книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения
..pdfМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РСФСР
КУЙБЫШЕВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ нм. В. В. КУЙБЫШЕВА
В. П. Степанов, Ю. В. Слепов, С. Ф. Миронов
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В РАСЧЕТАХ СИСТЕМ
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом института в качестве конспекта лекций
КУЙБЫШЕБ 1986 АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
УДК 621.311.153.001.57
Степанов В. П., Слепов Ю. В., Миронов С. Ф. Применение теории вероятностей в расчетах систем электроснабжения: Конспект лекций. — Куйбышев: КПтИ, 1986. — 48 с.
Изложены основные понятия и теоремы теории вероятно стей в практическом применении к задачам электроснабжения. Основное внимание уделено использованию статических моде лей теории вероятностен — моделям «случайное событие» и «случайные величины».
Конспект лекцш! предназначен для студентов заочного фа культета специальности 0303, изучающих курс «Математи ческие задачи электроэнергетики».
Работа подготовлена кафедрой «Электроснабжение про мышленных предприятий, городов и сельского хозяйства» Куйбышевского политехнического института.
Р е ц е н з е н т Лактюшнн |
В. А., канд. техн. наук, |
Кашина А. |
Л. |
© |
Куйбышевский ордена Трудового Красного Знамени политех |
нический институт им, В. Д. Куйбышева |
ВВЕДЕНИЕ
Вероятностные модели все шире входят в инженерную практику расчетов систем электроснабжения (СЭС) промыш ленных предприятии [1, 2]. Это объясняется тем, что случай ным явлениям присуши объективно существующие закономер ности. Теория .вероятностен оперирует характеристиками, от ражающими эти закономерности.
В конспекте лекции рассматриваются две основные моде ли теории вероятностен — «случайное событие» и «случайные величины» — в практическом приложении к важнейшим за дачам электроснабжения: к определению расчетных харак теристик графиков электрических нагрузок и мощности ком
пенсирующих |
устройств, к оценке качества электроэнергии |
н надежности |
схем СЭС. |
Структура лекции обусловлена особенностями самостоя тельной подготовки студепта-заочника и учебным планом спе циальности 0303. Вначале излагаются основные понятия и теоремы, затем практическое .применение их к задачам элект роснабжения. Примеры в лекциях подобраны таким образом, чтобы пояснить методические приемы решения вероятностных задач электроснабжения.
Под системой' электроснабжения (СЭС) понимается сово купность устройств, предназначенных для выработки, преоб разования, передачи и распределения электроэнергии по по требителям. К таким устройствам относятся генераторы (Г), трансформаторы (Т), линии электропередач (ЛЭП) и другие элементы СЭС.
Во время работы элементы СЭС электрически связаны друг с другом (рис. 1). Генераторы (Г|. IV Г3), установлен ные на электрических станциях, вырабатывают электроэнер гию напряжением 6 (10) кВ. Передача большой мощности таким напряжением на дальние расстояния неэкономична ввиду значительных потерь как самой мощности ДР-. так и электроэнергии ДЭ в ЛЭП. Для уменьшения ДЭ напряжение повышают до величины 35—220 кВ. С этой целью устанавли вают повышающие трансформаторы Т-1. На повышенном на пряжении электроэнергия поступает к промышленному пред-
3
|
приятию. |
Электроприем* |
|||||
|
инки |
(ЭП) |
промышлен |
||||
|
ного предприятия |
рассчи |
|||||
|
таны |
на |
меньшее |
номи |
|||
|
нальное |
|
|
напряжение |
|||
|
(Unoм), |
поэтому на |
под |
||||
|
станциях предприятий ус |
||||||
|
танавливают Т-2, пони |
||||||
|
жающий |
напряжение |
от |
||||
|
35—220 до 20, 10 (6) кВ. |
||||||
|
На этом |
напряжении |
ра |
||||
|
ботают мощные ЭП—Д|, |
||||||
|
Д2, электродвигатели |
на |
|||||
|
сосов, |
компрессоров, |
ду |
||||
|
говые |
|
электросталепла- |
||||
|
внльиые |
|
печи |
(ДСП) |
|||
|
п т. д. Массовые |
ЭП — |
|||||
|
сварочные |
машины |
(Ct, |
||||
Дз Дн ПЬ ПСг |
С2), |
|
электродвигатели |
||||
С, Сг |
приводов |
|
металлорежу |
||||
щих станков |
(Дз, ДД, пе |
||||||
Рис. 1 |
чи сопротивления |
(IICi, |
|||||
|
ПС2) — имеют небольшую |
номинальную мощность РцОМ и, соответственно, меньшее £/иом. Для питания массовых ЭП устанавливают цеховые трансфор маторы Т-3, понижающие напряжение с 20, 10 (6) до 0,38 или 0,66 кВ.
