книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf3.4. Распространение плоской магнитоупругой волны |
141 |
Подставляя (3) в (1), приходим к уравнениям в перемеще ниях
Предположим, что b3 = 0. Это предположение позволяет при нять, что £ 3 = 0, Пз = 0 (см. уравнения (3) i и (4)3). Система уравнений (4) сводится к двум уравнениям (4)i, 2- Для мо нохроматической волны, перемещающейся в направлении х\ с фазовой скоростью v — ®/k, т. е. для
получим систему двух уравнений |
|
|
(6) |
[ р“> — (*■ + 2Р + 1 ^ ) *“] “? + |
— |
|
к Ч ° + [ p“ 2 ~ O'+ Тг)k l ] |
|
Система уравнений (6) будет непротиворечивой, если при равняем нулю ее определитель. Тогда получим
(7)
Здесь введены следующие обозначения:
(8)
Из равенства нулю определителя системы уравнений (6) сле дует уравнение
(9) |
V ( 1 + эА+ |
э2) - & [(1 + э,) а? + (1 + э2) о|] + |
= 0. |
|
Рассмотрим сначала частные случаи этого уравнения. |
||||
а) |
Пусть |
Bi — B2 — 0 (Э1=э2 = |
0). Уравнение |
(9) при |
нимает вид |
|
|
|
|
(10) |
|
(/г2 — а2) (№ — а*) = |
0. |
|
142 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
В этом случае мы имеем дело с волнами щ, иг, не возму щенными электромагнитным полем. Продольная волна и\ распространяется со скоростью с\, поперечная волна иг — со скоростью с2.
б) Пусть B i= 0 , ВгФО. Уравнение (1) при Э 1= 0 при водится к виду
(11) |
|
[А2 ( 1 + э2) — <rf] (*г — <rl) = 0. |
|
|
||||
В этом случае мы имеем дело с невозмущенной поперечной |
||||||||
волной иг, распространяющейся с фазовой скоростью v = |
с2, |
|||||||
и с возмущенной |
продольной |
|
волной и\. Из |
уравнения |
||||
k- (1 -J- э2) = |
а2 получаем |
|
|
|
|
|
||
(12) |
|
|
v — Ci д/1 + |
э2. |
|
|
||
Фазовая скорость продольной волны увеличилась. |
|
|
||||||
в) |
Для |
В\ ф 0, |
Вг — 0 |
уравнение (9) при э2 = |
0 приво |
|||
дится к виду |
|
|
|
|
|
|
||
(13) |
|
( £ 2 _ 02 )р 2 (1+Э1) _ _ а2]= О . |
|
|
||||
В этом случае продольная волна |
не возмущена и движется |
|||||||
с фазовой скоростью v = C\. Волна м2 возмущена электро |
||||||||
магнитным |
полем. Из уравнения |
62(1 + эх) = о\ |
получим |
|||||
фазовую скорость поперечной волны |
|
|
||||||
(14) |
|
|
v = |
с2 |
"Ь э1* |
|
|
|
г) |
В' случае 3i#=0, |
э2^=0 |
как волна щ, так и и2 возму |
|||||
щены электромагнитным полем. Решениями уравнения |
(9) |
|||||||
будут выражения |
|
|
|
|
|
|
||
<15> |
щ } = |
2 (| + 1 , +Эг) W (1 + |
Э|) + <А(1 + э,) ± |
л/Д). |
|
где Д = [of (1 + э,) + сг|(1 + э2)]2 — 4а2а2(1 + э,э2) =
“ [0?(1 + »i) - (1 + э,)]2 + 4а2<г2 (э, + э2) > 0.
Ясно, что k\ > 0, k\ > 0 и корни биквадратного уравнения
вещественны.
