книги / Применение частотных преобразований в теории цепей
..pdfП. А. ПОПОВ
ПРИМЕНЕНИЕ
ЧАСТОТНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1986
П58 УДК 621.314.26.011.7
Р е ц е н з е н т доктор техн. наук Л. В. Данилов
Попов П. А.
П58 Применение частотных преобразований в теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1986.—136 с.; ил.
|
Рассмотрена современная теория частотного преобразования |
||
|
линейных цепей из элементов трех видов (Л, Ь и О |
с сосредоточенными |
|
|
параметрами. Главное внимание уделено вопросам ее практического |
||
|
применения при решении' задач анализа, аппроксимации |
и ‘синтеза |
|
|
селективных цепей в устройствах электроники, энергетики, электро |
||
|
связи и акустики. Приведены пример^ расчетов. |
также |
преподава |
|
Рассчитана на инженеров-электриков, а |
||
|
телей и студентов вузов соответствующего профиля. |
|
|
П |
2302010000-364 49-85 |
ББК 31.211 |
|
|
051(01)-86 |
|
|
© Энергоатомиздат, 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Частотные преобразования в теории цепей — это совокупность расчетных методов и приемов, основанных на замене комплексного переменного р и частотной переменной со (в аналитических выражениях входных и передаточных схемных функций) некоторы ми функциями этих же переменных: (р) или /0>(ш). Такой прием'позволяет при минимальном объеме вычислительной работы решать разнообразные,, зачастую весьма сложные задачи анализа, аппроксимации и синтеза линейных цепей.
Основы теории частотных преобразований разработаны в начале 30-х годов [30]. Однако ее систематическое изложение, выполнен ное на инженерном уровне, до настоящего времени отсутствует, за исключением случаев преобразования схемы фильтра нижних частот, составленной из реактивных элементов, в схему фильтра верхних частот или полосового, составленную из таких же элемен тов.
Данная книга призвана в определенной степени заполнить существующий пробел.
В качестве теоретической основы изложения материала в книге приняты известные из [211 закономерности схемного преобразова ния, называемые в дальнейшем теоремами отображения. Эти теоремы сформулированы применительно к случаю частотного преобразования схемных функций и схем из элементов трех видов (сопротивления /?, индуктивности Ь и емкости С). Они не только включают в себя в качестве следствия все ранее известные (и разработанные независимо друг от друга) приемы частотного пре образования схемных функций и схем из элементов только двух видов (/.С, К.С или /?/,), но и позволяют решать новые возникаю щие задачи или, что не менее важно, выносить обоснованное за ключение о принципиальной невозможности их решения в рамках теории линейных цепей с сосредоточенными параметрами.
Читателю, который желает ознакомиться с сущностью метода, чтобы в 'дальнейшем сознательно и творчески применять его на практике, рекомендуется полностью прочитать гл. 1 и 3.
Преобразования, рассмотренные в гл. 2 и 4, служат примера ми применения общих методов и вместе с тем имеют самостоятель ное значение, поскольку решают конкретные задачи расчета цепей. Каждый параграф этих глав содержит законченное изложение вопроса й может быть прочитан независимо от остальных. То же относится и к гл. 5, в которой рассмотрено применение частотных преобразований при решении некоторых задач аппроксимации схемных функций.
Параграфы 4.2 и 5.4 написаны*совместно с А. В. Чебаковой, §5.3 — совместно с И. И. Смагиным.
Автор глубоко признателен рецензенту доктору техн. наук Л. В. Данилову и. редактору канд. техн. наук Ю. Г. Мамиконову за ценные замечания и советы, которые способствовали улучшению содержания книги.
Замечания по книге следует направлять по адресу: 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10, Энергоатомиздат.
Автор
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ПРОСТЕЙШИЕ ЧАСТОТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.1.ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ И МАСШТАБА ЧАСТОТЫ
Эквивалентные схемы цепей и их элементы. Как известно, электрической цепью 'называется совокупность устройств, образую щих путь электрического тока, электромагнитные процессы в кото рых можно описать исключительно с помощью понятий об ЭДС, напряжении и токе.
При исследованиях и расчетах процессов в электрических цепях приходится учитывать три вида явлений: преобразование электрической анергии в тепловую, а также ее накопление в виде электрического и магнитного полей. При этом преобразование электрической энергии в тепловую объясняют наличием у каждого участка электрической цепи определенного электрического сопро
тивления |
/?. |
Способность |
участка |
цепи (включая |
окружающее |
|||
пространство) |
накапливать энергию в виде магнитного поля объяс |
|||||||
няют |
наличием |
у |
данного |
участка |
определенной |
индуктивности |
||
и а |
способность |
накапливать энергию в виде электрического по |
||||||
ля — наличием определенной электрической емкости С. |
||||||||
Анализ |
и |
расчет |
любой' заданной |
электрической |
цепи принято |
заменять анализом специально составленной модели этой цепи, которую обычно называют эквивалентной расчетной схемой элек трической цепи.
