Определение

Арифметической, или координатной, моделью евклидова пространства ³ называется множество упорядоченных троек чисел, определяемых соответствием (2) вместе с формулами длины отрезка (З) и углов между направленными отрезками (4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R³.

Вывод 1

Для построения модели R³ требуется задать или построить:

• геометрическую модель трехмерного векторного пространства (модель направленных отрезков ³);

• изоморфную модель координатного векторного пространства Е³;

• операцию откладывания вектора (1);

• скалярное произведение, посредством которого вычисляются длины и

• углы.

Основные объекты геометрии – точки, прямые и плоскости в R³ определяются на «языке» векторов и координат. Например, пусть плоскость П определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) – произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ()=0, или в координатной форме П:

(x–x₀)A+(y–y₀)B+(z–z₀)C=0

Таким образом, искомая плоскость П в R³ – это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2

Решение геометрических задач в модели R³ сводится к решению систем уравнений.

2. Многомерное арифметическое евклидово пространство

Мы отмечали в п.2.3 §2 что аксиоматика Д. Гилберта не может быть обобщена в случае описания отношений между точками, прямыми и плоскостями высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом пространстве. Обратимся к схеме, согласно которой строилось арифметическое пространство R³. На самом деле эта схема не зависит от размерности вспомогательного векторного пространства Еⁿ. При n=2 и n=3 она просто одна и та же. В случае «мыслимой» многомерной геометрии операция откладывания вектора (1) является формальным определением арифметического n–мерного евклидова пространства Rⁿ, а в остальном схема построения Rⁿ при n>3 такова же, как и при n3. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль, 1885–1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно–векторной, так как в ней неопределяемыми понятиями являются точки и векторы. Точки и векторы называются основными геометрическими объектами, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматике Г. Вейля.

1. Группа аксиом векторного пространства.

Эта группа включает восемь аксиом векторного пространства, сформулированных в п. 3.1 §3, и дополнительную девятую аксиому размерности, сформулированную в п. 3.2 §3. Эти аксиомы определяют арифметическую модель Еⁿ n–мерного векторного пространства (см. п. 3.3 §3).

2. Аксиомы скалярного произведения.

Сюда входят три аксиомы 1) – 3), 5), приведенные в виде свойств в §4.

3. Аксиомы складывания векторов.

Эта группа аксиом состоит из трех свойств операции откладывания векторов, определенной в начале этого параграфа.