книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства
.pdf(1.91). Решение полученной системы уравнений можно осуществить, например, с помощью численного расчета.
Итак, проведенное выше исследование позволяет нам сделать два важных вывода.
1. Показано, что с энергетической точки зрения найденная рав новесная ориентация спинов магнитных атомов не является наиболее оптимальной по сравнению с однородным (однокомпонентным) вещест вом, в котором соответствующая энергия ниже (см. формулу (1.99) при
*Г = 0).
2. Учет разброса частиц мелкодисперсной фазы по размерам необ ходим ввиду его весьма существенного влияния на основное состояние магнитного композита.
Подводя в целом итоги главы 1, посвященной описанию только равновесных характеристик композитов в четырех специфических слу чаях: D + D, D + М, М + D и М + М, следует обратить внимание на следующее.
Граница контакта между частицами мелкодисперсной фазы и основной матрицы является областью сильной неравновесности. За счет различия теплоемкостей обеих фаз (основной и примесной) изменение температуры приводит к изменению энергии единицы объема на границе, что формально означает 5е = (с0 - с, )57\ Поскольку изменение
энергии в единицу времени есть dbe / dt = (с0 - с, )dbTI dt = 8q, то этот дополнительный тепловой поток, появляющийся в локальной области как результат гетерогенности структуры, и характеризует упомянутую неравновесность. Вносимый им вклад в основной тепловой поток в силу проявления его векторного характера и с учетом множественности числа частиц мелкодисперсной фазы должен быть усреднен в преде лах всего композита по полному многообразию направлений 8q,-, где индекс нумерует все тепловые локальные потоки вблизи каждой из частиц. Это означает, что результирующий тепловой поток есть Ч = Чо + Х<5чД где угловые скобки как раз и характеризуют указан ное усреднение.
Особенности, к которым приводит учет этой неравновесности, и эффекты, связанные с ней, мы обсудим в главах 2 и 3 настоящей монографии. Подчеркнем только, что благодаря межфазной границе имеет место дополнительное специфическое поглощение, например зву ковой волны, проявляющееся только тогда, когда учитывается тепло обмен между фазой "О" и фазой "1". Мы рекомендуем посмотреть по этому вопросу работу [1.61], в которой изучалось поглощение звука в суспензиях.
ЛИТЕРАТУРА
1.1.Гладков С.О. Физика пористых структур. М.: Наука, 1997. 175 с.
1.2.Rayleigh J.W. On the influence of obstades arranged in rectangular order upon the properties of medium // Philos. Mag. 1892. Vol. 34, N 5. P. 481.
1.3.Voighi W. Lehrbuch der Kristallphysik. B.: Taubner, 1928. 926 S.
41
1.4.Foldy L.O. The multiple scattering of waves // Phys. Rev. 1945. Vol. 67, N 3. P. 107-119.
1.5.Лифшиц И.М., Пархомовский Г.Д. Поглощение ультразвука в
поликристаллах // Учен. зап. Харьк. ун-та. 1948. Т. 28. С. 25-36.
1.6.Sadowsky М.А., Sternberg Е. Stress concentration around a three-axial ellipsoidal cavity // J. Appl. Mech. 1949. Vol. 16, N 2. P. 149-157.
1.7.Robinson K. Elastic eneray of an ellipsoidal inclusion in an infinite solid // J.
Appl. Phys. 1951. Vol. 22, N 8. P. 1048-1054.
1.8.Cox H.L. The elasticity and strength of paper and other fibrous materials // Brit. J. Appl. Phys. 1952. Vol. 3, N 2. P. 72-79.
1.9.Kerner E.H. The elastic and thermoelastic properties of composite media //
Proc. Phys. Soc. 1956. Vol. 698. P. 808-813.
1.10.Eshelby J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities // Progress in solid mechanics. Amsterdam: North-Holland, 1961. Vol. 2. P. 87-140.
1.11.Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.:
Наука, 1977. 399 с.
1.12.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
1.13.Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике
композитных материалов. Петрозаводск, 1993. 598 с.
1.14.Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и компо зиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 267 с.
1.15.Смирнов Б .С . Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.
321с.
1.16.Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука,
1976.
1.17.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Т. 7. М.: Наука,
1987.
1.18.Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974.
1.19.Bloch F. Zur Theorie des Ferromagnetismus // Ztschr. Phys. 1930. Bd. 61. S. 206-219.