Рациональность сооружения и эксплуатации СЭС оцени вается подряду критериев, важнейшими из которых являются приведенные годовые затраты 3 на СЭС (стоимость элемен тов СЭС и потерь электроэнергии), качество электрической энергии, надежность питания ЭП.
Величина 3 определяется значениями активной (Р ) и ре активной (Q) мощностей, которые будут протекать по эле ментам СЭС. Изменения Р и Q происходят случайным обра зом, что обусловлено отсутствием детерминированных связей между работающими ЭП. Поэтому возникают задачи иссле дования и расчета Р и Q в диапазоне их изменения, расчета величин, характеризующих разброс Р и Q, определения рас четных значений Рр и Qp, по которым следует производить выбор сечения проводников, мощность трансформаторов, ком пенсирующих устройств.
Так как Р и Q изменяются случайным образом, то и изме нения основных показателей качества электроэнергии (ПКЭ) — отклонения (Vt), колебания (бV), иесинусоидаль-
•1
Иость и несимметрии напряжения — также случайны. Несоот ветствие ПКЭ ГОСТ приводит к снижению производительно сти механизмов, срока службы элементов СЭС и качества вы пускаемой продукции. Для оценки соответствия ПКЭ ГОСТ и выбора способов и технических средств для их нормализации необходимо произвести исследования напряжения в реальном диапазоне его изменения.
Надежность работы отдельного элемента или всей СЭС определяется множеством случайных факторов, при этом от каз отдельного элемента или всей СЭС ведет к перерыву в электроснабжении ЭП. Последнее может привести к гибели (травматизму) обслуживающего персонала, к недовыпуску продукции или к браку. В инженерной практике указанные выше задачи решаются с применением двух основных моде лей теории вероятностей — «случайное событие» и «случай ная величина». Практическое значение вероятностных моде лей заключается в том, что они позволяют по известным ха рактеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики сложных явлений п избежать необоснованно завышенных расчетных величии и показателей.
1. МОДЕЛЬ «СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ»
1.1. О Б Щ И Е П О Л О Ж Е Н И Я
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Случайность отража ет объективно существующую реальность, которая возника ет под воздействием бесчисленного множества взаимосвязан ных факторов, не поддающихся учету. Под случайным явле
нием |
в теории вероятностен понимается такое явление, кото |
|||||
рое |
при |
неоднократном |
|
|||
воспроизведении одного и |
|
|||||
того же |
опыта |
происхо |
|
|||
дит каждый раз по иному |
|
|||||
[3]. В СЭС случайные яв |
|
|||||
ления — это, как |
правило, |
|
||||
процессы |
изменения |
ве |
|
|||
личин |
/(/), U(t), Р (/), |
|
||||
Q (/), |
|
происходящие |
во |
|
||
времени. Всякое осущест |
|
|||||
вление |
определенных |
ус |
|
|||
ловий п действий, при ко |
|
|||||
торых |
наблюдается |
нзу- |
Р и с. 2 |
5
|
чаемое случайное явле |
|||||
|
ние, |
называется |
опытом. |
|||
|
Примером |
опыта |
являет |
|||
|
ся фиксация по счетчикам |
|||||
|
активной |
электроэнергии |
||||
|
через |
равные |
промежут |
|||
|
ки времени 0 |
дискретных |
||||
|
значений |
электрической |
||||
|
нагрузки |
Р |
в |
наиболее |
||
|
(наименее) |
загруженную |
||||
|
смену |
|
промышленного |
|||
|
предприятия |
|
в |
период |
||
летних (зимних) |
рабочих суток (рис. |
2). |
|
Результа |
ты опытов — это изображенные на рис. 2 и 3 в качестве при мера две фиксированные последовательности дискретных зиа: ченнй нагрузки Р группы работающих ЭП (ступенчатые кри вые 1 и 2) и непрерывные регистрации U{i) на шинах траисформатораг питающего группу ЭП (кривые 1, 2. 3, 4, 5 на рнс. 3), соответственно. Характеристикой результатов опытов являются события. Для количественной оценки появления со бытий и сравнения событий между собой в теории вероятно стей вводятся следующие понятия.
1. Вероятность (е) — число, показывающее степень воз можности появления какого-либо события А в результате опытов.
2. Достоверное событие — событие, которое в результа те опытов обязательно появится. Вероятность появления та кого события равна единице:
|
|
е(А) = 1 |
|
|
3. |
Невозможное |
событие — событие, которое в результа |
||
те опытов никогда не появится. Вероятность появления такого |
||||
события равна -нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
е(А) =0. |
|
|
|
Примером достоверно |
||
|
|
го события является |
на |
|
|
|
личие |
напряжения |
(U2) |
|
|
па шинах цехового транс |
||
|
|
форматора при нормаль |
||
|
|
но работающей СЭС, при |
||
|
|
нагрузка мером |
невозможного |
со |
|
Р и с. 4 |
бытия |
— отсутствие |
на |
6
пряжения (U2) на шинах цехового трансформатора при нор мально работающей СЭС (рис. 4).
