книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf
|
|
|
|
|
|
2.6. Поверхностные волны Рэлея |
|
|
101 |
|||||||||
Решения уравнений |
(12) представим в виде |
|
|
|
||||||||||||||
(14) |
|
|
Ф* = |
ЛеРх', |
%* = |
Лepx,, |
ф* = |
ЛеРх'. |
|
|
||||||||
Подставляя |
(14) |
|
в |
(12), |
приходим |
к характеристическому |
||||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(15) |
(р2 - |
А2) [I2 (р2 - |
А2)2 + |
(ч, - |
1) (Р2 - |
А2) - о2] = О |
||||||||||||
с корнями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 6 ) |
Р , 2. э, , |
- |
± |
{ |
V |
+ |
Jjr [1 - |
Ч , |
± |
( ( 1 - |
Ч | ) 2 + |
4 а 2/ 2) ' ' > ] } \ |
||||||
|
|
|
Рб, 6 — i |
k , |
|
Pi = |
— Рз, |
|
Рг = |
|
P-t* |
|
|
|||||
Таким образом, получаем решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(17) |
ф* = |
Л1е~р,Х + |
A2e~^Xt + Лэе^'Л-Л^1*1+ |
Аье~кх'+ |
Аьекх\ |
|||||||||||||
(18) |
х*= А1е~&,х,-\-А2е~$зХ1+ |
A3e$lXt + |
Л4еРаХ1 + |
Аье~кх' + |
Афкх\ |
|||||||||||||
(19) |
ф* = |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Л3еР‘Х| + |
Л4е^х>+ |
1 5е~кх‘+ |
А6екх'. |
|||||
Подставляя |
(17) |
и (18) |
в уравнения |
(7), получим следующие |
||||||||||||||
соотношения между постоянными Л,- и Л,-: |
|
|
|
|
||||||||||||||
(20) |
|
Л) — К\А\, |
А2— %2A2f Л3— «1Л3, Л4 |
и2Л4, |
|
|||||||||||||
|
|
|
Л5= 0, Л3= 0, Л5= 0, Л6= 0, |
|
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cii (р? ~ * 2+ ffD |
|
|
|
|
‘ii(P i-* 2+*?) |
|
||||||||||
|
X l = |
— |
|
х ,= |
— |
|
||||||||||||
|
|
|
р? - * 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя |
(18) |
и |
(19) |
в |
уравнения |
(7), получим зависи |
||||||||||||
мости |
_ |
|
_ |
|
|
|
|
__ |
|
|
|
_ |
_ |
|
_ |
|
||
|
Э0Л1= |
Л1, |
э0Л22 = |
Л2, |
э0Л33 = |
Л3, |
ЭоЛ4 = |
Л4, |
|
Л5ф 0, Л6=Ф о*
Аналогично формируется решение уравнения (13). Полагая, что
(22) |
Я’ = Bev* К* = Ве™, |
получим из уравнения (13) следующее характеристическое уравнение:
(23) |
II (у2 - |
k2f + |
(ъ - |
1) (у2 - |
V) - |
о\ = |
0 |
с корнями |
|
|
|
|
|
|
|
V,. 2, , |
, = * |
{ Ъ?+ |
Jj. [1 - |
ч, ± |
(О - |
Ч2)2 + |
4а2/2)''.1 }'•, |
(24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У| = |
— Y3» |
Y? = |
- Y v |
|
|
102 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
Следовательно, |
разрешающими уравнение |
(13) |
функциями |
|||||
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
Я* = |
Вхе~Y.*> + |
В2е~ |
+ |
Въе^х' + |
В4е№ , |
||
(26) |
К* = |
Bxe ~ ^ + |
В2е-ъ*' + |
/Г3е*‘*' + |
В4е*’*, |
|||
где |
|
|
_ |
|
Я3 = Т ^ з, |
|
|
|
|
ЪХ*=Х{ВЬ |
В2*=Т2В2, |
Я4 = |
Т2Я4, |
||||
_ |
*44 W - |
*2 + *2) |
_ |
^4(Y2-fe2+a^) |
||||
Т‘ ~- |
|
Y2 _ A |
’ |
Т2 ~ |
|
y2 _ k2 |
В неограниченном пространстве волны ф и %, а также Н и К распространяются отдельно, независимо друг от друга. В рас сматриваемом здесь случае упругого полупространства х\ ^ О эти волны между собой связаны посредством краевых усло вий. В случае упругого полупространства представим решения в виде
Ф* = |
Ахе-Ь* + А2е-Ь*‘, |
+ |
А2е~^х', |
|
|
Ф* = |
Axe~^Xt + A2e~^Xl + Лбе-0-'*, |
||
(28) Я* = |
Bxe - M |
+ В2е~ъх\ |
К4= Вхе~^х\ + |
В2е ~ м . |
Полагаем здесь, что корни р|, j}2, Yi. Y2 вещественны и поло
жительны. Имеем пять независимых постоянных: А х, А2> Л5, Ви В2. В нашем распоряжении имеется также пять краевых условий
<7ц (о, Х2, t) = О, о12(0, х2, /) = 0, Яц(0, х2, 0 = 0,
£ 12(0 , x2t 0 = 0, э0[ф. i] + Pi L-o = 0.