1.20.Туров E.A. Физические свойства магнитоупорядоченных кристал
лов. М.: Наука, 1963. 234 с.
1.21.Ахиезер А.И., Баръяхтар В.Г Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.
1.22.Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука,
1975. 527 с.
1.23.Gladkov S.O. The kinetics of nuclear magnetically ordered systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 182, N 4/5. P. 211-364.
1.24.Holstein G., Primakoff H. Field dependence of the intrinsic domain
magnetization of feiromagnet // Phys. Rev. 1940. Vol. 58, N 12. P. 1098-1113.
1.25.Blombergen N. On the interaction of nuclear spins in a cristalline lattice // Physica. 1949. Vol. 15, N 3/4. P. 386-426.
1.26.Suhl H. Effective nuclear spin interactions in ferromagnets // Phys. Rev.
1958. Vol. 109, N 2. P. 606-607.
1.27.Nakamura T. Indirect coupling of nuclear spins in antiferromagnet with particular reference to MnF2 at very low temperatures // Progr. Theor. Phys. 1958. Vol. 20, N 4. P. 542-552.
1.28.Мигдал А.Б. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в
нормальном металле // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, N 6. С. 1438-1446.
42
1.29. Каганов М.И., Цукерник В.М. К феноменологической теории кинетических процессов в ферродиэлектриках // ЖЭТФ. 1959. Т. 35, N 2.
С.311-320.
1.30.Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. К теории релак
сационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах // Там же. Т. 35, N 1. С. 216-223.
1.31.Кривоглаз М.А., Кащеев В.Н. Влияние спин-спинового и спинфононного взаимодействия в ферромагнетике на энергетическое распре деление рассеянных нейтронов // ФТТ. 1961. Т. 3, N 5. С. 1541-1552.
1.32.Каганов М.И., Чиквашвили ЯМ. К теории поглощения звука в
одноосных ферромагнитных диэлектриках // Там же. N 2. С. 275-281.
1.33. Гуревич Л.Э., Недлин Г.М. Термоэдс ферромагнитных металлов, обусловленная рассеянием электронов на магнонах // ЖЭТФ. 1963. Т. 45, N 9. С. 576-586.
1.34.Каганов М.И., Чупис И.Е. О пороговом поглощении магнитной энергии в одноосном антиферромагнетике // Там же. Т. 44, N5. С. 1695— 1702.
1.35.Келдыш Л.В. Диаграммная техника для неравновесных процессов //
ЖЭТФ. 1964. Т. 47, N 10. С. 1515-1527.
1.36.Simons S. On the interaction of long wavelength phonons with thermal phonons // Proc. Phys. Soc. 1964. Vol. 83, N 3. P. 749-755.
1.37.Зырянов П.С., Талуц Г.Г. К теории поглощения звука в твердых
телах // ЖЭТФ. 1965. Т. 49, N 8. С. 1942-1950.
1.38.Schermer R.J., Passel L. Nuclear spin-lattice relaxation in EuS // Bull. Amer. Phys. Soc. 1965. Vol. 10, N 1. P. 75-76.
1.39.Houma A. Nuclear spin-lattice relaxation in ferromagnetic insulators at low temperatures // Phys. Rev. 1966. Vol. 142, N 2. P. 306-317.
1.40.Вакс В.Г., Ларкин А.И., Ликин С.А. Спиновые волны и корреля
ционные функции в ферромагнетике // ЖЭТФ. 1967. Т. 53, N 9. С. 1089— 1106.
1.41.Гуревич Л.Э., Шкловский Б.И. Поглощение продольного звука высокой частоты в твердых телах при низких температурах // ФТТ. 1967.
Т.9, N 5. С. 526-532.
1.42.Richards PM. Nuclear spin waves relaxation and narrowing of NMR lines
ferroand antiferromagnets // Phys. Rev. 1968. Vol. 173, N 3. P. 581-591.
1.43.Halperin B.I., Hohenberg P.G. Hydrodynamic theory of spin waves // Ibid. 1969. Vol. 188, N 2. P. 898-918.
1.44.Platsker A., Morgenthaler F.R. Phonon-pumped nuclear spin waves in a
flopped antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22, N 3. P. 1051-1053.
1.45.Олейник И.Н. Второй звук и гидродинамическая теплопроводность
вантиферромагнетиках // ЖЭТФ. 1970. Т. 58, N 3. С. 1119-1127.