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИИ
Под случайным событием (СС) понимается такое событие, которое в результате опытов может появиться или не появить ся. Вероятность появления (не появления) такого события заключена между нулем и единицей:
0<е(А ) <1.
В теории вероятностей СС классифицируются следующим образом.
1.Несовместные события. События Ai и Л2 называются несовместными, если в результате опыта они не могут по явиться вместе.
2.Совместные события. События Ai н А2 называются со вместными, если в результате опыта они могут появиться вместе.
3.Независимые события. Событие А| называется незави симым от события А2, если вероятность события А) в резуль
тате опыта е(А\) не зависит от того, произошло событие А2 или нет.
4. Зависимые события. Событие Ai называется зависимым от события А2 если вероятность события А| в результате опыта e(Ai) меняется в зависимости от того, произошли событие А2-шш нет.
5. Равновозмооюные события. События к\ и А2 называются равповозможпыми, если вероятности появления их в резуль тате опыта одинакова:
е(А ,)= е(А 2),
6. Противоположные события. Два события А| и А2 назы ваются противоположными, если они являются несовместны ми н образуют полную группу событий.
Полная группа событий — важнейшее понятие теории ве
роятностей. Случайные события Аь А2, Аз, |
, А„„ |
А„ об |
разуют полную группу событий, если в |
результате |
опыта |
обязательно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма вероятностей СС, составляющих полную группу, раина едини
це: |
(1.1) |
е(А) = 1. |
|
Сумма вероятностей противоположных событий А( |
и Д2 |
также равна единице: |
|
e(Al)+ e (A 2) = 1. |
(1.2) |
i
Практическое значение условия полной группы событий заключается в том, что это условие позволяет осуществить проверку правильности решения задач и значительно сокра тить время на их решение.
Непосредственный подсчет вероятности е появления ожи даемого случайного события А в результате опыта (статисти ческая вероятность) осуществляется по выражению-
е(А) = |
(1.3) |
где m — количество ожидаемых случайных событий, наблю даемых в результате опыта; п — общее количество случайных событий, наблюдаемых в результате опыта.
|
|
П р и м е р |
1. Производился |
|||
|
|
опыт по измерению электриче |
||||
|
|
ской нагрузки ЭП. В резуль |
||||
|
|
тате получен |
индивидуальный |
|||
|
|
график нагрузки, |
представлен |
|||
|
|
ный на рис. 5. Работа ЭП |
за |
|||
|
|
время включения /В| — собы |
||||
|
|
тие Ai, а не работа ЭП за вре |
||||
|
|
мя паузы /oi |
— |
событие |
|
А». |
|
|
События А| и А2 являются не |
||||
|
|
совместными |
событиями. |
Это |
||
|
|
объясняется тем, что по физи |
||||
|
|
ческому смыслу ЭП не может |
||||
|
|
одновременно |
находиться |
в |
||
двух состояниях: |
рабочем |
и нерабочем. |
|
|
|
|
П р и м е р 2. |
На рис. 4 |
изображен участок |
СЭС. |
Нор |
мальная работа любого элемента СЭС (выключателя (В), ка бельной липни (Л) Гтрансформатора (Т)) — события Аь а не работа (отказ) соответствующих элементов СЭС в результа те аварийного или преднамеренного отключения — событн'е
А2. События |
Aj и А2 |
являются несовместными |
событиями по |
физическому смыслу |
примера. |
рис. 4, отказы |
|
П р и м е р |
3. Для |
схемы, изображенной на |
выключателя н линии, выключателя и трансформатора, линии и трансформатора, выключателя, линии, трансформатора (со бытия А2в п А2л; А2в и А2т; А2л и А2т; А2и, А2л и А 2т соответст венно) являются совместными событиями. Это объясняется тем, что нормальная работа участка СЭС может нарушиться не только в результате отказа какого-либо одного элемента, но и двух или трех элементов одновременно.
