книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

зита М + М о т концентрации (а) и от температуры Т (б)

Зависимость CLM+M от концентрации и от температуры Т проил­ люстрирована рис. 1.8.

Как видно из сравнения OLd+d, OLd+m, OLM+D и OLm+m, качественные картины их поведения в зависимости от температуры весьма сильно отличаются друг от друга.

1.7. ВЛИЯНИЕ МЕЖДУФАЗНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ТЕПЛОЕМКОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ КОМПОЗИТОВ

Учет взаимодействия между основной матрицей и примесной фазой приводит к так называемому "интерференционному" слагаемому в вы­ ражении для свободной энергии. В самом деле, в отсутствие взаимо­ действия свободная энергия есть

F = -71n(Z0Z1),

(1.75)

где ZQ- вероятность обнаружить систему "О" в состоянии "л", a Z\ - ве­ роятность обнаружить фазу "1" в состоянии "т". Для фононов и магнонов роль "квантовых" чисел "п" и "т" играют импульсы к квазичастиц, и, как следует из (1.75) (что было доказано и выше, в разделе 1.1), свободная энергия в отсутствие взаимодействия есть просто сумма F = F0 + F 1.

При учете взаимодействия Н01 между подсистемами "О" и "1" выра­

жение (1.75) несколько модифицируется. В самом деле, тогда
F = -71n(Zo,),	(1.76)
где статистическая сумма
Z„, ^ E e x p j - " 0 + ^ + H("j y	(1.77)

а суммирование производится по всем "квантовым" состояниям систем. Угловые скобки означают усреднение по основному состоянию всего композита в целом.

31

Как правило, однако, взаимодействие Я01 мало по сравнению с Я 0и Я ь и это обстоятельство "спасает" нас, позволяя разложить экспоненту по степеням отношения HQ^/T. Чтобы произвести эту нехитрую опера­ цию корректно, следует вспомнить правило работы с операторами. Действительно, если А и В есть некоторые абстрактные операторы, то

имеет место формула
еА+в = еЛеве-яЯАМ]'	(1.78)

Угловые скобки означают коммутатор, т.е. [А, В] =АВ - ВА. Доказа­ тельство ее довольно простое. Разложим для этого левую экспоненту в ряд, ограничившись квадратичными по А и В членами. Тогда

еА+в = 1 + А + В+ (А + В)2/2 = 1 + А + В + 0,5(А2 + АВ+ ВА + В2),

а правая часть дает

eAeBe-°’5lA'B] = (1+ А + А2 / 2)(1 + В +В2/ 2)(1 - 0,5[Л, В]) =

=(1+ А + В + 0,5А2 + 0,5В2 + АВ\ 1 - 0,5(АВ - ВА)) =

=1 + А + В + 0,5(А2 + В2 + АВ+ ВА).

Сравнив их, мы видим, что с точностью до членов второго порядка ма­ лости по операторам А и В они полностью тождественны. Разложение до членов третьего порядка малости по операторам А к В и проверку их полного совпадения мы оставляем читателю.

Итак, с учетом (1.78), после разложения eAH0+Ht,H0i)/2T до членов второго порядка малости по Н0\ имеем для свободной энергии

F = - 7 у n EZ0Z, \ _ Ц т	+ Ио,	[Я0 + Я „Я 01] .
	2Г	2Г2
^Н01[Н0 + НЬН01) t [Я0 + Я1,Я 01]2 М
2Г	8Г

Вынося LZoZ] за скобку и разлагая логарифм, найдем

нHi, ' [H0 + H„H0I]

01 IT	2T
ZZQZJ		[Яр + Я^Яр,]2
HQl[H0 + HltHm]
F=F0 + Fl +	2T	8Г3	о (1.79)

(LZpZ, )р

j Индекс "О" за угловыми скобками означает усреднение по основ­ ному состоянию.

Зная Я01, мы можем по алгоритму, описанному в разделах 1.2-1.6, вычислить поправку и к теплоемкости, и к коэффициенту объемного

32

расширения, обусловленную взаимодействием между фазами. Как пра­ вило, однако, структура гамильтониана взаимодействия Я01такова, что среднее по основному состоянию всех нечетных степеней Нох равно ну­ лю, и тогда из (1.79) находим, что

	1	Y'T -7 1 м2 . Я01(Я0 + Я1)Я01
	8F0i = -	мо\ +
	7ХВД>0
	Н^(Н„ + Н,) |	1Н0 + Н„Н0|]2 У	(1.80)
	2Т	8Т2
			о
	В первом приближении Я01 пропорционально концентрации мелко­
	дисперсной фазы	Это значит, что добавка к свободной энергии,
	обусловленная этим взаимодействием, согласно (1.80) будет
	5^01 =Н2П 0 2,		(1-81)

где Q - совокупность всех параметров обеих подсистем, включая так­ же температуру, и определяется конкретной структурой гамильтониа­ на Я01.

