
Слагаемое называется -той гармоникой ряда Фурье.
Ряд Фурье сходится к функции только при определенных условиях. Эти условия называются условиями Дирихле. Сформулируем их.
Функция удовлетворяет на отрезке условиям Дирихле, если:
непрерывна на , либо имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва I рода.
монотонна на , либо имеет на этом отрезке конечное число экстремумов.
Теорема Дирихле: Если функция с периодом на отрезке длины удовлетворяет условиям Дирихле, то:
ряд Фурье для этой функции сходится на всей оси ,
сумма ряда Фурье равна во всех точках непрерывности этой функции: = ,
где -периодическая функция с периодом Т.
В точках разрыва I рода функции сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов функции в этих точках.
точка разрыва I рода,
В частности, если на концах отрезка функция терпит разрыв, то сумма ряда в этих точках равна:
Эта теорема имеет достаточный характер. Если на некотором промежутке ряд Фурье сходится к функции , то говорят, что на этом промежутке функция разложена в ряд Фурье, и пишут:
= ,
Пусть на промежутке представима функцией . Тогда ряд Фурье для функции совпадает с рядом Фурье для функции , заданной на промежутке .
Ряд Фурье в виде называется рядом Фурье в вещественной форме.
Члены ряда (2) можно записать в виде гармоник:
Обозначая , получим
,
где - -ая гармоника, - амплитуда -ой гармоники, дает наибольшее отклонение точки, движущейся по закону , от начала координат, - фаза k-ой гармоники, причем, если при некотором и , то при таком гармоническое колебание не определено, -ая гармоника равна 0 и не существует; - частота k-ой гармоники.
Тогда ряд Фурье для функции примет вид:
.
Таким образом, разложение периодической функции в ряд Фурье эквивалентно представлению ее в виде бесконечной суммы гармоник, амплитуды которых и фазы определяются коэффициентами Фурье и :
- первая гармоника,
- вторая гармоника,
- третья гармоника, … и так далее.
Все гармоники имеют общий период .
Разложение функции в тригонометрический ряд единственно.
Аппроксимирующие тригонометрические полиномы для функции имеют вид:
,
,
,
,
..................................
.
Эти полиномы представляют собой частичные суммы ряда и являются последовательными приближениями функции на , с увеличением они все точнее и точнее представляют функцию .
Периодическая функция изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени координату (на оси ).
Функция определяет гармоническое колебание точки с амплитудой , фазой и частотой . Это функция периода .