8
П р и м е р |
4. От шин силового пункта |
IP набе/ч> |
|||||||
(рис. 6) получают питание 4 ЭП. Собы |
|||||||||
|
|
||||||||
тия А12(А22), |
А|3(А2з), А14(А24) (совпа |
|
СП |
||||||
дения времени включения U и |
пауз /о |
|
|||||||
2х, 3х, 4х ЭП |
соответственно) |
являются |
|
|
|||||
совместными |
событиями. |
В |
условиях |
|
© © " ( О ) |
||||
примера нет основании полагать, что не |
|
||||||||
|
j/И зпг зпз зт |
||||||||
совпадут участки |
/в (рис. 7) |
каждого ЭП |
|
Рис. 6 |
|||||
при их одновременной работе. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
П р и м е р |
5. |
Для |
графика |
нагрузки ЭП, |
изображенного |
||||
на рис. 5, определим |
вероятность |
появления события Ai |
|||||||
(работы ЭП) |
за |
время |
цикла /ц. За |
время (ц |
(наблюдения) |
появилось два события — А| и А2. Событие Ai — ожидаемое, тогда согласно выражению (1.3) вероятность появления со бытия Aj
е(А|) = —\— = 0,5.
Очевидно, вероятность появления события А2 также равна 0,5. По смыслу события At и А2 являются несовместными, противоположными, равновозможнымн и образуют полную группу событий:
2 <?(А,) =0,5 + 0,5=1. /-=i
В практических расчетах выражение (1.3) для подсчета вероятностей появления ожидаемого события применяется редко, так как в большинстве аадач электроснабжения СС нс являются равновозможными. Поэтому используется геометри ческая вероятность: отношение меры области, в которую мо
жет |
попасть точка, |
к |
мере |
всей |
рассматриваемой |
области. |
|||||||
Проиллюстрируем |
последнее па примере. |
|
Для |
индиви |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 6. |
|||||||
& |
|
|
|
|
дуального |
графика |
нагрузки |
||||||
* |
|
|
|
|
ЭП, |
изображенного на |
рис. 7, |
||||||
о |
|
|
|
|
определить вероятность |
вклю |
|||||||
* |
|
|
|
|
|||||||||
а |
|
|
|
|
чения и отключения ЭП. Мера |
||||||||
«V» |
|
|
|
|
всей |
|
рассматриваемой |
|
обла- |
||||
сз |
|
|
|
|
|
|
|||||||
* |
в |
10 |
|
|
стн |
— |
длительность |
|
цикла |
||||
|
« |
и is |
|
||||||||||
|
t,MK4/u= i o |
мни (отрезок |
на |
оси |
|||||||||
|
* Ьв |
|
|
|
времени |
/). Мерой |
области, |
||||||
|
Ти |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
соответствующей |
ожидаем ым |
||||||||
|
Р и с. 7 |
|
|
событиям — включению и от |
|||||||||
мя |
включении |
/„ и |
|
|
ключению |
ЭП, |
является |
вре |
|||||
отключения |
/„ |
соответственно. |
Искомые |
вероятности определяются соотношениями
У
£’R= |
tв |
__ |
__ 7 |
—0,7; e«= |
=0,3, |
|
/ц |
~ |
10 |
|
|
которые называются коэффициентами включения Кв и отклю чения Ко соответственно. Включенное и отключенное состоя ния ЭП — события несовместные и противоположные, поэто му
2
У] е,-= 0,3-1-0,/ = 1.
/=1 |
|
Использование выражения (1.3) |
для отыскания К„ и Ко дало |
бы следующий результат: |
|
ея = Кв = 0,5; |
<?«=Ко = 0,5. |
Это привело бы к ошибке, гак как включенное и отключенное состояния ЭП — события неравновозможные (КвЭ^Ко; 0,3=т^
ф0,7).
П р и м е р |
7 |
Включение |
1-го ЭП |
(рис. 6) — событие Аь |
не зависимое |
от |
события А2 |
(Аз или |
Л4) — включения 2-го |
(3-го или 4-го) ЭП, так как вероятность включения 1-го ЭП
е(А,) = - ^ - = К в, ‘и
определяется технологией производственного процесса и не зависит от включения 2-го (3-го или 4-го) ЭП. Последнее справедливо также для событий отключения ЭП. Исключение составляют ЭП автоматизированных линий, поточных и ро ботизированных производств.
П р и м е р 8. Для графика U(i), изображенного на рис. 8, определить вероятность события, заключающегося в появле
нии |
U выше указанного |
уровня. За |
время |
|
наблюдения Т„ = |
||
= 12 ч встретилось два |
превышения U над указанным уров |
||||||
нем |
длительностью /2-И4 = 3 + 2 = 5 ч. Искомая вероятность |
||||||
представляет |
относительную суммарную |
продолжительность |
|||||
превышения |
£Л+: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 и |
|
3-1-2 |
|
|
|
e(Uy+) |
/'=»1 |
|
= 0,416. |
|||
|
Т„ |
Ти |
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
Вероятность события, заключающегося в появлении U ниже указанного уровня, также представляет собой относительную суммарную продолжительность напряжения Uy-, но ниже указанного уровня:
з |
|
|
|
2 U |
|
|
|
e(Uy. ) = /=I |
Л + ^з+ /.■> |
2+3-1-2 |
= 0,584, |
Тв |
Тн |
12 |
|
10