4001
.pdfНесколько замечаний о литературе
Легко заметить, что в предложенном пособии ничего не говорится о применении математики в экономике, и задачи и примеры не имеют экономического содержания. Поэтому в списке литературы приведены источники [1, 3 – 7, 11], естественно, не исчерпывающие доступную литературу по теме.
В последние годы в названии учебника по математике модно упоминать экономику – экономические вузы популярны, и это повышает шансы продать книгу. Однако в лучшем случае изложение общего курса в таких изданиях дополнено сведениями о производственных функциях и межотраслевом балансе.
На этом фоне выгодно отличается пособие [6], где действительно показано, насколько математика помогает экономисту в его проблемной области. При этом пособие охватывает практически весь курс математики и написано вполне понятно и последовательно.
Учебник [3], созданный ещё 30 лет назад, заслуживает внимания как один из самых надёжных и проверенных временем, а [7] есть почти в любой вузовской библиотеке (и весьма популярен в ХГАЭП), хотя и уступает [6] в освещении экономических приложений.
Разумеется, стоит обратить внимание и на пособие [1], специально разработанное кафедрой МиММЭ для студентов Академии.
Тем же, кто хочет увидеть, что такое настоящая «математика в экономике», стоит хотя бы просмотреть учебник [4]. Для его изучения придётся освоить полный курс алгебры и математического анализа, но тогда действительно можно будет оценить всю сложность математического аппарата, применяемого в современных экономических исследованиях.
Классический курс математического анализа, со всеми определениями и доказательствами, можно найти в [2] и [12]. В рамках экономического вуза эти книги несколько избыточны, но ответят на любой вопрос программы 1-го курса. То же справедливо и для [9], по которому много лет учат в технических вузах.
Работы [8, 10, 13] созданы преподавателями кафедры, предназначены именно для студентов ХГАЭП (хотя не повредят никому) и полностью отвечают стандартам обучения и рабочим программам. Там же даны задания, в том числе более сложные, чем в данном пособии.
91
Библиографический список
1. Вербицкий В. А. Математика в экономике : учеб. пособие / В. А Вербицкий и
др. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1999. – 84 с. |
|
|
2. Ильин В. А. Основы математического анализа |
: в 2 ч. / В. А. Ильин, |
|
Э. Г. Позняк. – М. : Наука, Ч.1 – 1971, Ч.2 – 1993. |
|
|
3. Карасёв А. К. Курс высшей математики для |
экономических вузов |
/ |
А. К. Карасёв, З. М. Аксютина, Т. Н. Савельева. – М. : Высшая школа, 1982. |
|
|
4. Колемаев В. А. Математическая экономика : |
учебник для вузов |
/ |
В. А. Колемаев. – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2002. – 399 с. |
|
|
5. Красс М. С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. : Дело, 2011.
6. Красс М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. –
СПб. : Питер, 2007. – 464 с.
7. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов : учебник для вузов /
Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, |
М. Н. Фридман; под ред. проф. |
Н. Ш. Кремера – М. : ЮНИТИ, 2003. – 471 с. |
|
8. Мясников Е. А. Нелинейное и динамическое программирование : учеб. пособие / Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2011. – 140 с.
9. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Высшая школа, 1978. – 576 с.
10. Старкова Е. О. Математика. Производные : варианты контрольных заданий для студентов 1-го курса дневного отделения всех специальностей / сост. Е.О. Старкова, М.Ф. Тиунчик. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2004. – 20 с.
11. Солодовников А. С. Математика в экономике : учебник / А. С. Солодовников и др. – М. : Финансы и статистика, 1996. – 376 с.
12. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. – СПб. : 2001. – 464 с.
13. Щербатюк С. Ф. Введение в анализ : учеб. пособие / С. Ф. Щербатюк. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1998.