Из соотношения (1.81) следует, что теплоемкость изменится на

величину
6с = - Т д2Щ,		(К ? Т d2Q				(1.82)
	V дТ2		дТ2
Коэффициент же объемного расширения изменится на
Sa _ 1	дЬУ	1 д	Л5Ф01	^	1 d	д5Ф0| =
а ~~ V дТ		V дТ	dP		V dP	дТ
d д Щ ' ) 2) 2 ( Q 2					dQ	(1.83)
dP	дТ		с,	1дТ *
где	С1 dV>
_
а, = -

v; dp

Таким образом, качественное поведение коэффициента объемного расширения определяется знаком производной dQ/dT. При dQ/dT > 0 а(Т, £*) имеет тенденцию к росту вместе с £Ф, а при dQ/dT < 0 - к паде­ нию. Схематически такое поведение иллюстрирует рис. 1.8.

1.8. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ МАГНИТНЫХ КОМПОЗИТОВ ПРИ Т = 0. СТРУКТУРА М + М

Как правило, перед началом исследования каких-либо неравно­ весных свойств магнитных структур возникает необходимость выясне­ ния устойчивого основного состояния данной магнитной конфигурации [1.21, 1.22]. Зная его (что для магнитных атомов равносильно опре­

2. Гладков С.О.

33

деленной геометрической ориентации намагниченностей), легко ре­ шаются вполне конкретные физические задачи, к которым, в част­ ности, можно отнести: а) описание процесса установления термоди­ намического равновесия в подобных структурах, б) выяснение особен­ ностей поглощения энергии радиочастотного (сокращенно РЧ) поля, в) нахождение декрементов затухания звуковых волн в этих веществах и т.д.

Поскольку магнитные композиты не являются исключением из общих правил, то для адекватного описания их неравновесных свойств мы предварительно должны выяснить основную равновесную кон­ фигурацию спинов при 7 = 0. Пусть в качестве наполнителя выбраны малые ферромагнитные частицы. Далее будет проведен расчет энергии основного состояния в том случае, когда форма частиц сферическая, а внешнее магнитное поле Н отсутствует. Этот случай интересен тем, что причины, которая могла бы заставить все магнитные моменты сори­ ентироваться строго вдоль направления поля, не существует, и поэтому весьма интересен анализ естественной геометрической ориентации спинов в таких веществах при 7 = 0, когда их равновесное распо­ ложение диктуется только проявлением спин-орбитальных эффектов.

Пусть Ро и Р j - константы анизотропии в основной матрице (фа­ за "0") и в примесной (фаза "1") соответственно. Поскольку взаимо­ действие между фазами происходит благодаря лишь механизму дипольдипольной связи, то общее выражение для гамильтониана системы должно быть представлено следующим образом:

н	= - V{(1 -5 * )р0< +		X	ч , у -
- X		SV, (3M0M „ - (M0d ,)(Mljd j ) / d j } / V -			(1.84)
	У=1
-	t	jH f'M ,jdVIV),
	j =1

где концентрация ^*, как обычно, есть отношение Vx/V, a Vx = vi/j - объем мелкодисперсной фазы, v - количество частиц, vXj - объем одной частицы, V = VQ + V\ —объем композита, V0 - объем основной матрицы, Rj - радиус у-й частицы, dj - расстояние между атомом основной матрицы и атомом примесной ферромагнитной частицы, лежащим вбли­ зи поверхности раздела (рис. 1.9), 8Vy = djSj - объем границы раздела,

2

Sj = 4nRj, ось z'j образует угол (Ху с осью z (рис. 1.10).

Поскольку внешнее магнитное поле отсутствует (Я = 0), то маг­ нитная индукция в основной матрице есть В = 4яМ0, где М0 - спонтан­ ная намагниченность. Поэтому роль внешнего поля для мелкодис­ персной фазы будет играть В0, а, значит, внутреннее поле в частице

есть = В0-4тсЯ,М, = В0-4 л Я 1Х|Н{‘), так как Mj0 = XjHj0

34

Рис. 1.9. О риентация осей анизотропии частиц мелкодисперсной ф ер р о ­

магнитной ф азы По - ось анизотропии основной матрицы . К ружочками условно изобра­

ж ена область кон так та м елкодисперсной ф азы с основной магнитной матрицей

Рис. 1.10. Геометрия произвольного расположения магнитных моментов при наличии одной ф ерромагнитной частицы (v = 1)

Все	обозначенны е углы находятся из условия минимума энергии сис­
темы: ф	аза "О" + ф аза "1" + взаимодействие между ними

2*

35

Следовательно,
П(«) _	4 7 сМ о	(1-85)

‘l + 47t7V,Xi

Что касается индукции Вь то для нее получаем

В, =

+ 4лМ}') + 4лМ! = |Х,Н$° + 4лМ, =

(1.86)

= 4лМ, +4л(1,М0 /(1 -ь47гТУ1х1),

где М] - спонтанная намагниченность в частице мелкодисперсной фазы, Хо - магнитная восприимчивость основной матрицы, а %\ ~ примесной, /V] - коэффициенты размагничивания для частиц примесной фазы, щ - их магнитная проницаемость.