Из формул (2) и (3) § 2.3 получим следующие выражения для напряжений ац, <Ji2 и величин Яц, Е\г\
Оц = 2с44н1(! + |
с12{щ, 1+ н2(2) + |
2d44P1( 1 + d l2{Piti + |
Р2.г)» |
|
ш ) 012=С44 ^ 2' 1 |
М*'2^^ |
^°2,1 |
2^’ |
P |(2), |
Вп ==2d44M1>1-j- dX2(uu |
! -f- м2>2) + |
2Я44Р|, J + 6]2(Pj,i + |
||
В12 = d4A(u2t j + |
ttlf2) + |
644(P2, i + |
Pi. 2) 4* 677(P2, 1— Pi, 2)* |
|
Использование краевых условий |
(29) приводит к системе |
пяти однородных алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются функциями величины k2. Приравнивание нулю определителя системы уравнений приводит к характери стическому уравнению для величины /г2. Определим затем ве щественные корни этого алгебраического уравнения; его наи меньший вещественный корень определяет фазрвую скорость v * a>/k распространения поверхностной волны Рэлея в упру гом полупространстве.
5.7. Основная энергетическая теорема |
103 |
Мы привели только схему решения задачи о распростране нии поверхностной волны Рэлея в упругом диэлектрике. Слож ность задачи не позволяет сделать общих выводов; необхо димо произвести численные расчеты для заданного диэлек трика.
2.7.ОСНОВНАЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
Вградиентной теории Миндлина мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений
(1) |
|
О ц %, + |
X t = рй*, |
|
(2) |
|
+ |
+ |
|
(3) |
|
“ “ э0Ф.и + Pi, i = 0 |
||
и с определяющими соотношениями |
|
|||
(4) |
о ц = |
C i j k i H t |
4* f k i j P k + |
d ki i j P t 4 k> |
(5) |
Eji — dijki&M + ikt}P k + |
bm Plt к 4 Щи |
||
(6) |
= |
4"a ikP k 4" i m p i. k• |
||
Помножим уравнение (1) |
на |
и проинтегрируем по об |
||
ласти тела. Получим уравнение |
|
|||
(7) |
^ (от/г. / ~i~ |
— рм*) |
г/и «= 0. |
|
|
в |
|
|
|
После преобразования этого уравнения и введения вектора контактных сил pt = Ojitij приходим к соотношению
(8) |
J ptvt da 4- J Xtvt dv |
4- \ |
dv, |
|
|
дБ |
В |
В |
|
Ж\ piitot dv.
В
Умножим теперь уравнение (2) на Pt и проинтегрируем по области тела
(в) |
|
$ (* /!,/+ * { • - Я |
|
|
|
В |
|
Положим £'5= |
0. Преобразование выражения (9) приводит к |
||
уравнению |
|
+Pfi.,) d«. |
|
(10) |
$t,P, da =5 (Я,А,- |
||
|
дВ |
в |
|
£< = Eittij.