1.46.Семиноженко В.П., Соболев ВЛ. О влиянии интенсивного продоль
ного звука на намагниченность ферромагнетиков // ФТТ. 1980. Т. 22, N 2.
С.610-611.
1.47.Евтихиев Н.И., Лутовинов В.С., Савченко М.А., Сафонов ВЛ.
Теория релаксации ЯСВ в антиферромагнетиках // Письма в ЖТФ. 1980.
Т.76, N24. С. 1527-1531.
1.48.Seminozhenko V.P., Yatsenko AA. Kinetic equation for electrons and
phonons in a strong constant electric field // Phys. Lett. A. 1981. Vol. 75, N4. P. 267268.
43
1.49.Гладков С.О. К теории релаксации ядерных спинов в антиферро магнетиках при сверхнизких температурах // ФТТ. 1981. Т. 23, N 9. С. 26862692.
1.50.Гладков С.О., Каганов М.И. К теории релаксации ядерных спинов
вферромагнетиках при сверхнизких температурах // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, N 4. С. 1577-1585.
1.51.Гладков С.О. К теории поглощения звука в магнетиках // Там же.
N 6. С. 2475-2479.
1.52.Гладков С.О. Релаксация в ферромагнитных металлах // ЖЭТФ. 1982. Т. 83, N7. С. 806-812.
1.53.Гладков С.О. О рассеянии звука на ядрах // ФТТ. 1983. Т. 25, N 11.
С.3502-3503.
1.54.Соболев ВЛ. Взаимодействие ЯСВ с дефектами // Физика металлов
иметалловедение. 1983. Т. 56, N 5. С. 837-842.
1.55.Гладков С.О. Об одной возможности охлаждения ядерных спинов //
ФТТ. 1984. Т. 26, N 10. С. 3192-3194.
1.56.Gladkov S.O. Some properties of easy-axis antiferromagnets at hyperlow temperatures // Physica B. 1984. Vol. 125, N 2. P. 219-246.
1.57.Гладков С.О. О быстрой релаксации ядерных спинов в легкоосных
антиферромагнетиках // ФТТ. 1985. Т. 27, N 7. С. 2223-2225.
1.58.Сафонов В.Л. Фазовый переход в системе ядерных спинов с косвенным взаимодействием Сула-Накамуры // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, N 11.
С.263-270.
1.59.Куркин М.И., Туров Е.А. ЯМР в магнитоупорядоченных веществах
иего применение. М.: Наука, 1990. 244 с.
1.60.Gladkov S.O. On sound absorption in two-phase systems //Physica B. 1990.
Vol. 167. P. 75-84.
1.61. Исакович M.A. О распространении звука в эмульсиях // ЖЭТФ. 1948. Т. 18, N 10. С. 907-912.
ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ композитов
О важном месте, которое занимает теория теплопроводности слож ных многокомпонентных систем, мы говорить не будем: это вполне очевидно как практикам, так и теоретикам. Необходимо лишь под черкнуть, что многообразие подобных веществ безгранично и их можно классифицировать лишь по конкретным применениям в соответст вующих технических задачах, учитывающих специфику их конкретных свойств (см. для примера монографии [2.1]—[2.9]).
Целью настоящей главы является анализ процесса теплопро водности в четырех типах рассмотренных в главе 1 композитов: D + D,
D + M,M + D H M + M.
Как известно, тепловой поток, проходящий за единицу времени через единичную поверхность, в соответствии с законом Фурье есть
дТ
(2.1)
где индексы /, к, пробегающие три значения 1, 2, 3, соответствуют трем декартовым координатам х, у, г. Под повторяющимися индексами подразумевается суммирование (знак суммы опущен).
Возникает вопрос: а что же такое q в композите и какова должна быть структура тензора теплопроводности х,*?