Будем считать, что расстояние dj для каждого j -го магнитного атома, лежащего в приповерхностном слое, постоянно.

Поскольку 5Vj = afdjNs, где Ns = 8n(Rj / ах)2 - полное количество

атомов в приповерхностном слое (множитель "8л" появляется вместо 4п за счет того, что атомы находятся с двух сторон от границы раздела), Oj - межатомное расстояние в фазе "1". Таким образом,

5Vy = 3dj v ,у / Rj.

При подстановке выражения (1.85) в гамильтониан (1.84) получаем

Н = - V|(1 - %' )(30< + |5 ,i>			IV -
-	(3/ V ) t	(djV ij/R flЗМ0М, - (M0dy )(М,<1; )/ dj ]j -		(1.87)
_	4 * 1	М°М' ^ .
	^ (1 + 4*х,Л),)У

Очевидно (это проверяется прямым вычислением), что наименьшее значение гамильтониана (1.87) будет достигаться лишь при ком­ планарном расположении всех v + 1 векторов. Будем называть такую плоскость плоскостью G. Кроме того, поскольку вектор dj совпадает по направлению с нормальным к поверхности каждой j -й ферромагнитной частицы вектором, то третье слагаемое в выражении (1.87), пропор­ циональное произведению Mjydy, при интегрировании по всем углам у (Mjydy) = Mijdj cosy) дает в результате нуль. Это значит, что

Н =-v |(l —S-)p0M„2t + (Р, I V ) i v -

0-88)

- (9 /V 0 I t y i j I R j ) М0М ,, j =1

36

где
dj = dj + 4nRj / 9(1 + 47CX,W,).		(1.89)
Везде далее значок	у d* опустим, но будем помнить соотношение
(1.89).

Введем углы 60 и 0] между осями анизотропии z, z' и векторами М0, Mj соответственно. Тогда имеем

H = -V |(l-V )P o M 02cos2e 0 + p1i ( i / l(/V')M12cos2(0ly- a ; ) | - (1.90)

7=1

- 3 М0М, X (djuXjlR j) cos(0o - 0,у),

7=1

где ос; - угол между осями анизотропии По и П] (см. рис. 1.10).

Из условий экстремума полученного гамильтониана по углам 0Ои 0i находим следующую систему уравнений:

0 Ч * )Р 0М0 sin20o - (3 M ,/ V ) t id p XjIRj)sin(0o - 0 1;) = O, (1.91)

7=1

P,Л/, sin2(0,; - a y ) + 3(Afody/?y)sin(0o -0,y) = O.

Найдем решение полученной системы уравнений в случае v = 1 (одна ферромагнитная частица).

Если ввести параметры

(у = cos0. / cos0О		(1.92)
\	. Л , . Л
[z	= Sin 0! / Sin0o,
то для v = 1 получаем
Z - у + 2 Ьк = 0 ,
*zycos2a + b + sin2a[(z2 - у 2)/(1 -у 2)1/2 -		(1-93)
- z y ( \ - y 2)U2)Kz2 - l ) l,2 = 0t
где параметры
Ь = ( 1 - | - )Р0М02 /хР1М2,
•it = («/3d)P 1Ml /M 0,		(1.94)
$ ' = * , / V.

Если объем частицы дисперсной ферромагнитной фазы мал (£,* 1), то решение системы уравнений (1.93) сильно упростится. Действительно, положив

z = -2 Ьк + 8,

У = 5,

37

легко находим, что

с 1 + 2к sm 2а	(1.95)
о = --------------- .

2&cos2a

Решая теперь систему уравнений (1.92), имеем

fsin 0О= -(ЛЬк-Ь2)]12 /2Ьк,

(1.96)

|cos0o = ( l - 8 / 2b*),

fsin©! = [1 —62(1 —6 / 2bk)2]!' 2,

(1.97)

[cos©! = 5(1 -8/26 £ ).

Подстановка полученных углов в исходный гамильтониан (1.90) при v = 1 дает

«Ш1п =-V{p0A/02( l- V ) (l- 6 /2 M ) +	(1.98)
+ Р,М21;‘ [8 cos a + (4М - 82)‘' 2 sin ос]2 -	/ R].