104 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
Наконец, используем уравнение (3), которое запишем в виде JOk, k = 0. Из выражения
(11) |
^ £)fti fe<p du = 0, Я, = э0Е, + ^ |
получим |
в |
|
(12)— J DiWi da = — J Pfq>, {dv — э0 J Ф. iEt dv.
дВ |
в |
в |
Складывая равенства (8), (10) и (12), приходим к соотноше нию
(13) J |
PiVi da-\- ^XiVi dv + |
J |
£гPt da — ^ |
= |
дБ |
В |
дВ |
дВ |
|
|
= ^Ж~ ^ (*/*ч “Ь ^ liPi. / — E^Pi) dv — э0 J Ф. iEt dv. |
|||
|
в |
|
|
в |
Подставим в первый интеграл правой части (13) определяю (14)щие соотношения (6). В результате получим выражение
-$F(X + <UL)-3<l \<t,lE,dv =
В
|
|
= |
J |
PiVida-f J h P i d a — |
^Dt(pnida+ ^XiVt dv. |
||
Здесь |
|
|
дВ |
дВ |
|
дВ |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
<UL= |
V2CilklEi}ekl + %ЬцнРи JPUk + |
I + |
||||
|
+ |
dijkiPj, fiki + fiikPfyk + iiikPiPk, t> |
= ^ U Ldv. |
||||
Уравнение (14) можно представить также в виде |
в |
||||||
|
|||||||
(16) |
-^ (Х + |
<ЭД= J PiVida + |
^XiVidv + |
|
|||
|
|
|
|
дВ |
В |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ hPi da — J Ьмщ da, |
|
|
|
|
|
|
|
ев |
ов |
|
|
|
|
41 = <UL + j |
J э0ф, гф. i dv. |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
Это другой вид уравнения баланса энергии. Изменение во вре
мени кинетической и |
внутренней энергий равно |
мощности |
|
внешних сил и двум |
поверхностным интегралам, |
связанным |
|
с электромагнитным полем. |
|
(1) |
|
Перейдем к теореме взаимности. Выпишем уравнение |
|||
для двух систем причин и следствий, последовательно |
дей- |
срующих на упругое тело. Величины, связанные со второй системой, обозначим штрихами. Будем рассматривать только
2.7. Основная энергетическая теорема |
105 |
статическую задачу. Из уравнения (1) и аналогичного ему уравнения, записанного для системы со штрихами, получим следующее тождество:
(17) |
$ (ОЦ' ju\ — a'tl fa) dv + J (Л>; — X\ut) dv = |
0, |
|
|
в |
в |
|
откуда |
|
|
|
(18) |
J |
(р.и\ — р'р() da + $ (XiU't — Х'р^ dv = |
|
|
дВ |
В |
|
|
|
= \ M i - |
i v ■ |
|
|
в |
|
Подобным же образом поступим с уравнением (2):
<19> |
$ (*,<. а |
- |
£ ;<. а ) * + |
5 (е а |
- |
щ а ) * > = |
|
|
|
В |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8=5 |
\ |
^ 1 ~~ |
f t ) |
Преобразуем (19) к виду |
|
|
в |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
(20) |
S (£ Л |
- |
ЙР,) da = J (£,Д , - |
P J A ,) dv - |
|
|||
|
дВ |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 {ELl P l - |
E'Lp,) dv + |
5 (ф, ,Р', - ф[ ,Р,) dv. |
|||
|
|
|
В |
|
|
в |
|
|
Сложим уравнения (18) и (20). Получим |
|
|
|
|||||
(21) |
5 (Piu' - |
p’tu,) d a + 5.(Е,р ; - ?;р,) da + |
\ ( Х / - Х [ и , ) dv=* |
|||||
|
дВ |
|
дВ |
|
|
|
В |
|
|
= \ {{аЦВЧ ~~ aliei]) |
( ^ 7 Д . |
/ “ |
|
Д i) “ “ |
|
||
|
в |
|
-(£fp;-е г р ,)} d v + |
\ (ф.,p;-i |
A ) to- |
в
Рассмотрим последовательно входящие в (21) разности, ис пользуя определяющие соотношения
(22) |
<Уцв{1 |
= |
fkij {Pketi |
^keij) ~Ь |
(Д |
(23) |
EJtp 't, - |
е 'пр {1, = dm (eklp'it , - в ; л ,) + |
|||
|
|
+ |
ы, {РА. |
, - |
(biA,.,- Ь?‘Р>,). /)•+ |
(24) - Е\Р\ + E’Lp, = fM (H A - L' A I) +1ш (PI. A I ~ P I. A ) -
106 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