Не затрагивая внутренней симметрии частиц мелкодисперсной фазы и предполагая, что характерная область установления температуры по композиту Ьх превышает максимальный линейный размер частиц приме си Rmах, можно утверждать, что абсолютная величина теплового потока q есть величина инвариантная по отношению к операциям инверсии каждой координаты в отдельности. Это означает, что q не зависит от замены х= * -х, у =$ -у, z => -г. Итак, при замене х =» -х имеем
(2.2)
45
- х |
|
дТ |
+ х |
32 |
дТ |
■+ х |
дГ \ 2 1/2 |
|
|
31 |
дх |
ду |
33 dz |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда сразу же следует, что |
|
|
|||||||
, |
|
|
|
|
|
|
ч ЬТ |
, |
ч дТ Л |
( Х ц Х 12 + |
Х 12Х 22 + |
^ ^ З г ) " ! - + |
( х 11х 13 + х 21х 23 + |
х 31х 3 з ) “ 1— — 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
dz |
Очевидно, данное уравнение может быть удовлетворено в силу незави симости производных по "у" и по "z" только тогда, когда коэффициент при каждой из составляющих есть нуль. То есть
[ХПХ12 + х 12х22 + Х31Х32 = 0» |
(2.3а) |
|
X]1х 1з XQ1Х9Д“I" ХцХ^1 —0. |
(2.36) |
|
^21Л 23 |
3 1 Л 33 |
Аналогично получаются и остальные уравнения в случаях у => -у и z => -z. Заметим только, что три из полученных шести уравнений ока зываются тождественными. Итак, последнее независимое уравнение
имеет вид |
|
х 13х 12 + х 2 3 х 22 + х 32х33 = 0- |
(2.3в) |
В силу принципа Онсагера, когда внешние поля отсутствуют, име ют место условия симметрии кинетических коэффициентов, а это зна
чит, что |
|
|
х/* = х *;- |
|
(2-4) |
Из уравнений (2.3) с учетом условий (2.4) мы немедленно получаем |
||
(х 1! + х 22>х 12 + х 13х 23 - 0 . |
(2.5а) |
|
(ХП +зз)х,з + |
х 12х 23 = ®’ |
(2.56) |
(%22 ^ ^ 33)^23 |
^12^13 = |
(2.5в) |
Из первых двух уравнений системы (2.5) следует, что |
|
|
(хц + x 22)Xj2 -------------- |
= 0, |
|
|
Х11 + х 33 |
|
и, таким образом, для одного недиагонального элемента тензора теплопроводности находим х]2 = 0.
Для двух оставшихся недиагональных элементов также имеем |
|
х 13 = х2з =0. |
|
Значит, получая три условия, |
|
Х11 + х 22 * |
|
Х11 + хэз * ° . |
(2-6) |
х22 + х33 * 0, |
|
таким образом убеждаемся, что отличны от нуля лишь диагональные элементы тензора теплопроводности.
46
Этот вывод не зависит от вида мелкодисперсной фазы и носит общий характер независимо от типа композита. Важно только напом нить, что при исследовании теплопроводности подобных структур речь должна идти о пространственных промежутках, больших линейного размера частиц мелкодисперсной фазы, когда структура макроскопи чески изотропна. Это условие сильно упрощает все математические вы кладки, позволяя вычислять только диагональные элементы тензора х.
2.1.МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В[2.10] была построена теория теплопроводности для случая, когда композит представляет собой магнитную матрицу со стохастически распределенными по его структуре свободными объемами.
Магнитный пористый диэлектрик как таковой, на наш взгляд, относится к классу довольно любопытных объектов с точки зрения исследования. Сама же магнитоупорядоченная система электронных спинов (речь пока идет только о магнитоупорядоченных диэлектриках,
азначит, о температурах, меньших температуры магнитного фазового перехода), если в ее составе имеются поры, представляет собой совсем не простой пример вещества, который можно выбрать в качестве исследуемого. Дело в том, что наличие макронеоднородностей в виде малых сферических пустот (ради конкретности будем говорить лишь о сферах) должно сильно сказываться на спектре магнонов. В случае, когда концентрация пор мала, магнонный спектр представляет собой обычный закон дисперсии спиновых волн, чуть-чуть "подпорченный" макронеоднородностями. Если же их (пор) концентрация возрастает, то, во-первых, в такой двухфазной системе изменяется скорость звука (она становится сильно зависящей от соотношения между обеими фазами, см. монографию [2.11]), а, во-вторых, обменное взаимодействие спинов будет представлять собой также некоторую функцию от пористости т.
Втом случае, когда длина волны магнонов Хтзначительно превышает размер пор /?п, можно говорить, что структура вещества есть просто ферроили антиферромагнетик в буквальном смысле. При этом спектр квазичастиц будет представлять собой гладкую непрерывную функцию от волнового вектора. Если же размер пор велик, то говорить о том, что магнитные колебания есть спиновые волны, нельзя, поскольку нарушается трансляционная инвариантность решетки, и, чтобы описать спектр в этом случае, необходимо рассмотреть какое-либо модельное предположение. Самый простой пример - это когда поры упорядочены: они расположены строго на некотором определенном расстоянии друг от друга. Но даже простое модельное предположение приводит к труд ностям введения магнонного спектра.