При составлении эквивалентной расчетной схемы участка цепи (и всей цепи в целом) каждый из трех упомянутых электрических параметров участка (сопротивление, индуктивность и емкость) пред ставляют соответствующим двухполюсным элементом: сопротивле ния /?, индуктивности I и емкости С.
Математическим определением каждого из этих элементов явля ется формула, выражающая связь между током < (мгновенное значение), проходящим через выводы элемента, и напряжением и между этими выводами:
для элемента сопротивления К
иЙ=
для элемента индуктивности I*
для элемента емкости С
“с = |
“ с(0). |
с о
На эквивалентных расчетных схемах элементы сопротивления, индуктивности и емкости изображают такими же графическими символами, как и резисторы, катушки индуктивности и конденса торы на принципиальных схемах электрических цепей. Это обстоя тельство может привести к недоразумениям, если не отдавать себе ясного отчета, о какой именно схеме — принципиальной или эквивалентной расчетной — идет речь в каждом отдельном случае.
Наряду с пассивными двухполюсными элементами трех видов эквивалентные расчетные схемы могут содержать активные двух полюсные элементы двух видов: источники напряжения и источники тока.
Напомним, что систему уравнений Кирхгофа принято состав лять именно для эквивалентной расчетной схемы, даже если обэтом не упоминается в явной форме.
Содержание этой книги связано исключительно с анализом, синтезом и схемными преобразованиями эквивалентных расчетных схем. Соответственно будем оперировать сопротивлениями, индук тивностями и емкостями не как электрическими параметрами участков реальных цепей, а как элементами эквивалентных‘расчет ных схем. Однако для краткости термин «элемент» будем опускать, называя элемент сопротивления просто сопротивлением, элемент индуктивности — индуктивностью, а элемент емкости — емкостью.
Я, |
Я/ |
{ ^7 |
Рис. 1.1. "К изменению уровня сопротивления схемы
Изменение уровня сопротивления. Рассмотрим схему четырех полюсника из сопротивлений К\ и Кг (рис. 1.1,а). Очевидно, в режиме холостого хода ее комплексное входное сопротивление и комплексная передаточная функция по напряжению определяются формулами
А в х = Я| + Лг; 'Ттт= К2/ (/?1 + Яг).
Предположим, что каждое сопротивление увеличено в п2 раз,
т. е. (рис. 1.1, б) |
|
— пгК\\ |
/?2=г1г/?2, |
где пг — положительный вещественный множитель, не равны нулю.
Подставляя новые значения сопротивлений- в формулы схемных функций, для схемы на рис. 1.1,б находим
% и — /?{ -4“ /?2 == Яг/? 1 -{- Яг/?г — яг (/? 1 -|- /?г) |
= яг ^ вх» |
||
я* |
п2я2 |
я2 |
!Г(у, |
Тц — —- |
лгЛ14-пгЛ2 |
------------- = |
|
|
Л1+Л2 |
|
где буквенные символы со штрихами относятся к схеме, получен ной в результате пересчета.
Как и следовало ожидать, увеличение в п2 раз всех сопротивле ний исходной (т. е. первоначально заданной) схемы привело к увеличению модуля 2 ЪХ во столько же раз и никак не отразилось на значении модуля Ту, поскольку числитель и знаменатель функ ции имеют одинаковую размерность.
Предположим теперь, что исходная схема |
содержит |
элементы |
трех видов (сопротивления /?, индуктивности |
и емкости С) и |
|
решим задачу: каким образом необходимо |
изменить |
значения |
параметров элементов схемы, чтобы модуль ее комплексного вход ного сопротивления увеличился в п2 раз?
Рис. 1.2. К изменению масштаба частоты схемы
Для последовательного колебательного контура на рже. 1.2^в комплексное входное сопротивление определяется формулой
2 и» = /<*)/. + /? 1//<оС.
Перейдем к функции 2 'х = п г2 пх:
= Я гЪ в , = /с о( и 2 ) + |
( / ? я г ) + — |
( я г / С ) . |
Выражения в скобках правой части последнего равенства можно рассматривать как обозначения элементов искомой схемы. Обоэяьчим элементы искомой схемы:
и = лгД, /?' = тК; С = С/щ.