Легко заметить, что сумма левых частей уравнений (22)—• (24) приводит к выражению
М |
- |
°«е</) + (ЕЛ |
/ - |
E'ap i. /) - (Е$р ‘ - |
E<Lpd = |
|
|
|
|
|
|
|
“ |
I ~~ |
/• |
Поэтому уравнение взаимности работ (21) примет вид |
|
||||||
(25) |
\ |
(р,«; - р>,) da + |
J ( t f t - t ' f , ) d a + \ |
(* ,В; - Г Л ) л> = |
|||
|
зв |
|
|
ав |
в |
|
|
|
|
= S и |
л |
/ - |
, ) d v + \ (ф. л - ч>: л |
) |
Рассмотрим оставшееся дифференциальное уравнение (3). Очевидно, справедливо тождество
(26) |
\ (p i, <ф' — р /. Л1) |
= эо $ (Ф. «ф' - Ф!«Ф) |
или |
в |
в |
|
|
|
(27) |
f (P;<p t - P t f t) dv = |
э0 $ (ф - ф' ,ф) я, da — |
В |
|
дБ |
— 5 |
( р у — |
= — 5 (^ .ф7—D W ) ni Ла |
ев |
|
дБ |
Исключая из (25) и (27) общий член, приходим к оконча тельному виду теоремы взаимности работ
(28) |
J |
da + |
J Xfti] dv + J |
P d a + |
J Dj(p'nl da + |
|||
|
дВ |
|
В |
дВ |
|
дв |
|
|
+ |
^ b'l(jpi'jdv = |
J р\и^а + |
^X'pfiv + |
jj |
da + |
|||
|
В |
|
|
дв |
В |
|
дБ |
|
|
|
|
|
|
+ |
J D/tq>ni da + |
J &°4Р^ i dv. |
|
|
|
|
|
|
|
дВ |
|
в |
Заметим, |
что для |
краевого условия |
Ецщ = |
£/ = |
0 пропадает |
второй из поверхностных интегралов. В случае теории Тупина пропадают члены, содержащие функции и Ь°1Г
2.8.ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
ИПОЛЯРИЗАЦИИ Г34)
Рассмотрим полную внутреннюю энергию, проинтегриро ванную по области тела В и области В'% окружаю
|
2.8. Поверхностная энергия деформации и поляризации |
107 |
|||
щей тело: |
|
|
|
|
|
(1) |
^ U d v — ^ (t/L + -g-90q), *ср, Л d v = [ u L d v - \ - |
|
|||
|
в* |
в* |
в |
|
|
|
|
|
+ у |
J э0ф. /ф, i dv, |
|
|
|
В' = |
В + В \ |
в* |
|
|
|
|
|
||
Энергию UL = |
UL(eij,Pi,Pi,j) |
представим в виде |
(см. уравне |
||
ние |
(14) § 2.2) |
|
|
|
|
(2) |
UL= b^P^ t + ^I^O’ijP[Рf + 'ЬЬцыРjt tP /(* + ll2ctjkieijeki + |
+ dllklPj. fikl + fiikPle!k + UjkPiPk./•
Легко убедиться в том, что выражение (2) с учетом опреде ляющих соотношений
(3) |
|
|
а ч = |
CiikiHi + fktjPk + dkUjPu k, |
|
|||||||
(4) |
|
|
Вij |
|
|
|
|
~Ь / * , Д |
~t~ biiklPlt k -|- b°tj, |
|||
(5) |
|
- |
£ / = |
fjkieui + |
aikp k + i]kip i, k |
|
||||||
удается представить в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||
(6) |
|
2 u L = |
< v „ |
+ |
|
Д |
<- |
Б Р |
, + b % P ,. |
|||
Заметив, что |
aHeU — (aijuj). |
|
iUj, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
(7) |
|
|
Bijp i, i = |
Д |
/ РД i — Eijt tP]t |
|
||||||
|
|
|
Ф. iФ. 1 = |
(Ф, <ф). i — Ф, «Ф, |
|
|||||||
приведем |
уравнение |
(1 ), |
используя преобразование Гаусса, |
|||||||||
К в и д у 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
^Udv = |
- T |
S ( a 4 . 1 UI |
+ |
Б И. tp i + |
Б Р , + |
h f . lit ) d v ~ |
|||||
|
в* |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
- Т |
|
•Ф dv + |
J |
\ (b]fPt + |
Oyytty + |
EllPj + |
Э01ф, , | ф) nt da. |
|||||
эо $ 9 . ‘ |
|
|
OB |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая задачу как статическую, используем уравнения поля
° i l . i + ^ / = 0,
(9) |
Вц, i + Bj - |
Ф,, + |
E°f = 0, x e B, |
|
— э0ф. и + |
p u i — 9, |
|
(10) |
Ф, a |
= 0, |
x GE B', |
•') Полагаем, что тензор Ь/у постоянен, т. е. не зависит от положения
точки и времени.