92
ОТВЕТЫ и УКАЗАНИЯ
Глава I
Указания к ЛФ3 (1-е число – координата на оси ОХ, 2-е число – координата на оси OY, отмечаем их и проводим прямую через полученные точки):
1) а) 1 и 1; |
б) 1 и –1; |
в) –1 и –1; |
г) –1 и 1; |
2) а) 2 и 2; |
б) 2 и –2; |
в) –2 и –2; |
г) –2 и 2; |
3) а) 2 и 4; |
б) 2 и –4; |
в) –2 и –4; |
г) –2 и 4; |
4) а) 4 и 2; |
б) 4 и –2; |
в) –4 и –2; |
г) –4 и 2; |
5) а) 3 и 2; |
б) 3 и –2; |
в) –3 и –2; г) –3 и 2 (не 2 и –3!); |
|
6) а) 8 и 6; |
б) 6 и 8; |
в) 8 и –6; |
г) 6 и –8. |
АЗ1. |
|
|
|
1) |
а) y |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
, y0 |
1; |
|
|
б) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
, y0 |
|
1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
3x |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3x |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
в) y e3x 1, y0 |
|
|
|
e 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
, y0 |
|
1 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
д) y ln 3x 1 x |
|
|
|
|
|
1 |
, y0 |
0 ; |
|
е) y |
|
|
3x 1 3 , y0 |
|
64 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
а) y |
3 |
|
|
|
|
|
2 x -4 , y0 |
1; |
|
б) y 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
5 , y0 |
4 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) y 3 |
6 |
|
|
|
|
x 1 , y0 |
9 ; |
|
|
г) y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
x 5 , y0 |
1 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
2x |
10 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
д) y |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
x 0 , y0 |
|
2 |
; |
|
|
е) y |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
, y0 |
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
10x |
|
|
2 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) (во всех примерах x |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) y |
|
4x2 |
|
|
|
4, y |
0 |
8 ; |
|
|
|
|
б) |
y |
|
2x2 |
2 , y |
0 |
|
|
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y |
0,6 |
0,8x2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) а) y |
1 |
|
|
4 x 0 , x0 |
5; |
|
б) y |
|
1 |
|
4 x 0 , y0 |
|
|
73 |
; в) |
y |
7 |
|
1 |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9x2 |
|
|
18x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
18 |
|
2 50x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5) а) y 3 x x 2 , y0 |
2 ; |
|
|
б) y |
|
x 1 x |
|
3 , y0 |
|
|
|
2 ; в) y |
|
|
|
2x 1 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) а) y x 5, x 3, y0 |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
б) y |
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
7 |
, x |
|
|
1 |
, y0 |
|
|
|
5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) y 3 2x, x 0, y0 |
1; |
|
|
|
|
|
|
г) y |
|
|
x 1 |
, x |
|
|
|
4, y0 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
д) y 3x |
11 |
, x |
1 |
, y0 |
11 |
; |
|
е) y x, x 3, y0 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 0,2 ;
0 , y0 3 ;
45 , y0 1 .
93
Глава II
ПР1. 1) а) 4;б) 3;
2)а) 0;б) 0;
3)а) 1;б) 9; ПР2. 1) а) 2/3;
2)а) –2;
3)а) 2;
4)а) 1/3;
5)а) 2;
в) 2; |
г) 3; |
д) 2; |
в) 0; |
г) 1; |
д) 1; |
в) 3; |
г) 1/16; |
д) 1/25. |
б) 3/4; |
|
|
в) –3; |
г) –3/2; |
||||||
б) –4; |
|
|
в) 2; |
г) 4; |
||||||
б) 5/3; |
|
|
в) –1/6; |
г) 3; |
||||||
б) –1/3; |
|
|
в) –9/4; |
г) 14/19; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
1 |
2 |
|
|
; |
в) |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1,5 |
|
2 |
|
|
0,5 |
|
д) –1/3;
д) 9/8; д) –2;
3 |
; г) |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
1 |
1,5 |
2 |
|
|
ПР5. 1) а) 0,5; |
б) –0,5; |
в) 4; |
|
г) –6; |
д) 0,5; |
|
|||||||
|
2) |
а) 3; |
б) 1/3; |
в) 1/12; |
г) 1/12; |
д) 1/3; |
|
||||||
|
3) |
а) 1,5; |
б) –3; |
в) 8; |
|
г) –4; |
д) 0,25; |
|
|||||
|
4) |
а) 1; |
б) 2; |
в) 2; |
|
г) 6; |
д) ∞. |
|
|||||
ПР6. 1) а) –1; |
б) 5/3; |
в) 5; |
|
г) 6/5; |
|
|
|||||||
|
2) |
а) –1/3; |
б) –2; |
в) 0; |
|
г) ∞; |
|
|
|||||
|
3) |
а) 7/3; |
б) 5; |
в) 1; |
|
г) 1/4; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
а) –2; |
б) –4; |
в) 0; |
|
г) 0,5 2 . |
|
|
|||||