Из выражения (1.98), в частности, видно, что добавочная фаза "портит" основное состояние и увеличивает пропорционально концен­ трации магнитную энергию всей системы (фаза "0" + фаза "1").

Чтобы учесть ансамбль частиц мелкодисперсной фазы, следует проинтегрировать второе слагаемое в выражении (1.98) по всем углам а. Это дает для энергии основного состояния магнитного композита формулу

(tfrnin) = -V(p0M02( l - 5 ‘)(l-8 /2 M )+	(1.99)
+ 4plW|2^‘ /3-95'd8M 0M, /(/?)).

На рис. 1.11 изображена геометрия расположения магнитных моментов в случае, когда примесная фаза состоит из одной частицы (v = 1). В случае ансамбля частиц схематическое расположение магнитных мо­ ментов проиллюстрировано рис. 1.12. Здесь следует еще раз подчер­ кнуть, что в равновесном состоянии все спины компланарны и ориенти­ рованы в G-плоскости.

Найдем решение системы уравнений (1.91) в том случае, когда v велико. Для этой цели следует ввести в рассмотрение некоторую плот­ ность распределения частиц мелкодисперсной магнитной фазы по объе­

мам f(v). Тогда при условии, что		dj = d = const, легко	получить
следующие уравнения:
	V		(1.100а)
	bs\n2Q0(v) - J if(v )sin2(0j(L> )-a )d v /ф ,) = 0,
	о
	к sin 2[0j(и) - a] + sin[0o(v) - ©i(v)] = 0,		(1.1006)
где	- некоторый средний объем	частиц примесной фазы, а плот-

38

Рис. 1.11. Равновесная ориентация магнитных моментов при v = 1 для соот­ ветствующих значений параметров

Комментарии в тексте

Рис. 1.12. Схематическое представление равновесной конфигурации магнит­ ных моментов в G-плоскости при наличии ансамбля мелкодисперсных час­ тиц

ность функции распределенияДц) имеет размерность 1/см3. Параметры

k = k(R) = (R/3d)$lMl IM0,	(1.101)
Ь= const = [(1 - %’) / к Кро / Р,	I Mt)2
Чтобы решить полученные	уравнения, будем придерживаться

39

рецепта, изложенного выше. В самом деле, с помощью параметров (1.101) уравнение (1.100а) после дифференцирования по "v" с учетом уравнения (1.1006) можно записать так:

2kbdu Idv + (y/(v j))u(z - y)f(v) = 0,	(1.102)
где новая функция
и = [(г2 - 1)(1 - у2)]1' 2 /(г2 - у2).	(1.103)

Считая (это подтверждается последующими вычислениями), что и => 1/z, а г > у, легко найти искомое решение:

оо	(1.104)
и = - \ vf(y)dv /Ibiv^kiR).
о

В силу быстрой сходимости интеграла верхний предел интегри­ рования положен равным бесконечности.

Пусть, например, нормированная функция распределения подчинена закону Пуассона:

f(v) = (v 1и0)техр{-и /и0}/(и1)Г(т + \),

где Г($) - гамма-функция, v =4nR3/3, v Q - параметр распределения.

Поскольку к = koR = A:0(3L>/4 я)1/3, где к0 = $xMi/3dMQt имеем из (1.104)

u = -(2bk)-\v0/(vl))2,

(1.105)

здесь к = к0(3и0 /4л)1/3

Параметр z, как и ожидалось, есть z = -2 bk{(p{)lv0) (см. (1.103)).

Если считать, что среднее значение характерного объема частиц мелкодисперсной фазы (i^) совпадает со средним значением (и), вы­ численным по функции распределения /(и), то (L»I) = (т + l)i>o. Таким образом, видно, что учет распределения частиц по размерам весьма сильно сказывается на геометрии расположения равновесных намагни­ ченностей в обеих фазах и необходимо его учитывать при рассмотрении любых динамических эффектов в подобных структурах.

При наличии Р различных примесных добавочных фаз миними­ зирующие уравнения в этом случае будут содержать, очевидно, еще один дополнительный индекс ("5")» характеризующий новую фазу, и при этом вместо уравнений (1.91) можно получить следующую систему:

( l - ^ ) P oM o s in 2 0 o -

рv«

• - ( 3 /1 0 1	Mg Z [ d ^ l f / R ^ ] sin(0o - 0 if ) = O,	(1.106)
g=]	j=\

V>gMgR{j8) sin2(0if- а {р ) + т ^ sin(0o - 0 j f ) = 0.

Приведенная система уравнений вполне аналогична уравнениям

40