Схемное преобразование, в результате которого модуль функции комплексного входного сопротивления схемы при любой заданной частоте увеличивается в п2 раз, будем называть изменением уровня сопротивления схемы.
Для* изменения (увеличения) сопротивления схемы из сопро тивлений, индуктивностей и емкостей в п2фаз необходимо значения всех сопротивлений Я и индуктивностей С увеличить в п2 раз, а емкостей С уменьшить во столько же раз.
Комплексная передаточная функция схемы по напряжению при таком преобразовании остается неизменной, поскольку полиномы (многочлены) ее числителя и знаменателя имеют одинаковую размерность.
Изменение масштаба частоты. Снова обратимся к схеме коле бательного контура на рис. 1.2,а и ‘рассмотрим еще одну задачу: можно ли изменить значения параметров элементов схемы таким образом, чтобы при одновременном изменении (увеличении) угло вой частоты о в пы раз комплексные входная и передаточная функции остались неизменными, если пш— положительное вещест венное число?
Комплексное сопротивление контура при некотором значении
угловой частоты со = о>| определяется |
формулой |
|
|
^пх(/й>|) = |
+ |
Я + \Цы\С. |
|
Все слагаемые этой формулы, которые содержат <0 |, подвергнем |
|||
тождественному преобразованию: умножим и разделим на |
после |
чего отнесем один из этих множителей к значению частоты, а другой — к параметру элемента:
2пх(/С0|) |
/ (Л«,С0|) ( — ) + Я + |
|
1 |
|
|||
/ (ямй>|) |
(С/пы) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
= 1 а \и + |
/?' Н- 1 / ](й\С' = |
2.'вж(/©{), |
|
||||
где приняты обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
«1 = пмй>|; |
и = |
/./л ;; |
С' = |
С /пш; |
Я' = |
Я. |
|
Если рассматривать помеченные штрихом параметры .как |
|||||||
элементы новой схемы, то из равенства |
|
|
|
|
|||
|
2ВХ(/©,) = |
2'вх |
(/©{) |
|
|
||
следует, что новая |
схема |
при частоте |
о>1 = лшсо1 имеет |
такое же |
значение комплексного входного сопротивления, какое имела пер воначальная при частоте Ш|.
Поскольку значение о»] ^ыло выбрано произвольно, а формулы пересчета элементов от о>1 не зависят, приходим к выводу, что при увеличении угловой частоты в пь раз и одновременном уменьше нии индуктивностей и емкостей схемы во столько же раз ее комп-
8
лексное входное сопротивление и передаточная функция остаются неизменными.
Схемное преобразование, в результате которого частотные ха рактеристики полученной схемы отличаются от частотных харак теристик исходной только масштабом шкалы частот (переменная
а) заменяется переменной о)' = /2шш), будем называть изменением масштаба частоты.
Для изменения (увеличения) частотной переменной в пм раз (при одновременном сохранении схемных функций) необходимо
уменьшить индуктивности' и емкости исходной схемы |
во столько |
же раз, оставив сопротивления неизменными. |
|
Поясним принцип изменения масштаба частоты при сохранении |
|
формы характеристик несколькими примерами. |
|
Пример 1.1. На рис. 1.2,6 представлен график частотной |
зависимости |
модуля передаточной функции по напряжению последовательного коле бательного контура из элементов /., /? и С (рис. 1.2,а) для случая, когда выходное напряжение снимается с* емкости.