ПР7. 1) а) 3/2; |
б) 4/3; |
в) –7/2; |
г) 0,001; |
д) 3; |
|
||||||||
|
2) |
а) 0; |
б) ∞; |
в) –7/2; |
г) ∞; |
д) 3; |
|
||||||
|
3) |
а) 0; |
б) 0; |
в) ∞; |
|
г) ∞; |
д) ∞. |
|
|||||
ПР8. 1) а) 3/2; |
б) ∞; |
в) 0; |
|
|
2) а) 0; |
б) ∞; |
в) ∞; |
||||||
|
3) |
а) 3000; |
б) ∞; |
в) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
ПР9. (в столбце слева – номер функции, в строке сверху – точка, |
|||||||||||||
|
в таблице – значение предела данной функции в указанной точке) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
–1 |
2 |
–2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–3/5 |
–1/2 |
|
–9/6 |
3/3 |
–19/5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–6/5 |
2/1 |
|
–16/3 |
4/15 |
32/7 |
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
–1/4 |
6/2 |
|
8/12 |
25/6 |
21/26 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
–1/7 |
–2/15 |
|
4/5 |
1/29 |
13/9 |
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР10. 1) а) 3/4; |
б) 2; |
в) 3/8; |
г) 0; |
|
|
|||
2) |
а) 0; |
б) 0; |
в) –∞; |
г) ∞; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
а) 0,5 3 ; |
б) –1; |
в) 4; |
г) 4/5; |
|
|
||
4) |
а) 1/10; |
б) 0; |
в) 1; |
г) 2. |
|
|
||
ПР11. 1) а) 1/4; |
б) 1/2; |
в) 1/4; |
г) 4; |
|
|
|||
2) |
а) 1/8; |
б) 1/3; |
в) 2/15 г) –1/6; |
|
|
|||
3) |
а) 1/32; |
б) 1/8; |
в) 1/6; |
г) –12; |
|
|
||
4) |
а) 1; |
б) –1/4; |
в) 1/4; |
г) 2; |
д) –3/4; |
е) 3/4. |
94
ПР12. 1) а) 6/4; |
б) 1/2; |
|
|
в) 2/3; |
|
г) –2/3; |
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) а) 4; |
б) |
|
2 ; |
в) –2/3; |
|
г) –1/2; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) а) 3; |
б) 3/2; |
|
|
в) 3 |
3 ; |
|
|
|
|
|
||||
|
4) а) –3; |
б) –2; |
|
|
в) –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПР13. 1) а) 0; |
б) 2/π; |
|
|
в) 0,5; |
|
г) 0,5; |
д) 0,5 2 ; |
||||||||
|
2) |
а) – д) все равны ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ПР14. |
1) а) 2/3; |
б) 5/3; |
|
|
в) 3/4; |
|
г) 2/3; |
д) 3/4; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) |
а) 4; |
б) 9/4; |
|
|
в) 0,5; |
|
г) 2 ; |
д) 1. |
||||||
ПР15. |
1) а) 0,5; |
б) 2/9; |
|
|
в) 4/9; |
|
г) –16/3; |
|
|
|
|||||
|
2) |
а) 1/3; |
б) ∞; |
|
|
в) 0; |
|
г) 1/9. |
|
|
|
||||
ПР16. |
1) |
а) 1; |
б) 81/256; |
в) 3; |
|
г) 1; |
|
|
|
||||||
|
2) |
а) 1; |
б) 9/4; |
|
|
в) 49/4; |
|
г) 64/9. |
|
|
|
||||
ПР17. |
1) а) 0; |
б) +∞; |
|
|
в) 0; |
|
г) +∞; |
|
|
|
|
2) в примере б) +∞ при x |
|
|
и 0 при x |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
в остальных 0 при x |
|
и +∞ при x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
В ПР18–ПР20 в ответах указаны степени числа е. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ПР18. 1) а) –2; |
б) –2/3; |
в) 2/3; |
г) –1/6; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2) |
а) –2; |
б) 3/2; |
в) –3/4; |
г) –2/3; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3) |
а) 5; |
б) 1; |
в) –1; |
|
|
г) 2; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4) |
а) 3/2; |
б) 1; |
в) –1/8; |
г) –1/6; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5) |
а) –3/4; |
б) –4/5; |
в) –1/2; |
г) 1/8. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПР19. 1) а) 2; |
б) –6; |
в) –3; |
|
|
г) 3; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2) |
а) 1/2; |
б) 2/3; |
в) –3/2; |
г) 2/3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПР20. 1) а) 1; |
б) –1; |
в) –1; |
|
|
г) 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2) |
а) 2; |
б) –3/7; |
в) 4/3; |
г) 4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Глава III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ОД11 (Правильные ответы) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
f |
|
x |
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 x |
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
4 5x |
3 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
4 5x6 |
3 3 5 6x5 |
|
4 |
|
5 8x3 |
2x 4 8 3x2 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
3 sin x |
5 2 cos x |
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
21x2 5 |
|
8 |
