книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf
|
|
1.12. Теория |
термопьезоэлектричества |
|
|
61 |
||||
стояния. В естественном состоянии должно быть оц = |
0 для |
|||||||||
е(/ = |
0, Ek = |
О, |
Т = |
Т0. |
Аналогично |
должно |
быть |
А = 0 |
||
для |
е,-/ = 0, Ek = |
0, |
Т = |
Т0. |
Примем |
также, |
что |
энтропия |
||
отсчитывается |
от |
уровня |
естественного состояния, |
так что |
||||||
So — S (0,0, То) = |
0. Следовательно, имеем следующие |
опре |
||||||||
деляющие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
||||
(16) |
|
Оц — ciJki&ki — Yi/6 — ekifEk, |
|
|
|
|||||
(17) |
|
|
5 = |
У//в/у + |
с80/7о+ giEit |
|
|
|
||
(18) |
|
Di — ешгк1 + |
gfi + 3ikEk. |
|
|
|
Первое из этих уравнений представляет собой уравнение Дюгамеля — Неймана, второе выражает энтропию как функцию переменных е/у, £*, 0, последнее представляет электрическое смещение.
Заметим, что из равенств (14), (16) — (18) можно из влечь следующие соотношения:
псп |
дац |
— d° kl |
д° 1 |
- дЕ1 |
|
|
|
1 J |
d4i |
~~ |
' |
dEi |
dDi ’ |
|
|
|
до a |
|
dD. |
до п |
dS |
dS |
dD, |
<») |
Щ — a f" |
Из соотношений |
(14') имеем |
(21) |
Cijki = Скщ, Э,-/ = Э/у. |
Учитывая свойства симметрии тензоров оуу и е»-/, получаем из
равенств |
(16) |
|
(22) |
с1]м = сцы = с1ц1г, Yt/ — Y/i> |
вщ — вкЦ' |
В общем |
случае анизотропии имеем |
21 постоянную Сцы, |
18 пьезоэлектрических постоянных <?*//, 6 диэлектрических по стоянных э//, б постоянных у*/» 8 постоянные gt и постоян ную Се. Последняя отражает свойства тепла при постоянной деформации. К числу постоянных следует добавить 6 по стоянных kij. В итоге имеем 61 материальную постоянную. Заметим, что названные здесь постоянные с,у*/, £*//» Щ имеют иное значение, чем представленные в § 1.5. Там они отно
сились к адиабатическому |
состоянию, |
эти же измеряются |
в изотермическом состоянии |
(см. обозначения (14') )• |
|
Нетрудно перейти от определяющих |
соотношений (16) — |
(18)к соотношениям, справедливым в адиабатическом со
стоянии. В этом последнем |
состоянии следует |
принять, что |
|
qi — 0, W — 0. Если |
учесть |
это обстоятельство |
в уравнении |
баланса энтропии |
|
|
|
(23) |
TS = |
— qt, i + |
|
52 Гл. 1. Основы линейной теории пьезддлектричебтвй
то прийдем к выводу, что £ = 0. Из равенства (17) имеем
(24) |
0 = - - ^ (YI/8,7 + g,E,)- |
|
I'E |
Принимая к тому же, что 5 = 0, получаем из (17)
(25) |
е = —-рЧу,fin + giEtl |
Подставляя (25) в определяющие соотношения (16), (18), получим
(26) |
= |
Cijki4i ~ |
$kijEk> |
(27) |
Dt = |
ёш&м + |
9{kEk, |
где |
т |
|
т |
Cijkl ~ Cijkl + |
|
||
VijVkh &kij = &ki] ~r~ \i/gk> |
To
3lk — 9tk — T~§igfr ce
В случае изотермического состояния имеем 0 = 0 или Т = То. Определяющие соотношения (16) — (18) примут упрощенный вид
(28) |
oi} = |
cUki4t — ekijEki |
(29) |
Di = |
бш8,г/ + 3ikEjr |
Этот вид справедлив для стационарных процессов. Подста вим определяющие соотношения (16) — (18) в уравнения дви жения и уравнение электрического поля