Требуется увеличить резонансную частоту этого контура в /2Ш= Ю раз таким образом, чтобы передаточная функция новой схемы при ее резонан сной частоте ыц осталась равной передаточной функции исходной схемы при ее резонансной частоте шо, а график частотной зависимости .Т'ц(ш') можно было бы получить из графика Тц(ы) путем простого изменения масштаба частоты, т. е. путем умножения значений частот ш первоначаль? ного графика'на множитель пь)\
Р е ш е н и е . Специфика задачи заключается в следующем. Для увели чения резонансной частоты в лш= Ю раз необходимо уменьшить произве дение Ю в Лщ=Ю0 раз, что можно сделать бесчисленным множеством способов. Но толькд один из них позволяет сохранить неизменной форму
графика |
7^(0)) |
при сохранении |
первоначального сопротивления схемы. |
|||||||||||
|
Например, "можно было бы уменьшить в 100 |
раз индуктивность I, |
||||||||||||
оставив |
неизменными |
и |
С, |
Однако добротность |
контура С1=л1Ь/С/Н |
|||||||||
и передаточная функция схемы при |
резонансной частоте |
(равная |
доброт |
|||||||||||
ности (?) при этом также меняются |
(уменьшаются |
в 10 |
раз), |
что |
проти |
|||||||||
воречит условию задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Точно так же нельзя уменьшать только емкость С, поскольку при |
|||||||||||||
уменьшении ее в 100 раз добротность возрастет |
(при неизменных |
7. и #) |
||||||||||||
в 10 раз, в результате чего-' изме |
ъ |
|
|
|
|
|
||||||||
нится |
не |
тблькО |
|
-передаточная |
|
|
|
|
|
|||||
функция |
при |
резонансной |
частоте, |
ЬО |
|
|
|
|
|
|||||
но |
также и |
форма |
кривой |
Г|/(<в') |
0,8 |
|
ч |
• |
|
|
||||
по сравнению с кривой Ти (ы). |
|
0,6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Правильное |
решение |
задачи |
|
|
|
|
|
|
|||||
дают формулы измененйя масштаба |
о,* |
|
|
|
|
|
||||||||
частоты: |
изменять |
|
(уменьшать) |
|
|
|
|
|
||||||
необходимо |
как |
значение |
Ц |
|
0,5 |
1,0 |
1,5 |
со,раА/с |
||||||
так |
и |
значение |
С |
(каждое — |
О |
1700 |
—1— |
5100 |
6800^'Ги, |
|||||
в пы раз). |
|
|
|
|
|
|
3400 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.2. На рис. 1.3 пока |
Рис. 1.3. Характеристика фильтра к |
||||||||||||
зан |
график |
|
частотной |
зависи- |
примеру |
1.2 |
|
|
|
|
мости модуля передаточной функции по напряжению Т&(со) фильтра нижних частот (ФНЧ). Граничной частотой полосы пропускания является частота, при которой модуль передаточной функции составляет 0,707 своего максимального значения: согр = ч>2 = I рад/с.
Параметры элементов схемы фильтра пересчитаны (изменен масштаб частоты) таким образом, что граничная частота полосы пропускания стала равной /$= 3400 Гц.
Требуется определить модуль передаточной функции полученной схемы при частоте /з—6800 Гц.
Решение. По условию новая' схема получена из первоначальной в результате изменения масштаба частоты. Следовательно, график зависи мости 7*{/(<о') новой схемы отличается от соответствующего графика перво начальной только масштабом частоты. Новую шкалу можно построить сразу
для |
частоты. |
а не угловой со', имея |
в виду, что угловая частота ш2 = |
= 1 |
рад/с пересчитывается в /$= 3400 |
Ги; угловая частота 2ю2— в 2/$ |
и т. д. Пользуясь новой шкалой частот, находим, что модуль передаточной функции фильтра при частоте /$= 6800 Гц равен 0,243.
Заметим, что эту простую задачу можно было решить, не прибегая к построению новой шкалы частот в явной форме.
Частота /з превышает граничную частоту новой схемы /2 в 2 раза: /з//з = 2. Значит, при этой частоте передаточная функция новой схемы имеет такое же значение, какое имеет передаточная функция первоначаль ной схемы при угловой частоте со, которая превышает граничную частоту первоначальной схемы также в 2 раза, т. е. при <о=со3= 2м2= 2 - 1=2 рад/с.
Одновременное выполнение обоих преобразований. Полученные выше правила частотных преобразований схемы одиночного коле бательного контура остаются в силе Для цепей и схем любой слож ности и существенно облегчают решение самых разнообразных задач анализа и синтеза линейных цепей.
При проектировании четырехполюсников с заданными частот ными характеристиками часто возникает задача пересчета схемы с заданным нагрузочным сопротивлением /?н и некоторой характерной частотой (о, (например, граничная частота полосы пропускания ФНЧ) на новое сопротивление нагрузки У?' и на новое значение той же характерной частоты, равное со'. Очевидно, задача сводится к поочередному выполнению двух уже известных преобразований (из менение уровня сопротивления и изменение масштаба частоты).
В целях уменьшения объема вычислительной работы оба пре образования можно выполнить одновременно, руководствуясь сле дующим алгоритмом:
4. По заданным значениям первоначального и требуемого соп ротивлений Ни и У?/„ а также первоначальной со,- и требуемой со/ частот определяют преобразующий множитель комплексного соп ротивления
"2 = Я'н/Ян |
(1.1) |
и преобразующий множитель частоты |
|
Л<*=: Ы|7юь |
(1.2) |