3.4. Распространение плоской магнитоупругой волны |
143 |
ляются функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||
щ = |
Ле |
|
' |
’t-*L ) , |
— t o |
(t+*L') |
|
|||
|
Vl.} + |
Be |
|
>+ Ce |
|
|||||
(16) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
+ De - Ч » * ) |
|
-г “ |
|
?-*L) |
|
----to/. |
0| J |
|
|
|||
5* II |
1 |
М Vl J |
+ |
-j- Ce |
|
|||||
|
|
|
Be |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-fafH-i') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ De v |
°»/, |
где vi — (a/ki, |
1>2= <й/&2. Заметим, что Аа/ю (а = 1 ,2 ) |
яв |
ляются функциями параметра о. Следовательно, мы имеем дело с волнами, подвергающимися дисперсии. Подставляя в уравнение (4)i решения (16) (при «з = 0, Вз = 0), найдем соотношения между постоянными Д В, С, D и А, Б, С, D. Знание функций и\, «2 дает возможность определить век тор b по формуле (3). Из уравнений электромагнитного поля (при а-*~оо) определим векторы j и Е:
(17)цЛ = (°> 0, дф2), Е = -—(0, 0, й1В2-~й2В1).
Рассмотрим теперь упругую среду с реальной проводи мостью. Уравнения магнитоупругости для этой среды имеют вид
(18) цу2и + (А + ц) grad div u + 77—(rot b) X B° = pit,
t*e
(19) |
(V2 — РД) b = — p rot (ti + B°), p = |
Как и раньше, рассмотрим плоскую волну, распространяю щуюся в направлении оси х\. Из (18) и (19) получаем си стему шести уравнений
|
|
|
[(я + |
2|») а» - |
рэ«] в, — £■ а, (В2ьг + |
в 3ь3) = |
о, |
|
|||
(2 |
0 |
) |
( ц а ? - р ^ )и 2 + 1^ в 1а1» , - о . |
|
|
|
|||||
|
|
|
( K |
- Pa?)«3+ -J r B,a1ft,= o i |
|
|
|
||||
|
|
|
( а ; - р а , ) б , = о , |
|
|
|
|
|
|||
(2 |
1 |
) |
(а» - |
ра,) ъ ,= |
ра,а, (в л - |
в ,«,), |
|
|
|
||
|
|
|
И - |
Р^) ьл = |
- |
P^Idt (V s — в ги\)' |
|
|
|
||
Предположим, |
что 63 = |
0; это |
позволяет |
принять |
В3 = 0, |
||||||
«3 = |
0. Тогда |
остается |
система |
трех уравнений, |
в |
которые |
144 Гл. 3. Теория магнитоупругости
фигурируют функции ии «2, Ь?.
|
[(Л Ч- 2ц) а? — ра?] и, _ |
А |
а,*2= о, |
|
(2 2 ) |
(paj — paf) и2+ |
а,а2= |
о, |
|
|
- ра,а( (в л - |
в,и2) + |
(df - ра() ьг = о. |
Для монохроматической волны, перемещающейся в направ лении оси х\, примем
(23)(«р м2, 62) = («}, и°2, Ь1)ецкх'~^1
Подставляя (23) в уравнения (22), получим систему трех однородных /уравнений. Эта система будет непротиворечива, если определитель будет равен нулю. Получим тогда
k 2 — 0, |
0 |
. &Э2 |
||
l ~B |
Г |
|||
|
|
|||
0 |
k2 ~ a 2 |
. кэ\ |
|
|
- 1~ вГ |
||||
|
|
|||
ik B 2 |
— ikB i ik2v + |
1 |
Здесь введены те же обозначения, которые применялись в случае идеального проводника. Кроме того, введено обозна
чение v = (реоа>)-1. Из уравнения (24) |
имеем |
|
|
|
|||
(25) (k2 - |
cTj) [(k2 - |
о2) (ik2v + 1) + k \ ] + k \ (k2 - og) = |
0. |
||||
Легко проверить, что это уравнение |
переходит |
при |
v = |
0 в |
|||
уравнение |
(9). Рассмотрим ряд частных случаев. |
|
|
|
|||
а) Если отсутствует первоначальное электромагнитное |
|||||||
поле (Bi = |
£ 2 = 0, |
Э 1 = э 2 = |
0), т о |
уравнение |
(25) |
прини |
|
мает вид |
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
(k2- |
a2) (k2 - |
a2) (ik2v + 1) = 0. |
|
|
|
|
Здесь мы имеем дело с тремя волнами. Уравнения |
|
|
|||||
|
ik2v + 1 = 0 , |
ik2 + (xecr(o = 0 |
|
|
|
относятся к осцилляции электромагнитного поля, не свя занного с полем деформации (и = (0,0,0)). Уравнение k2 — a2= 0 связано с распространением продольной волны,
не возмущенной электромагнитной волной. Наконец, условие k2 — o l = 0 характеризует распространение поперечной вол
ны, не возмущенной электромагнитным полем.
