Вывод 2

Координаты вектораопределяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности восемь свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти восемь свойств называют аксиомами модели векторного пространства.

Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение

На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.

Попутно мы устанавливаем следующее свойство.

Вывод 3

Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (1), обозначим его

, . (2)

Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число

(3)

и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.

3. Абстрактное векторное пространство

Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.

Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.

Пример 1

Множество многочленов степени не выше

образует векторное пространство, в котором мономы – базисные элементы, а коэффициенты многочлена– координаты векторав этом базисе.

Пример 2

Пусть ,,…,– «–местные наборы»,имеет 1 на–м месте и нули на остальных местах,. Тогда объекты

образуют векторное пространство с базисными элементами . Обозначим это пространство.

Векторное пространство , позволяет определить размерность всякого векторного пространствапри помощи следующей аксиомы.

9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм .

Определение абстрактного векторного пространства

Пусть для элементов множествавыполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогдаесть–мерное абстрактное векторное пространство, аявляется его арифметической моделью.

Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:

• выборки измерений;

• цены наименований;

• наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.

Следствие

Все –мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.

Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют–мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так

, .

Здесь – мономы, а– базисные орты в.

Если векторное пространство содержит для всякогоподмножество,, которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным, тоназовем бесконечномерным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не вышеобразуют–мерные подпространства в этом пространстве.

4. Аксиомы скалярного произведения векторов

Модель –мерного пространстване содержит понятия длины вектора при. Для определения длины вектора впривоспользуемся связью между длиной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.

Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением

. (4)

В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:

1. , ;

2. , и; (5)

3. ; .