При наличии пор всегда существует лучистый поток тепла, обя занный фотонному механизму. Понятно, что говорить о фотонном ме ханизме переноса тепла имеет смысл только тогда, когда длина волны кванта электромагнитного потока меньше размера пор, но больше его длины свободного пробега в поре. Математически это выглядит так:
КХ ф < (/?), где (R) - средний размер пор. В некотором смысле это
47
неравенство приводит к ограничению и на средний размер пор. Реально длина пробега фотона может быть, скажем, 10_3 см и больше. Поэтому, во всяком случае, средний размер пор (R) должен быть по крайней мере не менее чем 10~3 см.
Для произвольного типа композита с произвольным (пока что!) типом наполнителя, о чем, собственно, мы и будем сейчас говорить, очень важен анализ установления внутреннего равновесия как внутри частицы мелкодисперсной фазы, так и в основной матрице. Кроме того, необходимо принять во внимание и взаимодействие между ними.
Чтобы решить поставленную задачу, следует воспользоваться весьма удобной, хотя и довольно сложной (в плане проблем вычисли тельного характера) формулой Кубо, одной из основных формул теории неравновесных явлений. Запишем общее выражение для тензора теп лопроводности в следующем наиболее общем виде, учитывающем теп ловые потоки и в основной матрице, и в примесной фазе [2.10]:
*а»(ТЛ’)= |
(2.7) |
= (NVr2)- ' Нш X |
7«"'<’|" ‘2> <[59ya(0),89yv(T1- т 2)]><*(1, —т2), |
Е=^0 ; |
.0 |
где греческие индексы обозначают координаты х, у, z, V - объем композита, N - полное количество атомов во всей структуре композита (в фазе "0" + в фазе "1"), "отклонение" оператора теплового потока от равновесного значения есть
5<7;а ( * ) = Е Ш ]к и q:jk i n jk ( * ) “ ( n jk >1- |
(2 -8) |
к |
|
где оператор числа частиц, записанный в гейзенберговском представ лении, есть
п]к(т.) = е |
l j k l |
х)Л |
(2.9) |
|
Это значит, что j = 0, 1, где индекс "0", как всегда, характеризует основную матрицу, а индекс "1" - примесную фазу. Спектры соjk = = со; (к) = Ej (к) / Й есть произвольные спектры квазичастиц обеих фаз. Для фононов, например, частота будет соуk =Vjk, где v jk =CjS, для
магнонов (см. главу 1) г(к) = \ieH + Jex(ak)2, поле Н = Н0 + На, Н0 - внешнее магнитное поле, роль которого для основной матрицы играет обычное внешнее магнитное поле, а для частиц примесной фазы его роль переходит к полю магнитной индукции, под действием которого находятся частицы примесной фазы (см. главу 3), На - поле анизо тропии, Jex - обменный гейзенберговский интеграл, к - волновой век тор.
Подчеркнем, что сейчас мы привели спектр магнонов для ферро магнитного вещества, как наиболее простой. Для антиферромагнетика этот спектр иной и, кроме того, более сложный.