|
3 2sin x |
|
|
e |
x |
2 |
2 cos x |
e |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
7x3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
9 |
4e4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
4e 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11 |
2 4e4 x |
|
|
|
|
3 1 e x |
|
|
5 3e3x |
12 |
e4 x3 5 x 6 4 3x2 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
esin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
e2sin7 x 2 cos7x 7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15 |
10cos 6 x |
|
|
|
|
|
|
sin 6x |
|
|
|
|
6 ln10 |
16 |
5sin4 x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
8cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
5sin4 8x cos8x 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19 |
cos2x4 8x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
3sin2 2x4 |
cos2x4 8x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21 |
3 |
|
2 cos1 5x7 |
sin 5x7 35x6 |
22 |
cosln x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23 |
|
|
sin ln x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
1 |
|
|
|
|
4 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
1 |
|
|
|
cos4x 4 |
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3cos6x 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
3sin6x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
coslog2 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ln 2 |
|
|
|
|
|
|
cos x ln 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
31 |
3ln2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
3ln2 5x2 |
4x |
|
10x 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
ln x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4x |
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
37 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 4x |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 7x |
9 |
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
x3 |
2 |
10x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
41 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
44 |
earccos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
5x |
2 |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 x |
2 |
|
|
46 |
5arctg4 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
47 |
5arctg4 2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
48 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4x2 |
|
|
|
arctg2 x |
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
49 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2x 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
arctg 2 |
3sin 2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
arctg |
3 |
6x |
1 |
|
|
|
36x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 9 sin2 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
ОД13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) y |
|
3x 2 |
|
2x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
2) y 6x2 |
|
6x 7 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
y |
|
0,6x2 |
2 x |
7 |
; |
|
|
|
|
|
|
4) |
y |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
33 x2 |
|
44 x3 |
|
|||||
5) |
y |
|
1 |
|
|
5 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
6) y |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
; |
|
|||
|
x |
|
33 x2 |
44 x3 |
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
123 x2 |
|
204 x3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7) y |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
8) |
y |
|
2 |
|
|
6 |
|
21 |
; |
|
|
|
|||
|
x2 |
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
x4 |
|
|
|
|
||||||||
9) |
y |
|
1 |
|
|
6 |
21 |
; |
|
|
|
|
|
10) |
y |
|
2 cos x |
3sin x ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
5x2 |
7x3 |
8x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) |
y |
5cos5x |
6sin6x ; |
|
|
|
|
|
12) |
y |
|
10cos5x |
18sin6x ; |
|
|||||||||||||||
13) |
y |
3sin x cos x 2 |
cos x ; |
|
|
|
14) |
y |
|
12x3 cos x4 |
|
5x4 sin x5 ; |
|||||||||||||||||
15) |
y |
24x3 sin x4 cos x4 |
15x4 cos2 x5 |
sin x5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16) |