(30) |
Ojit i + Xi = |
piii, |
DUi=* 0. |
Эта подстановка с учетом зависимостей |
|||
(31) |
8i/ = 7г {Щ, / + |
«/. ;)> |
Ен = — Ф. k |
приводит к системе дифференциальных уравнений
(32)ci]kiuk, // + еы№, kj ~ Vi/®. / = P&u
(33) |
etkiuk, и — p, ki + gfi, / = 0. |
К равенствам следует добавить уравнение теплопроводности. Оно получается из уравнения баланса энтропии (23) с уче том определяющего соотношения (17) и закона Фурье (12) в виде
(34)k„T. ц + V — T (у„ё„ + gtE, + -fr в) •
Но Г = |
Г0(1 Н-в/Го). Принимая, что |
|0/7’о| < |
1, линеаризуем |
уравнение (34), которое примет вид |
|
|
|
(36) |
ktfi. {, - се0 - То (уцгп - |
£ гф, ,) = |
- W. |
1.12. Теория термопьезошктричества |
63 |
Равенства (32) и (33) и уравнение теплопроводности (35) образуют связанную систему дифференциальных уравнений теории термопьезоэлектричества. К этой системе следует до бавить новые краевые и начальные условия, связанные с уравнением теплопроводности (35). Краевые условия примем в виде
(36) |
0 = k (х, /) на |
Г5, — k ^ = |
h (х, |
t) на Г6, |
|
|
сш = |
г 5и г 6, |
Г5оГ 6= 0 , |
|
|
а начальное условие — в виде |
|
|
|
||
(37) |
0 (х, t) — I (х), |
х е В , |
t = |
0. |
В частном случае стационарного процесса функции щ, <р, 0 не зависят от времени. Уравнение теплопроводности прини мает простой вид уравнения эллиптического типа:
(38) |
kifl, ij = — W. |
Однако по-прежнему уравнения (32) и (33) оказываются связанными:
(39) |
cijkiuk, ц + |
efei/ф. ki = у ф , ,, |
|
(40) |
£ikiuk, и ~ |
эшФ, ы — ~ |
{• |
Входящая в эти уравнения функция 0 определяется из ра
венства (38). |
|
|
|
|
уравнениям |
(16) — (18), пред |
|||
Вернемся к определяющим |
|||||||||
ставив их в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|||
< *и |
Cm 1 С1122 |
с 1133 |
с 1123 |
с 1131 |
< j l l 2 |
€ и |
|||
° 2 2 |
С1 1 2 2 |
С2 2 2 2 |
С2233 |
С3223 |
с 2231 |
^221? |
9 22 |
||
<*эз |
С1133 |
<"2233 |
СЗЗЗЗ |
с 3323 |
с 3331 |
с 3312 |
£ 33 |
||
* 2 3 |
<•1123 |
С3223 |
с 3323 |
С2323 |
с 2331 |
с 2 }1 2 |
е 23 |
||
<*31 |
Cl 131 |
с 2231 |
с з з з 1 |
<?2331 |
С3131 |
с 3112 |
£ 31 |
||
_<*12_ |
_ С Ц 12 |
<-2212 |
|
С3312 £?2Э12 |
^3121 |
C l212 _ |
|
||
|
С ц 1 ^ 2 11 в з и |
|
|
У н |
|
||||
|
C l 2.2 |
Н 2 2 |
|
С322 |
[ Е |
/ |
У22 |
|
|
|
C i3 |
3 |
е 233 |
С333 |
У зз |
|
|||
|
е2 |
|
|||||||
|
C i2 |
3 |
е 2 2 3 |
|
е 3 2 3 |
У23 |
|
||
|
|
Е 3 _ |
|
||||||
|
&131 |
e 2 3 l |
|
С33 j |
Уз1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
_ С Ц 2 |
е 2 1 2 |
е 3 1 2 _ |
_Ух2_ |
|
54 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*п |
|
|
~Г>1 |
|
*111 |
* 1 2 2 |
*133 |
* 1 2 3 |
* 1 3 1 |
* 1 1 2 |
*22 |
|
|
|
= |
* 3 3 |
|
||||||||
(42) |
D 2 |
*211 |
* 2 2 2 |
|
* 2 2 3 |
* 2 3 1 |
* 2 1 2 |
|
|||
*2 3 3 |
*23 |
|
|||||||||
|
D*. |
_*311 *322 * 3 3 3 * 3 2 3 * 3 3 1 * 3 1 2 . |