108 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
и значительно упростим уравнение (8). Тогда получим |
|
||||
(11) |
$£/do = |
i $ ( j r (B( + £JP,)do + |
|
|
|
|
В* |
в |
|
|
|
|
+ т \ |
\ ° а и1 + |
E a P i + b%p i — (— эо| Ф. i | -Ь p i)] |
da. |
|
|
дВ |
|
|
|
|
Предположим, что |
отсутствуют массовые |
силы (Xj = |
0) |
||
и что не существует внешнего электрического |
поля (£° = |
0). |
В этом случае видно, что в правой части выражения (11) ис чезает объемный интеграл. Остается лишь поверхностный ин теграл
(11') S V,d v = 1 5 [<гЛ + £ <(Р(—(—э01<р I+ Р , ) + Р № ] " ,da-
В* дВ
Положим далее, что тело свободно от нагрузок на поверхности дВ. Два оставшихся краевых условия также будут однород ными:
(12) vfijtii — 0, E{jtii = 0, (— Эо I ф, i | + Pi) ni 1=10.
Выражение (11') упрощается и остается только член
(13) ^ U d v = ± J b^Pjti.da.
В* дВ
В рассматриваемом случае отсутствия массовых сил и внешнего электрического поля и при однородных краевых условиях интегральная внутренняя энергия выражается в виде поверхностного интеграла (13). Это выражение равно нулю, если положить 6^ = 0. Выражение (13) назовем поверхно
стной энергией деформации и поляризации.
На основе решений Този [53] и Гермера, Мак-Рэя и Харт мана [18] энергию деформации и поляризации (13) можно трактовать как ту часть энергии, которую следует добавить к энергии межатомных связей, чтобы получить энергию, необ ходимую для разделения материала вдоль поверхности А = д В . Покажем, что выражение (13), описывающее поверхностную энергию деформации и поляризации, есть отрицательная ве личина. Это вытекает из следующих рассуждений. Учитывая (1), уравнение (13) можно записать в виде
$ [(UL - |
И А , + т эо<р. ,9.,)] do= j $«,И А da - |
5 И А . А - |
В* |
дВ |
В* |
ИЛИ |
$ [ ( i +т ULэ-«фИ.л А<)]dv. + т $ " |
( Н А d a |
(14) |
В* |
дВ |
|
2.8. Поверхностная энергия |
деформации и поляризации |
109 |
Но объемный интеграл положителен. Отсюда следует, что |
|
||
(15) |
$ n tfiP f d a K O . |
|
|
|
дВ |
|
|
Определим величину |
|
|
|
(16) |
^ = т № |
# Ц |
|
как поверхностную энергию деформации и поляризации, отне сенную к единице поверхности. Эта величина называется по верхностным натяжением.