y |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
; |
|
|
17) y |
|
5x |
|
|
|
|
|
9x2 |
|
; |
||||
2 5x 3 |
44 2 3x 3 |
|
|
|
5x2 |
|
|
|
44 2 3x3 3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
5x |
4 |
2 |
|
3x |
3 |
9x |
2 |
5x |
2 |
3 ; |
|
|
|
|
|
6x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
19) |
y |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
5x2 |
3 |
|
44 2 3x3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20) |
y |
24x2 arctg3 x3 |
; |
|
|
|
|
|
|
21) |
y |
|
4x arctg x3 |
|
|
6x4 |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x6 |
|
|
||
22) |
y |
10x2 |
|
4x |
15 e5 x ; |
|
|
|
|
|
23) y |
|
e5x |
|
10x2 |
2x |
15 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
24) |
y |
e5sin x |
|
2x |
10x2 |
|
15 cos x ; |
|
25) |
y |
|
e x |
|
|
1 cos x |
sin x |
; |
||||||||||||
|
|
|
2x2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
26) |
y |
6 cos3x e 2sin3x ; |
|
|
|
|
|
|
27) |
y |
|
3cos3x e 2 |
|
sin3x ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||
28) |
y |
6x2 |
|
; |
|
|
|
29) y |
24x3 ln2 |
2x4 |
5 |
; |
30) |
|
y |
|
tg 2x3 |
5 . |
|
||||||||||
2x3 |
|
5 |
|
|
|
2x4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЧП4. (во всех примерах x |
|
|
0,25/ a2 ; y |
|
|
0,25/ b2 ; f |
|
0,25 |
a b |
|
, |
|||||||
max |
max |
max |
ab |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
указаны соответственно xmax ; ymax ; |
fmax ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) 1/16; 1/36; 5/24; |
|
|
б) 1/36; |
1/16; |
5/24; |
|
|
в) 1/16; 1/100; 7/40; |
|
|||||||||
г) 1/100; |
1/64; 9/80; |
д) 1/144; 1/4; 7/24; |
|
|
е) 1/4; 1/16; 3/8; |
|
||||||||||||
ж) при x |
xôèêñ |
будет ymax |
|
|
|
|
|
|
1/16 ; |
|
|
|
|
|
||||
|
1/ 64, |
fmax |
|
xôèêñ |
|
|
|
|
|
|||||||||
при y |
yôèêñ |
функция неограниченно растёт; |
|
|
|
|
|
|
97
з) при y |
yôèêñ |
будет xmax |
|
|
1/ 36, fmax |
|
|
yôèêñ |
|
1/12 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
при x |
xôèêñ |
функция неограниченно растёт; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ЧП5. (во всех примерах x |
max |
0,25a |
2 ; y |
max |
0,25b2 ; |
f |
max |
x |
y |
|
0,25 a2 |
b2 |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
указаны соответственно xmax ; |
ymax ; |
fmax ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) 1; 9/4; 13/4; |
|
б) 9/4; |
1; |
13/4; |
|
|
в) 1; 25/4; |
29/4; |
|
г) 25/4; 4; 41/4; |
|
|||||||||||||||||||||||||
д) 9; 1/4; 37/4; |
|
е) 1/4; |
|
1; |
5/4; |
|
|
ж) 0; 4; 4; |
|
|
|
|
з) 9/4; 0; 9/4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ЧП6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) а–б) fmin 0;0 |
0 ; в–г) нет экстремума в M 0;0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
д) |
fmin |
c; c |
0 при любом c; |
|
е) |
|
fmax |
c; c |
0 |
при любом c; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) |
а) |
fmax |
2; |
1 |
18; f min |
2;1 |
|
18, нет экстремума в M |
2;1 |
и N 2; 1 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
б) |
fmax |
1;2 |
18; fmin 1; |
2 |
|
18 , нет экстремума в M |
1; 2 |
|
и N 1;2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
в) |
fmax |
2; |
1 |
18; fmin |
|
|
2;1 |
|
18 , нет экстремума в M |
2; 1 и N 2;1 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
г) |
fmax |
1;1 |
6; fmin 1; |
|
1 |
6 , нет экстремума в M |
1; |
1 |
и N 1;1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
д) нет экстремума в M |
|
2;0 |
и N 2;0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
е) нет стационарных точек, возрастает от |
|
|
до |
|
по каждой переменной; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) |
а) |
fmax |
0; |
1 |
2; fmin |
4;1 |
|
34 , нет экстремума в M 0;1 |
и N 4; 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
б) |
fmax |
4; |
1 |
34; fmin |
0;1 |
|
2 , нет экстремума в M 0; 1 и N |
|
4;1 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
в) fmax 0;1 |
|
2; fmin |
4; |
1 |
|
34 , нет экстремума в M 0; |
1 |
и N 4;1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