* 3 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L£i2j |
|
|
|
|
|
Эл |
312 |
Э13 |
Ех |
|
S i |
|
|
|
|
|
— |
Э |
Э22 ■Э23 |
е2 |
*— |
g i |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
13 |
$23 эзз_ |
Е з . |
|
.5з_ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
* 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е 22 |
|
|
|
|
|
(43) |
S = [ УП У 2 2 |
У з .3 |
У 2 3 |
У 31 |
У 1 2 ] |
£33 |
+ki |
52 S3] |
Ег + |
в. |
|
|
|
|
|
|
|
^23 |
|
|
|
Ез. |
Т0 |
|
|
|
|
|
|
£з'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l_*12j
’Коэффициенты сцни екц, эц были подробно обсуждены в § 1.10; их матрицы были даны для большого количества кристал лографических систем и классов. Обсудим теперь вид мат риц уц и gi.
В классе 1 триклинной системы существует 6 различных -коэффициентов уц и 3, различных коэффициента gi. Зато в
классе 7 имеем уц Ф 0, но g%= |
0 при г = |
1 ,2 ,3 . |
|
|
|||
Для моноклинной системы запишем следующие матрицы: |
|||||||
|
класс |
2 |
|
класс m |
класс 2}т |
||
|
Уи |
|
|
Ун |
|
П 1 |
|
|
Угг |
О |
|
У22 |
|
У22 |
0 |
(44) |
Узз |
|
Узз |
|
Узз |
||
#2 * |
|
О |
О |
||||
О |
|
0 |
О |
||||
|
о |
|
|
0J |
|||
|
Уit |
|
_£з_ |
Уз1 |
|||
|
|
|
Узх |
|
|
||
|
О |
|
|
О |
|
О |
|
Ромбическая система характеризуется следующими мат |
|||||||
рицами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
классы 222, mm |
класс mm2 |
|
||||
|
|
У11 |
|
|
У.и |
|
|
|
|
Угг |
О |
|
Угг |
о |
|
|
|
Узз |
|
Узз |
|
||
(45) |
|
0 |
, |
о . |
|
||
|
0 |
О |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
О |
|
о |
- 8 3 ,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
о |
|
|
|
1.13. Принцип виртуальных работ |
55 |
|||||||
В тетрагональной системе имеем дело с матрицами |
|
||||||||
классы 4/ш, 422, 42т, |
4]ттт, |
4 |
|
классы 4тт, 4 |
|||||
|
Уи |
|
|
|
|
|
|
Ун |
|
|
Ун |
“о |
|
|
|
|
Ун |
О |
|
|
Узз |
|
|
|
|
||||
(46) |
|
0 > |
|
|
|
Узз |
О . |
||
0 |
|
|
|
|
|||||
|
_0_ |
|
|
|
|
0 |
_£з_ |
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
_ 0 _ |
|
|
|
|
|
|
_ 0 _ |
|
В тригональной системе |
имеем следующие матрицы: |
|
|||||||
|
классы 3, Зт, Зт |
классы 3, 32 |
|
||||||
|
|
|
Уи |
|
|
|
Уи |
|
|
|
|
|
Уи |
|
"о~ |
|
|
Уи |
|
|
|
|
У23 |
0 |
* |
|
Узз |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
_£з_ |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_ 0 _ |
|
|
|
_ 0 _ |
|
||
Гексагональная |
система |
характеризуется матрицами |
|
||||||
классы |
|
6, 6mm, |
классы 6, 6jm, 6/mmm, 6mZ |
||||||
|
Уп |
|
|
|
|
~Уп~ |
|
|
|
|
Уи |
|
о |
|
|
/11 |
О" |
|
|
(48) |
Узз |
|
|
|
Узз |
|
|||
|
О , |
|
|
О . |
|
||||
О |
|
|
|
О |
|
||||
|
|
_£з_ |
|
|
О. |
|
|||
|
О |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о J |
|
|
В регулярной системе имеем |
|
|
|
|
|
||||
(49) |
У// = |
уб/у, |
gt = |
О. |
|
|
Представленные в уравнении теплопроводности коэффициент ты kif образуют симметричный тензор.