б) Рассмотрим случай В\ = 0 , Вчф 0. Характеристическое уравнение (25) упрощается до следующего вида:
(27) (62 — ц2) jfc4v — k2(ojv + / (1 + э2)) + шЦ = 0.
ЗА. Распространение плоской магнитоупругой волны |
145 |
Очевидно, что поперечная волна и2 не возмущена электро магнитным полем. Продольная волна щ и волна Ь2 распро страняются со скоростью v = (p/k. Величина k удовлетворяет уравнению
(28)k4v — k2 (ofv + / (1 + э2)) + /or2= 0.
Корни k\t2 будут комплексными. Следовательно, продольная волна «1 и волна Ь2 подвергаются дисперсии и затухают. Фа зовая скорость va и коэффициент затухания Фа определяются по формулам
(29) va = - ^ j - , \ = lm ka, а = 1, 2.
Решения рассматриваемых уравнений для щ и Ь2 имеют вид '>
|
щ — А exp £— ш (/ — |
|
4* |
|
||
|
+ |
Вехр[— ш (/ + -j-p) + GL*I] + |
|
|||
(30) |
+ |
С ехр [— /со [t — — |
— #2*1] + |
|
||
|
|
|
+ D expj — /со ^ + -^ -) + 0 2x,]t |
|||
|
b2 — А exp [— /со (t — |
—ftiXi] + |
|
|
||
|
+ |
В ехр [ - /со (/ + —•) + |
#i*i] + |
|
||
|
+ |
С ехр [— /со (/ — 7^ ) ~ |
#2*1] + |
|
||
|
|
|
+ D ехр [— /со (/ + |
-f V i ] . |
||
в) |
Наконец, случай |
£ i # 0 , |
В 2==0 приводит к следую |
|||
щему характеристическому уравнению: |
|
|
||||
(31) |
(k2 - |
а2) [(k2- |
a2) (/AV+ |
1) + э^ 2] = |
0. |
Заметим, что продольная волна не возмущена электромаг нитным полем, тогда как поперечная волна и2 и волна Ь2 между собой связаны. Скорости распространения этих волн определим из уравнения
(32) |
k4v - k2 (a2v - f / (1 + 3j)) -f ia\ = 0. |
0 Эти решения ввиду наличия показательной функции ехр{%Х\) имеют только формальное значение; волны такого типа не могут существоратр в неограниченном пространстве, f
146 |
Гл. 3. Теория магнатоупругости |
Корни уравнения (32) будут комплексными, и, следовательно, волны «2 и Ь2 затухают, так как они нелинейно зависят от частоты © и также рассеиваются. Величины ца и дц опреде лим из уравнения (29). Решения м2, Ъ2 имеют вид, анало гичный (30).
г) В случае В \ф 0 , В2¥=0 имеем дело со связанными волнами щ, кг, Ь2. Фазовые скорости »i, v2, v$ и коэффи
циенты затухания fti, |
■Oj, Фз получим из формул |
|
= |
== ^р» Р :^= 1> |
3. |
Р |
|
|
3.5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОЙ ВОЛНЫ
Рассмотрим среду, являющуюся идеальным электропро водником. В нашем распоряжении имеются следующие урав нения магнитотермоупругости:
(1) |
pV2u + (Я + p)grad divu + -7—(rot b) XB° = pu + ygrad0, |
|
re |
(2) |
V2e - 4 - f > - ’ldivu = 0, |
|
/С |
(3) |
b = rot (uX B°). |
Пусть плоская монохроматическая волна перемещается в на правлении оси х\. Из уравнений (1) — (3) в предположении,
что |
В = ( £ ь В2, |
0), и = (М|, м2 0), |
получаем |
следующую си |
|
стему уравнений: |
|
|
|
|
|
(4) |
[(Л + 2ц) a2 - |
pdj+ |
-g- а»] И, - |
- M L д]и2- |
Ya,e= о. |
(5) |
_ . ^ L a f a, + |
( K - p a ? + i i - a ? ) « 2= o . |
|||
(в) |
( а |— -i- а,) е — iia,a,«,= 0. |
|