г) нет стационарных точек, убывает по y при любом фиксированном x; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
fmax |
0; |
1 |
4; fmin |
2;1 |
|
6 , нет экстремума в M 0;1 |
и N 2; 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
е) fmax 2;1 |
|
10; fmin |
|
0; |
|
1 |
2 , нет экстремума в M 0;1 |
и N 2; 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4) |
а) |
fmax |
0; |
4 |
32; fmin |
2;0 |
|
4 , нет экстремума в M 0;0 и N 2; |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
б) fmax 0;0 |
0; fmin |
8;2 |
|
|
316 , нет экстремума в M 0;2 |
и N 8;0 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) fmax 0;0 |
|
0; fmin |
4; |
|
2 |
|
36 , нет экстремума в M 0; |
2 |
и N 4;0 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) необходимо дополнительное исследование в точках M 0;0 |
|
и N |
|
2;0 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
а) |
f |
min |
1;1 |
|
1; |
б) |
|
f |
max |
1;1 |
1; |
|
в) f |
max |
2;2 |
|
8 ; |
|
г) |
f |
min |
3 |
4; 3 |
2 |
|
4 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
также во всех примерах а–г) нет экстремума в M 0;0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6) |
а) |
fmin 1;1 |
|
6 ; |
|
|
|
|
|
б) нет экстремума в M 1; |
1 ; |
|
|
|
|
в) |
fmax 1;1 |
9 ; |
||||||||||||||||||
|
г) |
fmin |
2;1 |
|
19, fmin |
|
2;1 |
|
19 , нет экстремума в M 0;1 ; |
|
|
д) |
fmin |
0;1 |
3 ; |
|||||||||||||||||||||
|
е) fmax 0; 1 |
3 , нет экстремума в M |
2; |
1 |
и N 2; |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ж) fmax 0;0 |
0; fmin |
|
|
2; |
1 |
|
17 , нет экстремума в |
0; |
1 |
и |
|
2;0 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
з) |
fmax |
1;0 |
2; fmin |
0; |
|
1 |
|
1 , нет экстремума в |
0;0 и |
1; |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
а) |
fmin |
3;1 |
|
28 , в M 3;1 |
– дополнительное исследование (нет экстремума); |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) fmax 3; 1 |
|
187 , в M 3;1 |
нет экстремума, в |
0; |
1 – дополнительное исследо- |
||||||||||||||||||||||||||||||
вание (нет экстремума); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) fmax 0;2 |
4, fmin |
|
|
2;0 |
|
16, , в M 0;0 |
, N 2;0 |
и P 2;0 |
нет экстремума; |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
fmax |
0; |
1 |
2, fmin |
|
1;1 |
|
3, , в M 0;1 , |
N |
1; |
1 |
|
и P 1; |
1 |
нет экстремума. |
98
Содержание
Предисловие …..………………………………………………….………….…….... 3 I. ЗАДАЧИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ………………………………… 5 §1. Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола ………………………….... 5 §2. Элементарные преобразования графиков …….………………………….……. 9 §3. Аналитическое задание функций …………………………………………….. 13 II. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ …………………………………………….. 16
§4. Пределы функций ……………………………………………………………… 16 §5. Непрерывность функций ……………………………………………………… 33
III. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ …………………………53 §6. Основы дифференцирования функций ……………….……………………… 53 §7. Логарифмическое дифференцирование ……………………………………… 69 §8. Правило Лопиталя – Бернулли ……………………………………………….. 72 §9. Исследование функций и построение графиков …………………………….. 75 IV. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ …………………………….…….…….. 82 §10. Основы дифференцирования функции двух переменных ………………… 82 Несколько замечаний о литературе ……………………………………………… 91 Библиографический список ……………………………………….……………… 92
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ………………………………………….……………… 93 Глава I ………………………………………….…………………………… 93 Глава II ………………………………………….……………………………94 Глава III ………………………………………….………………………….. 95 Глава IV ………………………………………….………………………….. 97
99
Учебное издание
Евгений Анатольевич Мясников
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.
Часть 1
Учебное пособие
Редактор Г.С. Одинцова
Подписано к печати |
2012 г. |
Формат 60х84/16. |
Бумага писчая. |
Печать цифровая. |
Усл.печ.л. 5,8. |
Уч.-изд. л. 4,2. |
Тираж 100 экз. |
Заказ №_______________________________________________________
680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, РИЦ ХГАЭП
100