Рассмотрим простой пример упругого полупространства х\ ^ 0 , свободного от нагрузок на границе. Задачу трактуем как одномерную, зависящую от переменной х\. В этом случае имеем дело со следующей системой уравнений:
|
спд]их+ d ndfPl = |
0, |
|
(17) |
йпд]и{ + (Ьпд] — а )Р х—дх<р = |
0, |
|
|
— э0с^ф + |
= |
0, |
которую надо решить с учетом однородных краевых условий
*11 — + ^ndiP1= 0
(18) Е\{ = d\\d\Ux+ &n^iPi -f- &о= 0 > при х{ = 0,
э0 {д^+ — 5,ф“) + Pi = 0 )
«!-»(), Pj —>0, ф -»0 при Xi |
оо. |
К решению системы уравнений применим способ, предло женный в § 2.3. А именно, подставляя
(19) |
Н1 = д,ф, |
/>i=d,x, К = Н = |
0 |
||
в (7) |
и (8), получим систему уравнений |
|
|
||
(17') |
V M 5+ (ьпЩ ~ а) * - |
Ф= |
°* |
|
|
|
|
— 30d^ + ajx = |
0 |
|
|
с однородными краевыми условиями |
|
|
|
||
|
а? (СцФ+ |
= о |
|
|
|
(18') |
д;(лиф + &пх) + а0= о |
при Xi = |
0, |
—э0[^ф] + ^1Х = 0
ф->0, х-*0» ф-^0 при Xi оо.
Введем функции
(20) |
а = спф + с1,1Х» Р = Х — эоФ> |
110 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
которые удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
|
||||||
(21) |
|
<?2а = |
0> |
020 = |
0. |
|
|
|
||
Отсюда |
а = А + |
Вх\, |
0 = |
С + Dxь |
Но А = |
0, |
В = |
0, С = 0, |
||
D — 0, |
так как при xi-^oo должно быть а->-0, 0->О. По |
|||||||||
этому из соотношений (20) имеем |
|
|
|
|
|
|||||
(22) |
|
'Ф= |
— (dn/cn)%, |
ф= э0"1х. |
|
|
||||
Подставляя (22) в (17'), получаем уравнение |
|
|
||||||||
(23) |
|
|
( a ? - i//f ) x = o , |
|
|
|
||||
решение которого имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||
(24) |
|
yi= |
Ee~Xil11 |
при |
|
Xj^O, |
|
|
|
|
где |
|
сиьп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А х |
> 0, |
|
й = а + |
Эо* |
|
|
||
|
'? = |
Cnfi |
|
|
|
|
||||
Следует удовлетворить еще краевым условиям. Легко про |
||||||||||
верить, |
что. условия |
(18') 1 , 3 |
выполняются |
тождественно. Из |
||||||
условия |
(18') 2 получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
(25) |
|
|
|
Е = |
- bjd. |
|
|
|
||
Таким образом, нам известны функции |
|
|
|
|||||||
(26) |
|
|
Ф = — |
|
|
$ = ^ Ь - е - х'1К |
||||
|
|
|
|
* 1 ^ 0 . |
|
|
|
|
|
|
При х\ < 0 полагаем, что <р = |
0. |
|
|
|
|
|
||||
Перемещение щ и поляризацию Р ь а также потенциал ф |
||||||||||
находим по формулам |
(19): |
|
|
|
|
|
|
|||
(27) |
и1= |
|
P l = |
P°le~Xllll} ф= фQe~Xlllt, |
|
|||||
где |
ио_ |
badо“ II |
по__£о_ |
|
0 ____ |
VQ |
|
|
||
|
"1 |
hdcn • |
хr 1i |
/,Д.л * |
ф ” |
йэ0 |
|
|||
Помимо напряжения Оц в полупространстве х\ |
0 возникают |
|||||||||
также напряжения а2г и а33, при этом |
|
|
|
|||||||
(28) Ц22=сг33 = ^11м1, 1+ ^12^1,1 — |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
_ |
СцЬр / С12 |
_ (?12 4 / fr||Cl1 |
_ |
1 -Jfi/Л |
|||
|
|
|
|
|
V сн |
|
/ V |
|
|
/ |
Полученные функции «i(*i), P I (*I), q>(ЛГ1) экспоненциально убывают при Xi > 0, а коэффициент затухания /i — постоян ная положительная величина. Поверхностную энергию дефор мации и.поляризации определим по формуле (16):
(29) |
и 5= - Ъ Ц ( 2 Щ . |