Рассмотрим периодическую плоскую волну, перемещающуюся в направлении оси х\ с фазовой скоростью v = (p/k:
(7) |
(м,, м2, 0) = («у, и% 0°) e^<**-«*>. |
Подставляя (7) в уравнения (4)— (6), приходим к системе трех алгебраических уравнений
(8) |
[рш2 - (я + 2ц + |
- g - ) ] и\ + |
- ^ 1 Щ - |
iy№> = 0. |
О) |
■^7 - Щ + |
[ра2 ~ (ц + |
А2] |
= 0. |
( Ш ) |
(р ~ |
— /г2^ 0° — T]£CDMJ = 0, |
|
3.5 Распространение плоской магнитотермоупругой волны |
147 |
Из этих уравнений исключим величину 0°. Получим систему двух линейных уравнений
(И) |
[o f- * * ( 1 + 8 ,) — 5 ^ |
г] и » + ^ 4 ; э^ |
= |
0- |
||
(12) |
+ |
— *2(1+ э,)]и § = |
0. |
|
||
Здесь |
введены обозначения |
э = тг\к, т = |
у/сг1р, <7= i<o/x. |
|||
Приравнивание нулю определителя системы уравнений (11) |
||||||
и (12) |
дает уравнение, из которого можно определить вол |
|||||
новое число k: |
|
|
|
|
|
|
(13) (<? - W) {k? (1 + э, + |
э2) - |
** [о| (1 + э2) + |
|
о?(1 + э,)] + |
||
|
|
+ |
— чэк2[fe2 (1 + |
э,) — ст|] ==0. |
||
Рассмотрим частные случаи плоских волн. |
|
|
|
|||
а) |
Предположим |
сначала, что Si = S2= |
0, и, следова |
|||
тельно, |
отсутствует поле |
магнитной индукции |
В. |
Уравнение |
(13)вырождается в следующее уравнение:
(14)(«4
Очевидно, что поперечная волна w2 не возмущена ни темпе ратурным полем, ни электромагнитным. Напротив, продоль ная волна и,\ связана с температурным полем. Характеристи ческое уравнение для этой волны имеет вид
или |
(q — k2) (oj — &2) —qsk2= 0, |
|
|
(15) |
**-А»[о* + ? (1 + э )] + ? о * -0 . |
Корни этого уравнения |
|
*?.S = |
T [° I + 4 (1+ 9) ± V M + 4 ( 1 + S>), - ' 4»0IJ |
будут комплексными. Поэтому волна подвергается диспер сии и затухает. Ниже приводим решение для связанных волн:
(16) их= А ехр [— т (j — |
—# 1*1] + |
+ Sexp [— ш |
+ ^1*1] + |
— В exp [ - /© ( Н “ 77) + #2*1] } •
148 |
Гл. 3. Теория |
магнитоупругости |
|
|
(1 7 ) е = Лехр[— ш (t — — |
— ft2*i] + |
|
||
+ |
В ехр [— ш |
|
+ -&2*i] + |
|
+ |
{л ехр [" to С _ t ) ~ |
]" |
||
|
|
— В exp [— ю (f + |
+ ^i^!] ] , |
|
где |
|
|
|
|
Вернемся к уравнению (15) |
и перепишем его в виде |
|||
(18) |
£4 - I 2[%2 + |
/х(1 + э)] + Ц 2 = О, |
|
где
Корни этого уравнения зависят от двух параметров: % и э. Постоянная зависит от механических и температурных свойств тела, х зависит от частоты со; со* является величиной, характеризующей материал. Частота колебаний со ограничена сверху значением
(19)
Эта величина взята из спектра Дебая для продольных волн. В формуле (19) М означает атомную массу упругого мате риала, a (ci)s является скоростью продольной волны, изме ренной в адиабатических условиях. В экспериментальных ис следованиях с использованием ультразвуковой техники имеем
(20) |
(Dc> CD* > CD, |
и, следовательно, для механических колебаний следует при нять х = ®/©#<С 1. Специальное обсуждение корней ku k2 проведено в рабочах Чедвика и СнедДона (8, 10].