1.13. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Для доказательства единственности решений дифферент циальных уравнений термопьезоэлектричества нам будет не-, обходимо модифицированное уравнение баланса энергии.
56 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
Отправным пунктом рассмотрения послужит принцип вир туальных работ Лагранжа
(1) |
J (Xi — рй{) Ьщ dv + |
J |
Pibiiida— ^OijbEijdv. |
|
в |
ев |
в |
Этот принцип требует равенства виртуальных работ внешних и внутренних сил. Примем, что виртуальные приращения бщ совпадают с действительно возникающими приращениями; следовательно,
|
Ьщ = |
ди. |
|
6ei; = |
де{, |
|
ei} dt. |
|||
|
-gf- dt = v{ dt, |
|
dt = |
|||||||
Уравнение (1) |
в этом случае принимает вид |
|
|
|||||||
( 2) |
j (Х{ — p6f) v( dv -f |
j |
piVi d a = J |
|
dv. |
|||||
|
в |
|
|
дВ |
|
|
|
в |
|
|
Подставляя в (2) определяющее соотношение |
|
|||||||||
(3) |
|
Gij = c iJklGkl |
~ |
e kijE k |
— Yi/®> |
|
|
|||
приведем его к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(4) |
-jr ( X + r ) = |
\ x lvl d v + \ |
p f l t d a + U y . i i i f i + e ^ E ^ d v , |
|||||||
|
|
|
В |
дВ |
|
|
|
В |
|
|
где Ж — кинетическая энергия, 2F — работа |
деформаций: |
|||||||||
|
W = |
\ |
[ ViVi dv, |
W = |
\ |
$ с о г н е м |
dv. |
|||
|
|
в |
|
|
|
|
в |
|
|
|
Чтобы исключить |
из уравнения |
(4) |
|
член |
|
yifiifidv, рас |
||||
смотрим уравнение теплопроводности |
|
|
|
|||||||
(5) |
ktfl, и - |
се0 - Т0(уцви + |
g kEk) = |
- |
№. |
Помножим это уравнение на 0 и проинтегрируем по области тела. После простых преобразований получим
(6) J |
Уц&ц® d v = y L jj |
60 у tiida — g k \ QEk dv + |
|
В |
° дВ |
в |
|
|
|
+ 5 |
WBdv |
|
|
в |
|
где
1.13. Принцип виртуальных работ |
57 |
Подставляя (6) в (4), приходим к уравнению |
|
||||||
(7) |
^ ( Х + Г |
+ Я |
+ |
Хо = \ x , v , d v + |
$ p,v,da + |
||
|
+\ m d v |
|
|
В |
дв |
|
|
|
+ |
^ i $ЙВ,,п, da + |
[(eufibiH-gtfifbdt). |
||||
|
В |
|
|
|
|
|
|
Чтобы исключить члены ekij \ кцЕкс1в из последнего интегра- |
|||||||
|
|
|
|
|
J В |
|
|
ла уравнения (7), используем определяющие соотношения |
|||||||
(8) |
|
Dk = |
ekijeц -f- gtfi 4* |
|
|
||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
( ( e ^ E A , - |
g kEk0) d v ------ |
|
|
|||
|
В |
|
|
|
|
\ В |
/ |
|
|
|
|
|
|
~ |
5 Аде. k |
где введена энергия |
|
|
|
|
в |
||
^~ Т |
Э</ S ^ v • |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
Учитывая (9) |
и используя |
равенство |
й щ — О, приходим к |
следующему модифицированному уравнению баланса энер гии:
(Ю) • £ ( J? + *p + * + :? + |
s * 5 fi»e A ’) + x e “ |
|
