Задание 1.
Даны данные о кредитах Y(t) от коммерческих банков на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года.
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Y(t) |
41 |
52 |
62 |
40 |
44 |
56 |
68 |
41 |
47 |
60 |
71 |
44 |
52 |
64 |
77 |
47 |
Требуется:
Построить адоптивную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметр сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основании исследования:
а) случайной остаточной компоненты по критерию пиков;
б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10;d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r=0,32;
в) нормальному закону распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическим значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение.
1. Для построения модели Хольта-Уинтерса необходимо рассчитать следующие параметры:
Yp(t+k)= [a(t)+k*b(t)] * F(t+k-L)
a(t) = α1 * Y(t)/F(t-L) + (1-α1) * [a(t-1)+b(t-1)]
b(t) = α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1-α3) * b(t-1)
F(t) = α2 * Y(t)/a(t) + (1-α2) * F(t-L)
Для построения модели необходимо найти начальные значения a(0) и b(0), для этого применим линейную модель и по первым 8 значения определим необходимые значения a(0) и b(0).
i |
ti |
yi |
ti-t |
yi-y |
(ti-t)(yi-y) |
(ti-t)^2 |
Yp |
1 |
1 |
41 |
-3,50 |
-9,50 |
33,25 |
12,25 |
47,75 |
2 |
2 |
52 |
-2,50 |
1,50 |
-3,75 |
6,25 |
48,54 |
3 |
3 |
62 |
-1,50 |
11,50 |
-17,25 |
2,25 |
49,32 |
4 |
4 |
40 |
-0,50 |
-10,50 |
5,25 |
0,25 |
50,11 |
5 |
5 |
44 |
0,50 |
-6,50 |
-3,25 |
0,25 |
50,89 |
6 |
6 |
56 |
1,50 |
5,50 |
8,25 |
2,25 |
51,68 |
7 |
7 |
68 |
2,50 |
17,50 |
43,75 |
6,25 |
52,46 |
8 |
8 |
41 |
3,50 |
-9,50 |
-33,25 |
12,25 |
53,25 |
Σ |
36 |
404 |
|
|
33,00 |
42,00 |
404,00 |
Σср |
4,50 |
50,50 |
|
|
|
|
|
,
a(0) = Yср - b(0) * tср=50,50-0,786*4,5=46,964
Уравнение имеет вид Yp(t)=46,964+0,786*t
Найдем коэффициенты сезонности для 1,2,3,4 кварталов
F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[(41/47,75)+(44/50,89)]= 0,862
F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=[(52/48,54)+(56/51,68)]= 1,077
F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=[(62/49,32)+(68/52,46)]= 1,277
F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=[(40/50,11)+(41/53,25)] = 0,784
Имея все необходимые данные, построим модель Хольта-Уинтерса
t |
yt |
Yp(t) |
a(t) |
b(t) |
F(t) |
Et |
E отн |
-3 |
|
|
|
|
0,862 |
|
|
-2 |
|
|
|
|
1,077 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
1,277 |
|
|
0 |
|
|
46,964 |
0,786 |
0,784 |
|
|
1 |
41 |
41,141 |
47,701 |
0,771 |
0,860 |
-0,141 |
0,345 |
2 |
52 |
52,228 |
48,408 |
0,752 |
0,989 |
-0,228 |
0,439 |
3 |
62 |
62,757 |
48,982 |
0,698 |
1,155 |
-0,757 |
1,221 |
4 |
40 |
38,956 |
50,080 |
0,818 |
0,941 |
1,044 |
2,611 |
5 |
44 |
43,791 |
50,971 |
0,840 |
0,862 |
0,209 |
0,475 |
6 |
56 |
51,224 |
53,261 |
1,275 |
1,026 |
4,776 |
8,528 |
7 |
68 |
62,985 |
55,839 |
1,666 |
1,193 |
5,015 |
7,375 |
8 |
41 |
54,123 |
53,321 |
0,411 |
0,838 |
-13,123 |
32,008 |
9 |
47 |
46,322 |
53,969 |
0,482 |
0,867 |
0,678 |
1,443 |
10 |
60 |
55,883 |
55,654 |
0,843 |
1,057 |
4,117 |
6,861 |
11 |
71 |
67,380 |
57,407 |
1,116 |
1,219 |
3,620 |
5,098 |
12 |
44 |
49,032 |
56,721 |
0,575 |
0,801 |
-5,032 |
11,437 |
13 |
52 |
49,696 |
58,093 |
0,814 |
0,884 |
2,304 |
4,430 |
14 |
64 |
62,288 |
59,393 |
0,960 |
1,069 |
1,712 |
2,675 |
15 |
77 |
73,578 |
61,195 |
1,213 |
1,243 |
3,422 |
4,444 |
16 |
47 |
49,962 |
61,298 |
0,880 |
0,780 |
-2,962 |
6,302 |