б) |
Предположим, что В\ = 0, |
но В2 Ф 0. Частотное урав |
нение примет вид |
|
|
(21) |
{к2- of) {{q - k2) [о® - к2(1 + |
э2)] - qsk2} = 0. |
Поперечная волна и2 не возмущена температурным и элек тромагнитным полями; продольная волна щ возмущена обои ми упомянутыми полями. Фазовую скорость v = (й/k распро странения продольной магнитотермоупругой волны получим из уравнения
(22) |
(q - k 2) ( a 2 - k 2) - q s k 2 = 0, |
3.6. Двумерные задачи теории магнитотермоупругости |
149 |
где |
а2 |
а? |
" |
э |
|
||||
|
1~ |
1 + э2 ’ |
Э |
1 + Э2 • |
Уравнение (22) примет вид |
|
|
||
(22') |
/г4 - k 2[62 + q ( \ + s ) ] + qb2= 0. |
Таким образом, оно аналогично ранее рассмотренному урав
нению |
(15). |
|
|
в) |
Предположим, |
что В \ф § , В2 = 0. |
Уравнение (13) |
сводится к следующему уравнению: |
|
||
(23) |
[а2 “ /г2 (1 + |
э,)] [(q - k2) (а2 - k2) - |
qsk2] = 0. |
Мы имеем дело с поперечной волной и2, связанной с элек тромагнитным полем. Фазовая скорость этой волны опреде ляется формулой
(24) |
^2= С2 V 1 +Э |. |
Продольная волна щ является связанной термоупругой вол ной, обсужденной уже в п. (а) (см. уравнение (15)).
г) В общем случае В^ф 0, В2Ф 0 мы имеем дело с уравнением (13). Обсуждение этого уравнения сложно. За метим, однако, что обе волны — продольная и поперечная — связаны с электромагнитным и температурным полями. Эти волны затухают и подвержены дисперсии.
3.6. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТИ
Рассмотрим сначала среду с идеальной электропроводи мостью. Движение такой среды описывается системой диффе ренциальных уравнений
(1) |
fxV2u + (Я, + ц) grad div u + -j~ (rot b) X B° + X = |
|
= PU + Y grade, |
(2) |
(v 2 - 4 - a , ) e - T 1divu = — i* |
(3) |
b = rot (u X B°). |
Положим, что вектор магнитной индукции В0 направлен па раллельно оси Л'з, т. е. В °= (0 , 0, BJ). При этом предполо
жении уравнение (1) с учетом соотношения (3) получается
150 |
|
Гл. |
3. Теория магнитоупругости |
|
|
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
pV2wt + |
+ |
р + |
д2р) д{ё + |
а\рдъ {pzux—^1из) “Ь Хх— |
|
|
|
|
|
|
= ydfi + |
рй,’ |
|
pV2«2 + |
+ |
И+ |
а\р) д2ё + |
ajfcdg (dbii2— д2и3) + |
Х2= |
|
|
|
|
|
= |
уд2д + |
рй2, |
|
|
|
pV2«3 -Ь (Я -}- р) д$ё -{- = |
уд$ -)- |
рм3. |
|
Здесь введены обозначения |
|
|
|
К уравнениям (4) следует добавить уравнение теплопровод ности (2). Система уравнений (4) симметрична относительно главной диагонали, а его структура аналогична системе уравнений для анизотропного тела с поперечной изотропией. Эта анизотропная структура исчезает при ао~^0. При даль нейшем рассмотрении ограничимся двумерной задачей, по лагая, что все функции не зависят от переменной *3. В таком случае система уравнений распадается на две независимые системы:
pVftt, + (Я + ц + а?0р) дхе + Хх= ydfi + рйх,
(5) |
PV?M2 -f (Я -f р + а\р) д2е + Х2 = уд2в + ри2, |
(6) |
pv?«3 + Х3= рй3, V?= д? + д\, е = дхих+ д2и2. |
Последнее уравнение не возмущено электромагнитным полем и не будет нас интересовать в дальнейшем. Уравнения (5) отвечают состоянию плоской деформации и = {щ,и2, 0) и при
Яо-^0 переходят в уравнения связанной термоупругости. Продифференцируем уравнение (5)i по хи уравнение (5)г по Хг и полученные уравнения вычтем одно из другого. Та ким образом, получим волновое уравнение для дилатации
Уравнение (7) связано с уравнением теплопроводности (5)з. Исключая температуру из уравнений (5)3 и (7), придем к сложному волновому уравнению