||||
= |
^X(»(di>+ |
^ pj«jda + -y^ |
J |
06.(nido — |
|
|
|
В |
ев |
|
дв |
|
|
|
|
|
- |
|
^ Dtn w d a + \ m < l v . |
|
|
|
|
|
|
дВ |
В |
Уравнение |
энергетического |
баланса |
в |
виде (10) |
позволит |
нам показать единственность решения дифференциальных уравнений теории пьезоэлектричества. Предположим, как и в § 1.6, что мы имеем дело с двумя различными решениями
(и'., q/, 0') и (и", ф", 0"), удовлетворяющими |
неоднородной |
|
системе дифференциальных уравнений теории |
пьезоэлектри |
|
чества. Образуем разность этих решений Й.==н'— |
ф = |
— ср' — q>", 6 = 0 '— 0" и т. д.
Решения с «крышечками» удовлетворяют однородным уравнениям теории пьезоэлектричества и однородным крае вым и начальным условиям. Ввиду однородности уравнений
58 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
и краевых условий равна нулю правая часть равенства (10), Остается неравенство
<И) |
■ ^ ( ^ + # , + # + # + в * 5 ё * 6 л ) — & ,< о . |
Используем здесь тот факт, что подынтегральное выражение функции диссипации энергии хе есть положительно опреде ленная квадратичная форма. Интеграл, входящий в левую часть неравенства, в начальный момент времени равен нулю,
поскольку функции щ, Vi, Ъц, 0 удовлетворяют однородным начальным условиям. С другой стороны, неравенство (11) показывает, что левая часть неравенства либо принимает отрицательное значение, либо равна нулю. Из приведенных возможностей справедливо второе, если выражение есть сум ма квадратов. Принимаем, следовательно,
(12) |
Ж = 0, |
# |
= 0, |
P + |
i |
+ g b ^ E tf i d v ^ 0. |
Из этих соотношений получаем |
|
в |
||||
|
|
|||||
(13) |
д| = |
0, |
ftf/ = |
0, |
0 = |
0, £* = 0. |
К этому следует добавить соотношения между постоянными
Si, эи, учитывая неравенство |
(12)3. Предположим, что |
|
Э/; — заданный симметричный тензор, |
положительно опре |
|
деленный, gi — некоторый вектор |
и с = |
св/2 7 \) > 0 . Рассмот |
рим функцию |
|
|
А (0, Ед = с02 + 2gtEfl + эtjEiE,.
Функция А |
неотрицательна |
{А ^ 0) для любой |
пары значе |
ний (0, £ ,), |
если |
где %т— наименьшее положи |
|
тельное собственное значение тензора э Э т о |
достаточное |
||
условие предложил Игначак |
[21]. |
|
Из уравнений (13) следует единственность решений диф ференциальных уравнений теории пьезоэлектричества
(14) «; = < , ф' = ф" , 0' = 0", Е'. = Е".
Кроме того, из определяющих соотношений получаем
(15) |
o ',/* * ; , |
S' = |
S". |
Если |
на границе тела заданы |
нагрузки, |
то и[ = и" |
+ eijkxр ,к. Последние два члена представляют перемеще ние и поворот тела как жесткого целого; они равны нулю, когда на границе заданы перемещения.