48
Равновесное распределение частиц описывается бозевской функ цией, которую представим таким образом:
<Пд> = [*'’“* ' Т - 1]’1, |
(2.10) |
причем, так же как и во всем предыдущем тексте, будем пользоваться энергетической системой единиц, полагая постоянную Больцмана, рав ной единице. Усреднение выражения (2.7) проводится по равновес
ной матрице плотности р = Z- 1e-x /r, где Z = Sp{e~HIT], Я = Е(Я0; +
+Я;уint), Я0, - основной гамильтониан системы в фазе у, а Я '- int -
гамильтониан взаимодействия, учитывающий взаимодействие как внут ри фаз у, так и между ними. В силу аддитивности обоих потоков выражение (2.7) может быть переписано в раскрытом виде с помощью введения объемной концентрации Е,* В самом деле, учитывая выра жение (2.8), находим
—(VNT ) |
h lim |
J |
^x|l —^ |
XX QJo*icoojt2L,o(^iX,o(^2)'®i(ki’k2,/c) + |
|||
|
|
Е=Н_о |
( |
kj k2 |
|
|
|
+ X X |
|
|
(^1X' l(^2)^2(kl»k2» |
+ |
|
||
k, k2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ X X |
m0Jk|® \ k 2 V |
0 ( k |
{ y j l ( k 2 ) B |
2 ( k l t k 2 ^ ) |
+ |
|
|
k, k2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ X |
X |
C0lifc|m lJt2L'o(^ lX 'l(^ 2)fi4 (k l»k 2*t ) |
(2.11) |
k| k2
Заметим здесь, что мы молчаливо перешли от анизотропного тензора теплопроводности, который на самом-то деле и должен быть вычислен, к изотропному тензору х. Этот произвол станет понятен, если учесть, что при усреднении тепловых потоков в них будут фигу рировать только квадраты скоростей, а, следовательно, все выражение (2.7) будет пропорционально 8ар. Те слагаемые, которые дадут не диа гональный вклад в хар, будут иметь больший порядок малости по срав нению с членами, представленными в выражении (2.11), и, таким об разом, ими можно пренебречь. Функции
В ] (к!,к2,х) = <(&*,Ь кх - { п щ ) ) [ Ь к 2 Ь к г ](х)>,
В2(к1,к 2,х) = <(4 1с, 1- (п щ ))[bt2bk2](x)), |
(2.12) |
В3(к,,к2,х) = ((bkjbkx - (п0кх ))[с+к2ск2](х)>,
В4(к „ к 2,х) = <(ck{cki ~(nlki ))[4гскг ](х)>,
49
где операторы числа квазичастиц в фазах "О" и "1", есть
[Ь+кЬк](х) = п0к(х) = е~^H°inl |
bke^ H°inl(Т)Л, |
(2.13) |
[ckck](-z) = л,*(х) = е~]ЩыШ\ 1 с ке1НумШх
Мы обозначили операторы рождения (уничтожения) в различных фазах не индексами "О" и "1", а разными буквами. Это связано просто с соображениями удобства в дальнейшем.
Гамильтонианы взаимодействий Н0м и tflint будут приведены далее по мере надобности. К большому сожалению, решение данной задачи невозможно выполнить без абстрактных формально вводимых в рас смотрение функций Грина. Применяемая в вычислениях диаграммная техника, основанная на температурных функциях Грина, требует, ко всему прочему, еще и введения в рассмотрение следующих восьми кор реляторов:
А *,*2 (Х1“ Х2) = (Тт\ bkl (Xj )bk] (х2)(с*2с*2 - (n,*2)) | ),
Ak3k2 (X1“ X2 ) = Ол] 4 , (X1) b l c { (x2)(CJk2 C k 2 |
~ |
(nl*2 )) | )» |
|
|
Ak,k2 (X1~ X2) = (^T| c*, (X1)c*, (X2X^*2 ^k 2 |
~ |
( n 0 k 2 )) | )» |
|
|
A k 3k 2 ( X1 - X2 ) = ( ^ T | c k3 ( X1 )c *, ( X2 X ^ * 2 bk2 ~ |
( n 0k2 )) | )* |
(2 -1 4 ) |
||
Ak (XI -X2) = (^T| b k ( X i ) b k ( X 2 |
) b k b k |), |
|
|
|
Ak[k2 (XI _ x2) = ( T x \ b k i (T1) b k 2 |
(X2)^jt2^2 |
| ), |
|
|
Ak (X1” X2 ) = (^T| c k (X1) c k (X2 ) c k c k | )» |
|
|
|
|
Ak,k2 (Xj -X2) = ( T x| C k+i (X,)C*2 (X2)CJ2% |
J ). |
|
Подчеркнем, что все операторы записаны в представлении Гейзенберга в полной аналогии с формулой (2.13). В дальнейших выкладках нам еще понадобится связь между корреляторами В]2 и функциями Грина
D*£ и A*k,k2 • Имеем для них
- х 2) = AV(T, - т2) |,|>Т2 |
(2.15) |
|
^21.^2(Т1—тг) = |
-Х 2)1т,>х2 e<°u<Tl |
Z1> |
Итак, все необходимые для дальнейших выкладок корреляторы заданы. Перейдем теперь к гамильтонианам взаимодействий. Как уже знаем, наибольшее затухание происходит от упругого механизма взаимодействия квазичастиц.
В этой связи введем следующее взаимодействие, связанное с упру гим рассеянием на дефектах, к которым можно отнести, например,
50