1.14. Принцип Гамильтона в теории термопьезоэлектричества |
59 |
1.14.ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
ВТЕОРИИ ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Рассмотрим два функционала:
(1) |
П = |
J (Я + |
ST — X tut) dv -f |
J |
(piUi — 0<p) da, |
|
|
В |
|
дв |
|
(2) |
Ч' = |
$_(Г - |
STT - WT) dv + |
J |
TQttii da. |
|
|
В |
|
дВ |
|
Здесь Я — электрическая энтальпия, 5 — энтропия, <р—элек трический потенциал, а — электрический заряд на дБ, Г— потенциал притока тепла, W — интенсивность источника тепла
(3) |
Г = V2кцТ, {Г, „ |
qt = дГ/дТ,, = - kifT. „ |
9,—вектор притока тепла |
и Qi — заданный приток тепла на |
дВ. Обобщенный на случай пьезоэлектричества принцип Га мильтона примем в виде
|
12 |
= 0. |
(4) |
б \ { X - I l ) d t , |
|
Варьируются |
перемещения щ, |
электрический потенциал <р |
и температура 0. Полагаем, что дополнительно должны быть выполнены условия
(5) 6ц, (х, ti) — 6Ui (х, t2) — 0, 60 (х, ti) = 60 (х, /2) = 0-
Выполним это варьирование в выражении (4),. Используя
определяющие соотношения (2), |
(3) |
из § 1.11 и вариацию |
|||||
ь н = жИ :б8‘/ + |
дН |
дН |
|
|
|
|
|
дТ Ьт+ |
ЖдЕ |
Ь Е ‘ = |
а6е‘/ч - S |
6 T - D , b E t |
|||
приходим к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
6е,у — S ЬТ - |
Dt 6Я, + |
5 6Г - |
Xt 6ц,) dv - |
|||
|
|
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
J dt |
J |
(p, 6ц, — a 6<p)da = 0^ |
||
Учитывая, что |
|
|
t; |
|
OB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЬЖ = |
— p ^ ц, 6ц, dv, |
Ei — —Ф, |
|
60 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
после некоторых преобразований получим уравнение
(6) |
|
[чСГ/г, / + |
%i — РHi) |
-f- Dlt i бф] dv + |
|
||||||
|
|
~b |
^ |
|
— Pi) bui -f- {Dfli + |
о) бф] da \ = |
0. |
||||
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
) |
|
Так как вариации Ьщ, бф произвольны, из (6) |
получаем урав |
||||||||||
нения, управляющие движением и электрическим полем: |
|
||||||||||
(7) |
|
<Г//./ + |
* |.- р й , = |
0, |
Z)tW = 0 |
|
|
||||
вместе с соответствующими краевыми условиями |
|
||||||||||
|
|
pi = |
aiinj |
на |
Г2, |
|
сШ = |
Г, иГ2, |
|
||
|
|
Dpii = |
— а |
на |
Г4, |
|
д£ = |
Г3иГ4. |
|
||
На Гь где заданы перемещения, |
Ьщ = 0 , |
а на Гз, где задан |
|||||||||
электрический потенциал, бф = |
0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Перейдем к уравнению (4) 2. После выполнения предпи |
||||||||||
санных вариаций имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ti |
*2 |
|
|
|
|
|
|
S T b f — W bT^dv^ |
||
|
|
] * { ] ( # 7 6r''“ sr6r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J Q itiibTdal. |
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
дВ |
* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Яi — |
дПдТ. i, |
|
qi 6T,i = |
— qti *67’ -j- (qi bT), t-> |
|
|||||
приведем уравнение |
(8) |
к виду |
|
|
|
|
|
||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
$ Л П |
[(?,. i — W + TS)bT — (ST 6Т>•] dv + |
|
|
|||||||
|
t, IВ |
|
|
|
|
|
|
J (<q i — Q i)n ib T d a \ = |
0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дВ |
|
' |
|
Принимая во внимание |
предположения |
(5)3, 4, имеем |
|
||||||||
( 10) |
|
.*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\{ST bTf dt = |
ST 6T t = * 0. |
|
|
|||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге остается уравнение |
|
|
\ ( q , - Q , ) n , 6 T d a J= 0. |
||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
(11) |
y t i \ ( q , . l - W |
+ |
T'S)bTdv+ |